Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng khó tránh được sự sai sót mong các em học sinh và các thầy cô đóng góp thêm Phước Long ngày 10/5/2011 GV Lê Văn Quang... Tổ toán Trường THPT Phước Long

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng khó tránh được sự sai sót mong các em học sinh và các thầy cô đóng góp thêm

Phước Long ngày 10/5/2011

GV Lê Văn Quang

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

PHẦN I

NGUYÊN HÀM

A Tóm tắt giáo khoa:

1 Định nghĩa: f(x) và F(x) là hai hàm số xác định trên (a;b)

F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) F’(x) = f(x) với   x ( ; ) a b

Nếu thay cho (a;b) là đoạn   a b ;   thì phải có thêm

'( ) ( )

 và F b '( ) f b ( )



2 Định lí: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b) thì :

* F(x) + c trong đó c là một hằng số tuỳ ý cũng là một nguyên hàm của f(x)

* Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + c với c là một hằng số

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

2 2

1

os (ax )

1 tan(ax ) ( 0)

1

sin (ax )

1 cot(ax ) ( 0)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

1 Sử dụng định nghĩa và tính chất của nguyên hàm:

 Làm xuất hiện trong biểu thức f(x) những hàm sốf x f x f x1( ), ( ), ( ) 2 3 có trong

 bảng các ng/hàm đã biết f x ( )  af x1( )  bf x2( )  cf x3( ) 

 Áp dụng tính chất của nguyên hàm suy ra kết quả

 Vài cách biến đổi về những hàm số có trong bảng nguyên hàm

 (chia tử cho mẫu)

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số ssau:

1 1

1

3 2 3

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

x

x x x

2 Nguyên hàm của hàm số lượng giác

 Dùng các hệ thức cơ bản, các công thức hạ bậc đưa về dạng

tính được nguyên hàm

 Biến đổi các hàm lượng giác thành tổng

 Sau đó áp dụng công thức của bảng nguyên hàm

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) f x( ) sin 3x b) f x( ) cos 4x c) f x( )tan4x

Tương tự f x( ) sin 5x

Giải a)sin3x dx sin2x.s inx dx  (1 cos 2x)(cos )'x dx

tan

tancos

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

a) f x( )sin 5 cos3x x b) g x( ) cos 5 cos3 x x c) h x( )sin 5 sin3x x

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) f x( )sin sin 2 sin 4x x x

b) f x( )cosx cos2 sin 4x x

1 1 1(sin 7 sin ) (sin 5 sin 3 )

Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) f x( )sin3x cos 6x b) f x( )sin3xsin 8x

c) cos3x cos10x d) f x( )cos3xsin 8x

Giải Theo công thức nhân 3 ta có:

Thay sin x hoặc 3 3

cos x rồi dùng công thức biến đổi tích

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

1(3sin 9 3sin 7 sin11 sin 5 )

Bài 7: Tính I  cos3x sin2x dx

Giải: Ta thấy hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối

với cosx nên ta biến đổi như sau:

Khai luỹ thừa k nhân cosn x vào  kết quả

2, Nếu m và n đều chẳn ( 0 cũng xem là chẳn)

sin k cosl (sin ) (cosk )l

cos x dx d x sin x dx d  x  Kết quả

2) I  tanm xdx hay I  cotm xdx

Nếu số mũ của tanm2x

còn lớn ta tiếp tục như trên để giảm bậc cho đến khi lấy được nguyên hàm

3 Nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ:

Các công thức cần nhớ:

 Tam thức mẫu số có 2 nghiệm

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

Nhân 2 vế của (*) cho x – 3 0 ta được 1 ( 3)

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

  là một nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Ví dụ 1: Đề TNPTTH Kì I năm 98 – 99 Tính

2 2 0

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

1

1x2

x d x

1 Phương pháp đổi biến số: Tóm tắt giáo khoa (xem sgk)

* Quy tắc đổi biến số dạng 1:

1, Đặt x = u(t) , u’(t) liên tục trên  ; , f u t ( ) xác định trên ; và ( )u  a u, ( )  b







x d

2 0

2

.cos1

coscos

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

*Quy tắc đổi biến số dạng 2:

x2

x d I

3 3

Ví dụ 4: Tính

3 2 0

6

osxsinx

x x

2 2

0 1

dt I

t







Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

0

21

12

1 2

12

1x1

2

2 2

dt I

Do đó

0

2

sin2

2

3 0

5 cos x 4s inx

x(cos x sin )

Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

02

0 2

5sin 4 cos

x(sin cos x)

u v uv v du

Ví dụ 1: Làm các bài tập trong sách giáo khoa

Chú ý: Vài dạng thường gặp:

1, Nếu hàm số f(x) dưới dấu tích phân có dạng ( ).P x e x , ( ).sinP x x, P x( ).cos x với

P(x) là đa thức thì đặt : uP x( ) , v'e x (hoặc sin , cos xx )

2, Nếu f(x) có dạng : ( ) ln xP x thì đặt uln x , v' p x( )

Ví dụ 2: Tính các tích phân: a)

2 2 0

ln xd

x



Tổ toán Trường THPT Phước Long GV BS Lê Văn Quang

Giải: Đặt

2

x

ln xx

1

d

x d

dv

v x

Ví dụ 5: Tính

3 2 4

dxcos

x I

dxsin

x I

t anxcos

du d d

v dv

b) 2

0

cos x

x(1 sin )