Thầy tmt Chuyên đề TMT 01 TÍCH PHÂN và NGUYÊN hàm

Thầy tmt với chuyền đề TMT01 CÁCH HỌC TÍCH PHÂN và NGUYÊN HÀM. Với sự mới mẻ của phong thái viết toán, thầy tmt hi vọng chuyên đề này sẽ thật sự tuyệt vời với các em Có thắc mắc gì các em có liên hệ với thầy tmt qua facebook của thầy tmt. Gõ facebook tên thầy tmt.

GIỚI THIỆU TMT-01: CÁCH HỌC TÍCH PHÂN và NGUYÊN HÀM

Thầy tmt kính chào các em tới với khóa học miễn phí môn toán LỚP HỌC BÀI THI là môi trường học tập hoàn toàn miễn phí về môn TOÁN và các bộ môn khác nữa Gồm 2 hình thức

học là dạy onl và off ở khu vực HÀ NỘI các em có thể liên hệ để tìm hiểu thêm!

Chuyên đề TMT-01 này chủ yếu đi giới thiệu cho các em học sinh về các cách học TÍCH PHÂN và NGUYÊN HÀM

 Làm thế nào để học tốt phần TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM

 CÔNG THỨC CƠ BẢN

 Các dạng toán về TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM

 Các phương pháp giải là gì?

 Ôn luyện thi ĐẠI HỌC phần TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM như thế nào?

Hi vọng chuyên đề TMT-01 sẽ hữu ích cho các em trong quá trình ôn luyện và học tập của mình

Lưu ý: TMT-01: CÁCH HỌC TÍCH PHÂN và NGUYÊN HÀM sẽ được dạy trong 2 tuần

Tuần đầu tiên dạy các em kiến thức cần thiết và tuần thứ 2 chúng ta ôn luyện các bài tập Các em

theo dõi facebook Thầy tmt nhé!

BÀI GIẢNG MIỄN PHÍ - THẦY tmt TMT-01: CÁCH HỌC TÍCH PHÂN

và NGUYÊN HÀM

pg 2 “ Ngồi học thì đừng lên facebook, đừng suy nghĩ linh ta linh tinh, đừng soi gương nghịch điện thoại và hãy thật

sự vùi đầu vào sách vở cày như TRÂU – BÒ mới lên cơ bắp được nghe hông– Thầy tmt”

BÍ ẨN 1: Làm thế nào để học tốt phần TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM

Làm thế nào để có thể nhập cuộc với phần TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM một cách hiệu quả, bớt nặng nề, dễ dàng và thật nhẹ nhàng?

Các em khi đọc chuyên đề này chủ yếu là những học sinh lớp 12 hoặc 13 và thậm chí có 1

số em học sinh lớp 11 cũng có thể đọc được rồi Đây là 1 chuyên đề rất đặc biệt chưa từng có, nó

là sản phẩm kết hợp giữa phương pháp học toán và khả năng tư duy của các em khi đọc chuyên

đề này Vậy các em cần chuẩn bị gì để có thể chinh phục thành công phần NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN?

Thực ra những năm gần đây, đề thi tuyển sinh vào các trường cao đẳng đại học phần TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM đề thi không quá khó đánh đố học sinh nhiều nữa Nó chủ yếu đi yêu cầu các em thành thạo tính toán và trình bày chuẩn, tốt mà thôi, mức độ đánh đố khó dễ hơn trước rất nhiều

Sau đây thầy xin gửi tới các em các cách thức để ĐỘT NHẬP vào TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM một cách hiệu quả nhất và dễ dàng nhẹ nhàng hơn so với sự tự mày mò của các em!

ĐỘT NHẬP 1: Tích phân – Nguyên Hàm trong toán học là phần khá rộng, nếu học sinh

nào chăm chỉ học tập thì trong 1 tháng CÀY BỪA không ngại nắng mưa thì có thể tự tin với phần TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM rồi Vì thế để đột nhập thành công thì các em cần thời gian đầu tư cho nó, các em có thể bận học rất nhiều môn học khác, có thể học rất nhiều chuyên đề khác nhưng 1 khi đã đụng tới TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM thì bắt buộc phải bỏ 1 tháng ôn luyện không ngại nắng mưa, mục tiêu 1 ngày các em luôn phải đọc sách và làm bài tập phần này nhé! Liên tục như vậy trong 1 tháng các em sẽ thành CAO THỦ mà không cần ÔN ĐI ÔN LẠI

ĐỘT NHẬP 2: Cần có sách tham khảo! Học TOÁN mà trên bàn học không có 1 cuốn

sách tham khảo nào thì THÁCH mà học giỏi lên cho được, các em cần tìm thêm những cuốn sách tham khảo Tiếc gì mấy chục mà không ra ngoài cữa hàng sách chọn 1 cuốn ngon lành hợp với lực học của mình mà đọc Xin tiền ba má bảo con đi mua sách thì ba má nào không cho Trên mạng cũng nhiều tài liệu hay, các em lên mạng tìm cũng được nhưng rồi cũng phải đi photo

ra để học, hoặc bạn nào có máy tính thì lên máy tính học nhưng mỏi mắt và dễ bị dụ dỗ bởi các cám dỗ trên mạng dẫn đến không học được, chi bằng bỏ ít chục mua 1 cuốn tử tế về mà đọc

CHỊU KHÓ HỌC CHÚT- VÌ HỌC 1 CHÚT LÀ VIỆC CHƠI SAU NÀY NÓ NHIỀU HƠN, CÒN BÂY GIỜ MÀ CHƠI NHIỀU THÌ SAU NÀY HỌC LẠI CÀNG NHIỀU HƠN

ĐỘT NHẬP 3: Hiểu về TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM là gì?

Rất nhiều em chưa hiểu hết về TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM Thực ra nếu theo quan điểm toán học thì học TÍCH PHÂN trước rồi mới học NGUYÊN HÀM sau nhưng chương trình đào tạo toán học ở VIỆT NAM thì lại học NGUYÊN HÀM trước và TÍCH PHÂN sau Không sao cả như vậy thì cũng hợp lý mà thôi không thành vấn đề gì quan trọng cả, vấn đề quan trọng

là chúng ta học ra sao đây?

Các em cố gắng học thật tốt phần NGUYÊN HÀM vào thì TÍCH PHÂN dễ như lấy đồ vật trong túi quần mình mà thôi Một trong những lưu ý đáng lưu tâm là các me phải học tốt nguyên hàm ngay từ đầu Em nào mà lơ đà thì hối hận cũng không kịp đâu, ngay từ khi học là phải chú tâm CÀY NHƯ TRÂU BÒ rồi, lúc đó mới giỏi lên được còn cứ tưng tửng không chịu học thì có

mà đi BỐC CÁM ĂN!

Vậy NGUYÊN HÀM là cái gì ta?

Các em chắc hẳn ai cũng biết đạo hàm rồi đúng không?

Ta có giả sử đạo hàm: F’(x) = f(x), khi đó f(x) được gọi là đạo hàm của F(x) Điều này chắc

ai cũng hiểu, vậy thực ra nguyên hàm cũng không có gì gọi là quá khó hiểu, nó là như vầy

Nếu F’(x) = f(x) thì lúc này F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) Ký hiệu là như sau:

f x dx  F x

 + C ( Với C là 1 số nào đó), vậy ngược lại với đạo hàm thì nguyên hàm là chúng ta phải đi tìm 1 cái hàm F(x) nào đó mà F’(x) = f(x) là xong Thật không có gì là khó hiểu ở đây

là như thế này Chúng ta hiểu là cần phải đi tìm 1 hàm F(x) nào đó để khi đạo hàm F’(x) = f(x) là được, còn f(x)dx các em không cần phải hiểu phức tạp làm gì, ở đây có nghĩa là vi phân theo biến x mà thôi Để

dễ hiểu hơn các em cần đọc thêm các bộ sách tham khảo và các hướng nghiên cứu khác Nhưng chung quy lại là chúng ta cần xữ lý qua các bài tập sẽ hiểu hết vấn đề mà thôi yên tâm

ĐỘT NHẬP 4: Tích phân – Nguyên hàm có thể dùng máy tính để xữ lý kết quả xem các em có tính

đúng không? Hầu như là phải đợi khá lâu máy tính mới cho ra được kết quả và đôi khi không ra được kết quả, thế nên chúng ta cần tập tành tính toán cho chuẩn, ngay từ khi bắt đầu học là phải chú tâm tính toán

kỹ từng bài rồi Sau này kiểu gì các em cũng thành CÁO hết phần TÍCH PHÂN thôi

HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI – MÀ NẾU CÓ LÙI THÌ CỐ

MÀ BÍU LẤY CÁI GÌ ĐÓ ĐỂ KHÔNG BỊ LÙI QUÁ XA

pg 4 “ Ngồi học thì đừng lên facebook, đừng suy nghĩ linh ta linh tinh, đừng soi gương nghịch điện thoại và hãy thật

sự vùi đầu vào sách vở cày như TRÂU – BÒ mới lên cơ bắp được nghe hông– Thầy tmt”

BÍ ẨN 2: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT

NGUYÊN HÀM: Sau đây là những công thức NGUYÊN HÀM cơ bản mà bắt buộc các

em phải nhớ được Muốn chinh phục được NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN mà không nhớ mấy công thức này thì chỉ đi bốc cám thôi các em nhé!

0dx  C

ln

x

x a

a



ln

u

a



dx  x C 



cosxdxsinxC





1

1

x















1

1

u















sinxdx cosx C





dx

x C x



du



os

dx

x C



os

du



x x

e dx  e  C





sin

dx

gx C



sin

du



2

1

dx

x

 



1

dx



1 ln 2

C





TÍCH PHÂN: Thực ra NGUYÊN HÀM và TÍCH PHÂN đều quan trọng như nhau, nguyên hàm dùng để làm thành thạo phục vụ tính TÍCH PHÂN, vì thế ở đây thầy sẽ chủ yếu đi đưa ra các dạng bài tập tích phân dành cho các em!

Một số khai niệm và TÍCH PHÂN dành cho các em!

( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

f x dxF x F b F a



Một số tính chất cần nhớ của TÍCH PHÂN

b

a

d x 



a

a



k  f x d x   k f x d x với k ∈

f x d x  f x d x  f x d x

Trên đó là những công thức cũng như tính chất cơ bản mà các em cần nắm vững cho được

Mẹo Nhớ: Việc ghi nhớ công thức trong toán học là 1 việc quan trọng như ăn cơm vậy!

Thế nên các em phải có mẹo để nhớ chứ không phải đọc mà thuộc mà nhớ cho được Quy tắc để nhớ bất kỳ 1 cái gì đó chính là đọc thật nhiều và làm bài tập thật nhiều Các em hãy bắt đầu từ những bài đơn giản nhất, từ những bài chỉ để nhớ công thức thôi cũng được Đừng nóng vội làm

gì, từ từ rồi mọi chuyện sẽ ổn, cứ làm bài tập quên ở đâu thì lật công thức ra xem lại rồi tự khắc

sẽ nhớ được thôi

ĐÔI KHI BUỒN ĐỜI VÌ HỌC HÀNH CHẢ RA LÀM SAO – NHƯNG NẾU BỎ CUỘC THÌ CÒN BUỒN ĐỜI HƠN – CHỨ BẰNG VỰC DẬY ĐẤU VỚI ĐỜI

pg 6 “ Ngồi học thì đừng lên facebook, đừng suy nghĩ linh ta linh tinh, đừng soi gương nghịch điện thoại và hãy thật

sự vùi đầu vào sách vở cày như TRÂU – BÒ mới lên cơ bắp được nghe hông– Thầy tmt”

BÍ ẨN 3: Các phương pháp giải TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM

Sau đây là 1 số phương pháp để các em đi ĐỘT NHẬP vào TÍCH PHÂN – NGUYÊN HÀM Một số phương pháp này thường dùng phổ biến trong các bài toán tích phân và nguyên hàm Ở phần này thầy sẽ đưa ra phương pháp chung và làm vài ba ví dụ điển hình sau đó có phần bài tập để các em làm theo Cần các em tìm hiểu thêm ở các sách báo khác nữa

KỶ THUẬT 1: Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản

 Phương pháp chung: Ở kỷ thuật này các em chủ yếu dùng các công thức ở bảng trên để áp dụng vào bài toán tích phân Những em nào mới bắt đầu học về tích phân thì lưu ý làm phần này thật nhiều để nhớ hết các công thức đó

 Ví dụ minh họa: Sau đây là 1 số ví dụ minh họa cho phương pháp trên

VD1: Tính các tích phân sau

a I =

2

3 0

cos xs inxdx



 b I =

2

2 1 0

e xdx

 c I =

2 3 1

(x -2x+7)dx



Lời giải:

a I =

4

cos

x

b I =

2

0

d x

e

c

2

1

2

Lời Bình: Ở trong ví dụ trên 1 số bạn học sinh sẽ rất khó hiểu nếu mới bắt đầu mới chập chứng học tích phân Nhưng các em hãy nhìn lên bảng công thức thì chúng ta sẽ thấy dễ hiểu

thôi Cụ thể thầy sẽ phân tích 1 số điểm mà các em học sinh thường thắc mắc và không hiểu vì sao lại làm được như vậy

 Bước này nhiều em không hiểu vì sao lại ra được như vậy Thực ra là là như sau:

cos xs inxdx cos xd(cos x)

 

  được hiểu là sin xdx d(cos )x khi viết – d(cosx) các em ngầm hiểu là –(cosx)’ Tương tự như thế ta có: cosxdxd(s inx)và

tương tự cho câu b ta thấy

1

2

d x

  có được là do 1dx = d(2x-1)

 Chúng ta phải đưa được về dạng ∫ ( ) để áp dụng tích phân cơ bản chính vì thế mà phải chuyển

cos xs inxdx cos xd(cos x)

 

1

2

d x

 Ở câu c chúng ta áp dụng tính chất [ ( ) ( )] ( ) ( )

 Với phương pháp này chỉ là áp dụng 1 số công thức cơ bản và cần các em nhanh ý một chút nữa, qua ví dụ sau đây cho các em thấy 1 số cái mới mẻ hơn

VD2: Tính tích phân sau.I =

2 2

dx

x 

 Lời giải:

Áp dụng công thức có trong bảng trên: 2 2 1 ln

2

C



I =

2

ln



Tới đấy ta có kết quả của bài toán Các em vận dụng tuần tự đúng công thức sẽ ra cách làm của nó

Trên đó là phương pháp 1 sử dụng các công thức cơ bản các em nên áp dụng và làm thật nhiều bài tập Dưới đây là 1 số bài tập tự giải dành cho các em Bài nào không làm được các em liên hệ với thầy để được giải đáp!

pg 8 “ Ngồi học thì đừng lên facebook, đừng suy nghĩ linh ta linh tinh, đừng soi gương nghịch điện thoại và hãy thật

sự vùi đầu vào sách vở cày như TRÂU – BÒ mới lên cơ bắp được nghe hông– Thầy tmt”

 BÀI TẬP TU TÂM

Bài 1: Tính cách tích phân sau

a

3 2 4 0

1 1

x

x







 b

3

1

I   x  x  dx c

0

cos( )

3





d

1

2 1 2

x

I e dx



  e

3

1

2

x

   f

2 2 1

1 (x )

x





Bài 2: Tính các tích phân sau đây:

a

1 2

2 3

1

x









b

4

2 3 2 1

1

2

x

c

2

2 3 1

1 (x )

x





 

d

2 1

(x 1)

x





Bài 3: Tính các tích phân sau đây

a

1

2 0

I  x  x e dx

b

2

2 1

x

I   x e dx

Bài 4: Tính các tích phân sau:

a

1

2

01

dx I

x





 c

3 1 2

dx J





b E=

1

2

0

1

1 2

dx F



 



CUỘC ĐỜI THẬT LẮM BẤT CÔNG – THẰNG HỌC THÌ CHĂM MÀ TRÌNH CHẲNG LÊN – THẰNG HỌC THẤY ÍT MÀ LÊN VÙ VÙ

KỶ THUẬT 2: Tính TÍCH PHÂN bằng phương pháp phân tích và biến đổi

 Phương pháp chung: Phương pháp phân tích hay con được gọi là phương pháp đồng nhất thức của các biểu thức mà thôi Chú trọng phân tích để tìm ra lời giải dựa vào các hàm cơ bản đã biết

 Ví dụ minh họa: Sau đây thầy xin trình bày qua 1 số vị dụ cụ thể cho các em hình dung cách giải quyết bài toán

VD1: Hãy tính các tích phân sau:

a)

1

0

5

I x x  dx b) 2 4 

0

sin 1 cos



Lời Giải:

tx  dt x dx x dx x x  dx t

Khi x=0 thì t=5

Khi x=1 thì t=6, thay các thông số vào tích phân ta có

5

3

dt

I x x  dx t  

1 1

2 5

2

t





b Ta có

2

0

(sin 1) (sin ) sin sin 2

0





VD2 Hãy tính các tích sau:

a)

4

2 0

4x dx

 b)

1 2

01

dx x





Giải: a) Đặt 2sin , ;

2 2

x t t   

 

Khi x = 0 thì t = 0 Khi x 2 thì

2

t 



pg 10 “ Ngồi học thì đừng lên facebook, đừng suy nghĩ linh ta linh tinh, đừng soi gương nghịch điện thoại và hãy thật sự vùi đầu vào sách vở cày như TRÂU – BÒ mới lên cơ bắp được nghe hông– Thầy tmt”

Từ x2sint dx2costdt

4 x dx 4 4 sin t.2 costdt 4 cos tdt



b) Đặt tan , ;

2 2

x t t    

Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì

4

t 



Ta có:

2

tan

cos

dt

t

1

0





Chú ý: Ở các ví dụ trên chúng ta đi đặt đối tượng nào đó để biểu thức đơn giản và dễ nhìn về dạng

cơ bản hơn Trong các bài tóan khác chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:

Nếu hàm số dạng a2 x2, a2 x2 và x2a2 (a>0) thì chúng ta có thể biến đối theo 1

số phương pháp khác dưới đây

 Với a2x2 , đặt sin , ;

2 2

x a t t   

 

hoặc xacos ,t t0; 

 Với a2x2 , đặt tan , ;

2 2

x a t t    

 

hoặc xacott t, 0; 

 Với x2a2 , đặt , ; \ 0 

a

t

 

hoặc ;

cos

a x

t

2

  

 

Dạng toán này sẽ có phương pháp cụ thẻ và ví dụ minh họa ở phần kế tiếp của các phương pháp tính tích phân nguyên hàm

VD3: Tính tích phân

1 2

2 0

1 1

x





Áp dụng kỷ thuật đặt ẩn ở trên chúng ta đi giải quyết các bài toán có căn theo phương pháp đặt

ẩn lượng giác để đưa về các tích phân cơ bản qua vi dụ như sau ta có

Lời Giải

2 2

      , thay các thông số vào tích phân ban đầu chúng ta có lời giải như sau:

2

cos

1 sin

t t



6

6 0 0

0

dt t





Lưu ý nằm ở chỗ chúng ta có: 1 sin 2x  cosx

VD4: Tính tích phân

2

2 0

4

I   x dx

Lời Giải Đặt 2sin , ; 2 cos

2 2

2

2 cos 4 4sin 4 cos

2

2 0 0

2 (1 cos 2 )t dt 2t sin 2t







Lưu ý ở chỗ: 44sin2t 2 cost , nhưng do ;

2 2

t    

 nên 2 cost 2 cost Chính

vì điều tuyệt vời là đó nên chúng ta nên ghi nhớ các điều kiện của t xem t thuộc khoảng nào Để từ đó các

em đưa ra giá trị dương hay âm cho việc phá trị tuyệt đối

CHẲNG AI GIỎI MÀ KHÔNG CHỊU CHĂM HỌC CẢ - CỨ NGÀY CÀY CHỤC BÀI TOÁN THÌ 1 THÁNG LÀ TRÌNH ĐỘ CỨ GỌI LÀ LÊN TRỜI RỒI

pg 12 “ Ngồi học thì đừng lên facebook, đừng suy nghĩ linh ta linh tinh, đừng soi gương nghịch điện thoại và hãy thật sự vùi đầu vào sách vở cày như TRÂU – BÒ mới lên cơ bắp được nghe hông– Thầy tmt”

VD5 Tính tích phân

1 2

01

dx I

x







Lời Giải Bài toán này không có gì phức tạp cả, trong đề thi tuyển sinh sẽ next bào này nhưng các

em cũng nên làm để nâng cao khả năng trình bày cho mình

2 2

x tgt t     dx tg x dt

4

2

1

4 1

tg t

tg t







VD 6 Tính tích phân

3 1 2

dx I





Bài toán này chúng ta đi biến đổi một chút để có dạng X2 ± A2 và sau đó áp dụng theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác

Lời Giải Ta biến đối đôi chút như sau

I

Chúng ta đặt cả phần x+1 bằng ẩn lượng giác theo phương pháp sau

2 2

x tgt t     dx tg x dt

       , thay các thông số vào tích phân ta được

2

1

3 4 12 1

tg t

tg t

  





Việc tính tích phân cần các em làm tuần tự các bước, ở đây thầy nêu ra hướng tư duy toán cho các em!

ĐỜI LÀ TỰ MÌNH VA ĐẬP – THẦY CHỈ LÀ NGƯỜI CHỈ HƯỚNG LỐI NÀO ÍT SỎI ÍT

ĐÁ ĐỂ CÁC EM BỚT ĐAU HƠN THÔI