Bài giảng toán cao cấp 2

Giá trị cận biên trong kinh tế Đại lượng đo tốc độ thay đổi của y khi x thay đổi một lượng nhỏ được gọi là giá trị cận biên của y đối với x ký hiệu My x.. Một số hàm hai biến trong phân

 x được gọi là đối số hay biến độc lập

 D được gọi là tập xác định của f x( )

 Số f x( ) được gọi là giá trị của f tại x

 Tập f X( )yℝ y f x x X( ),   được gọi là tập giá trị của f x( )

- Hàm ẩn: y là hàm của x được xác định bởi phương trình F x y ( , ) 0 Khi

đó y được gọi là hàm ẩn của x

f x được gọi là không giảm trên I nếu a b I,  mà a b  f a( ) f b( )

Chú ý: Hàm tăng (giảm) là hàm đồng biến (nghịch biến) và được gọi chung là hàm đơn điệu

1 Hàm 1-1

Định nghĩa: Một hàm được gọi là tương ứng 1-1 giữa tập xác định và tập giá

trị (gọi tắt là hàm 1-1) nếu với mọi x x mà 1, 2

e Hàmycotx: 0, R là hàm 1-1, có hàm ngược là ycot 1x:

là hàm nghịch biến theo P Giao điểm của hai đường gọi là điểm cân bằng của thị trường

Chi phí = Chi phí cố định + chi phí biến động

Chi phí cố định là chi phí thuê mặt bằng…

Chi phí biến đổi = giá mua x Số sản phẩm

Thịt 10.000/tô

Quán đó bán với giá 25.000 đồng một tô Hãy tính xem quán đó bán bao nhiêu tô một ngày thì mới có lãi

2 Một hãng cho thuê xê ô tô với giá 10.000/km nếu quãng đường không quá 100km

Nếu quãng đường đi vượt quá 100km thì giá thuê tăng thêm 3.500 nghìn/km Gọi

x là số km xe thuê chạy và hàm C(x) là chi phí thuê xe Hãy xây dựng hàm chi phí C(x) và vẽ đồ thị

BÀI 2 DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN

I- BÀI TOÁN LÃI ĐƠN, LÃI GỘP

1 Bài toán lãi đơn

Nếu ta cho vay số tiền là v , lãi suất mỗi kỳ là r Cuối mỗi kỳ lãi được rút ra, gọi là lãi đơn 0Hỏi sau n kỳ số tiền có được là bao nhiêu?

Số tiền có được sau n kỳ là v n v0v nr0

Ví dụ: Một người cho vay 10 triệu đồng với lãi suất 1%/ tháng theo hình thức lãi đơn thì sau

3 năm 4 tháng, tổng số tiền thu được là bao nhiêu?

2 Bài toán lãi gộp

Nếu ta cho vay số tiền là v 0 với lãi suất mỗi kỳ là r Cuối mỗi kỳ lãi được nhập vào vốn để tạo thành vốn mới và tính lãi cho kỳ sau (gọi là lãi gộp hoặc lãi kép) Hỏi sau n kỳ số tiền có được là bao nhiêu?

Số tiền có được sau n kỳ là 0(1 )n

n

v v r

Chú ý: Lãi suất r/ kỳ có thể đổi qua các kỳ khác Chẳng hạn, nếu r = 7%/năm thì ta có:

Lãi suất theo kỳ nửa năm: 7%

a Nếu một người cho vay số tiền 1000USD với lãi gộp 8%/ năm tính theo quý thì sau 5 năm

số tiền người này có được là bao nhiêu?

b Một người có 500 triệu đồng gửi ngân hàng sau 3 năm thu được 588,38 triệu với lãi gộp định kỳ nửa năm Tìm lãi suất

c Nếu lãi gộp là 6%/ năm, tính theo quý thì cho vay 600 triệu sau bao lâu sẽ thu được toàn bộ giá trị là 900 triệu

d Nếu muốn sau 3 năm nhận được khoản tiền tiết kiệm là 1 tỷ đồng với lãi suất 9%/ năm, tính theo tháng thì bây giờ cần gửi vào bao nhiêu tiền?

khi

n

a  L  n N

2 Tính chất

+ Nếu  a có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất n

+ Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Nếu    x n , y là các dãy hội tụ thì n

lim( n n) lim n lim n

số khi xx0 gọi là giới hạn trái và kí hiệu

  Tổng quát nếu lim ( ) 0





 b

1lim sin

Hàm f x( ) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x nếu lim ( )a





Nếu L  thì 0 ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x và ký hiệu ( ) 0x   ( )x 

Nếu L 0 (L hữu hạn) thì ( )x và ( )x là hai VCB cùng cấp và ký hiệu ( )x O( ( )) x Đặc biệt, khi L 1 thì ( )x và ( )x là hai VCB tương đương và ký hiệu ( )x ∼( )x

4 Một số cặp VCB tương đương (cần ghi nhớ):

  , log (1 )

ln

a

x x a

 ∼ , 1

x

e  x

Chú ý : 1( )x ∼1( )x và 2( )x ∼2( )x  1( )x 2( )x ∼1( )x 2( )x

5 Quy tắc thay thế VCB tương đương

Nếu khi x , ta có hai cặp VCB tương đương: a f x( )∼ f*( )x , g x( )∼ g*( )x và tồn tại

1lim

ln(1 )

x x

e x





 b 0 3

ln(1 tan 3 )lim

Định nghĩa 1: Hàm số f x( )được gọi là liên tục tại a nếu hàm số f x( ) xác định tại a và lim ( ) ( )

+ Tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm liên tục là liên tục

+ Hàm hợp của hàm liên tục là liên tục

+ Các hàm sơ cấp thì liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

BÀI 3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN







  biểu diễn tốc độ biến thiên trung bình của y khi x thay đổi

Định nghĩa: Đạo hàm của hàm số y f x( ) tại x0( , )a b , ký hiệu là f x( )0 , df

dx là

0

0 0

0

( ) ( )( ) lim

0( )

Định lý 2 Nếu hàm số có đạo hàm tại x thì liên tục tại đó 0

Chú ý : Điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng

3 Các công thức và quy tắc tính đạo hàm

a Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản ( tr51)

b Các quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm của tổng hiệu (u v ) u v

Đạo hàm của tích ( )uv u v uv  

Đạo hàm của thương u u v uv2





II VI PHÂN

1 Khái niệm vi phân

Hàm f x( ) được gọi là khả vi tại x( , )a b nếu tồn tại số A sao cho ( ) ( ) ( ) 0( )

Khi đó biểu thức A x được gọi là vi phân cấp 1 của hàm f x( ) tại x và ký hiệu là dy

Chú ý: Ta có dx  , nên x dy A dx

Quan hệ giữa đạo hàm và vi phân

Hàm số f x( ) khả vi tại x khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại x Khi đó  y f x( ).  x 0( )x Nên dy f x dx( )

Ví dụ: Tính vi phân của các hàm số sau

Đạo hàm của đạo hàm cấp n 1 gọi là đạo hàm cấp n, ký hiệu ( );

n n n

d y y

dx .

Vi phân của vi phân cấp n 1 là vi phân cấp n, ký hiệu d y n

2 Liên hệ giữa đạo hàm và vi phân cấp cao

c Đặc biệt tại x  ta có khai triển Macloranh 0 0

BÀI 4 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

I ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN HỌC

limsin

x

x x

Định lý: Giả sử x là điểm tới hạn của hàm số 0 f x( ) Khi đó nếu

- x là điểm cực đại nếu 0 ( )

0( ) 0

n

- x là điểm cực tiểu nếu 0 ( )

0( ) 0

n

II ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

1 Tốc độ của sự thay đổi

Cho hai biến x y, có quan hệ hàm số y f x( )

Độ thay đổi của y:  y f x( 0  x) f x( )0

Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x là y

x



Tốc độ thay đổi tức thời 0

Ý nghĩa: Nếu x thay đổi một lượng là x thì y sẽ thay đổi một lượng là y x( ).0  x

2 Giá trị cận biên trong kinh tế

Đại lượng đo tốc độ thay đổi của y khi x thay đổi một lượng nhỏ được gọi là giá trị cận biên của y đối với x ký hiệu My x( )

a Giá trị cận biên của chi phí ( MC Q( ))

Cho hàm chi phí C Q( ) Giá trị cận biên của chi phí MC Q( )là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí C khi Q tăng thêm 1 đơn vị

Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là

b Giá trị cận biên của doanh thu MR Q( )

Cho hàm doanh thu R Q( ) Giá trị cận biên của doanh thu MR Q( ) là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi Q tăng 1 đơn vị

Ví dụ: Quan hệ giữa vé số bán được và giá vé của một hãng xe buýt là: Q10000 125 P Tìm doanh thu cận biên khi P = 30 và P= 42

3 Hệ số co giãn

Độ thay đổi tuyệt đối:

Khi đại lượng x tăng lên x  đơn vi thì x được gọi là độ thay đổi tuyệt đối

x

 phụ thuộc vào đơn vị và mang ý nghĩa khác nhau tùy theo biến x

Độ thay đổi tương đối:

x x y x

Hệ số co giãn của hàm số f x( ) tại a mô tả độ thay đổi tương đối của hàm số tại điểm f a( )

tính theo phần trăm khi biến số tăng 1% tại a

Dựa vào hệ số co giãn người ta đưa ra các khái niệm sau:

Nếu y x( )( ) 1a  thì hàm f x( ) được gọi là co giãn tại a (hàm số có phản ứng nhanh với sự

thay đổi của biến số)

Nếu y x( )( ) 1a  thì hàm f x( ) được gọi là đẳng co tại a

Nếu y x( )( ) 1a  thì hàm f x( ) được gọi là không co giãn tại a (phản ứng chậm đối với sự

thay đổi của biến số)

- Nếu giá giảm từ 4 đô la còn 3.92 đô la thì lượng bán sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm

4 Quyết định tối ưu

Một số bài toán trong kinh tế có mục đích là tối ưu hóa một hàm mục tiêu Hầu hết đều đưa

về bài toán tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Ta có thể thiết lập các bài toán tối ưu:

+ Tìm P để Q đạt tối đa

+ Tìm P hoặc Q để doanh thu đạt tối đa

+ Tìm Q để mức chi phí đạt tối thiểu

Ví dụ

a.Số vé bán được của một hãng xe buýt là Q10.000 125 P , trong đó P là giá bán một vé

Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa

b.Gọi Q là lượng hàng dự trữ một mặt hàng nào đó của một siêu thị và chi phí để lưu trữ là

BÀI 5 HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

3 Một số hàm hai biến trong phân tích kinh tế

a.Hàm sản xuất: Là hàm mô tả mối quan hệ phụ thuộc của sản lượng vào vốn và lượng lao

động: Q f L K( , )

b.Hàm chi phí, hàm tổng doanh thu, hàm lợi nhuận

- Hàm tổng chi phí được tính theo sản lượng:TC TC Q ( ), với Q f L K( , )

- Hàm tổng doanh thu: TR P Q trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm

- Tổng lợi nhuận:  TR TC

II GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC( SGK)

III ĐẠO HÀM RIÊNG

1 Khái niệm đạo hàm riêng

Cho hàm số z f x y( , ) xác định trên D và điểm ( , )x y D

Đạo hàm riêng của hàm f x y( , ) theo biến x được ký hiệu f

Đạo hàm riêng của hàm f x y( , ) theo biến y tại ( , )x y được ký hiệu f

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy, khi tìm đạo hàm của hàm số theo biến nào thì biến còn lại

được coi là hằng số

Ví dụ Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau

a Hàm ẩn một biến và đạo hàm của hàm ẩn

Cho hệ thức F x y ( , ) 0 (1) Nếu mỗi x D  , từ (1) tìm được duy nhất một nghiệm y, thì ta nói ta có y là hàm ẩn của x Khi đó x

x y

F y F

F z F

  , y y

z

F z F

 

Ví dụ Tìm ,z z biết hàm z được xác định bởi x y lnxz z lnx y

IV VI PHÂN TOÀN PHẦN

1 Khái niệm

Nếu hàm số xác định trên D có các đhr liên tục tại ( , )x y D thì A f x y B x( , );  f x y y( , )

Định nghĩa: Biểu thức f x y x f x y y x( , )  y( , ) được gọi là vi phân toàn phần của hàm )( , )

2 Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao

a Đạo hàm riêng cấp cao

Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 goi là đạo hàm riêng cấp 2

Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp n  là đạo hàm riêng cấp n 1

Ký hiệu của đạo hàm riêng cấp 2

Định lý: Hàm z f x y( , ) có các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục thì chúng bằng nhau

Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của z f x y( , ) tan 1 x

y



Ví dụ: Cho hàm ẩn z f x y( , ) được xác định bởi x y z e   z Tìm z z xx, yy

b Vi phân toàn phần cấp cao

V ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

1 Giá trị cận biên theo từng biến

Xét hàm sản xuất Q f L K( , ) thì Q Q lần lượt là giá trị cận biên của Q theo L, K L, K

Nếu x thay đổi từ x đến 0 x0  thì x x  gọi là độ thay đổi tuyệt đối của biến x

Độ thay đổi tuyệt đối của hàm theo biến x tại ( , )x y là 0 0

Khi đó f a b( , ) được gọi là giá trị cực đại (cực tiểu) của f x y( , )

Điểm dừng: Điểm ( , )a b D được gọi là điểm dừng của hàm số nếu tại đó tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ 0

0

x y

f f





2 Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại một điểm

Nếu hàm f x y( , ) đạt cực trị tại ( , )a b và tồn tại các đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm đó, thì ( , ) 0

Cho P là điểm dừng P là điểm cực đại nếu d f P  P là điểm cực tiểu nếu 2 ( ) 0 d f P  2 ( ) 0

b Điều kiện riêng cho hàm hai biến

Định lý Cho hàm z f x y( , ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trên một lân cận của điểm dừng ( , )a b

Đặt A f a b xx( , ); B f a b xy( , ); C f a b yy( , ) D AC B  2

a Nếu D0;A0, thì ( , )a b là điểm cực đại

b Nếu D0;A0, thì ( , )a b là điểm cực tiểu

c Nếu D 0 thì ( , )a b là điểm yên ngựa

Ví dụ Tìm cực trị của hàm số

a, z3x22xy y 210x2y 1

b, z x y( , )x3y33xy 0

4 Ứng dụng trong kinh tế

Bài toán 1 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Gọi

1, 2

P P là giá tương ứng của 2 sản phẩm Sản lượng tương ứng là Q1, Q2 Gọi C C Q Q ( ,1 2) là

tổng chi phí Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2 để lợi nhuận đạt tối đa

Doanh thu của công ty là: R PQ 1 1P Q2 2

Hàm lợi nhuận là:    R C

Tìm Q Q mà tại đó hàm đạt cực đại 1, 2

Ví dụ Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Giá bán

hai loại sản phẩm này trên thị trường lần lượt là P 1 450, P 2 630 Tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm được cho bởi biểu thức 2 2

1 1 2 2 210 1 360 2 100

C Q Q Q Q  Q  Q  Hãy tìm mức sản lượng cho mỗi loại sản phẩm để công ty thu được lợi nhuận tối đa

Bài toán 2 Một doanh nghiệp sản xuất trong điều kiện độc quyền một loại sản phẩm, loại sản

phẩm đó được tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt Phân phối mức tiêu thụ sản phẩm cho mỗi thị trường và giá bán tương ứng sao cho lợi nhuận đạt tối đa

Ví dụ Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên

hai thị trường tách biệt Giả sử sản lượng trên mỗi thị trường được xác định, như sau:

BÀI 7 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Xét bài toán: Tìm cực trị của hàm z f x y( , ) thỏa mãn điều kiện ràng buộc g x y ( , ) 0

1 Phương pháp thế

Giả sử f x y g x y( , ), ( , ) là các hàm khả vi Rút y y x( ) từ g x y ( , ) 0 thay vào f x y( , )

Khi đó hàm f x y( , ) thành hàm một biến z f x y x( , ( ))

Ví dụ

a.Tìm cực trị của f x y( , )x2y2 với điều kiện ràng buộc là x y 10

b.Chi phí của một hãng sản xuất hai loại hàng x y, là C x y( , ) 2 x2xy y 21000 Tìm mức sản xuất x y, để chi phí đạt tối thiểu với điều kiện x y 200

2 Phương pháp nhân tử Lagrange

Xét hàm: L f x y( , )g x y( , ) gọi là nhân tử Lagrange

Hàm L x y( , , ) được gọi là hàm Lagrange

Điều kiện cần

Nếu hàm f x y( , ) với điều kiện g x y ( , ) 0, đạt cực trị tại M a b( , ) thì hệ sau

00( , ) 0

x y

L L

Giả sử các hàm số f x y g x y( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận của

điểm ( , )a b và ( , , )a b 0 là điểm dừng của hàm Lagrange

Nếu g a b dx g a b dy x( , )  y( , )  và 0 dx2dy2 mà 0

- 2

0( , , ) 0

d L a b   thì ( , )a b là cực tiểu của hàm f x y( , ) với điều kiện ràng buộc

- 2

0( , , ) 0

d L a b   thì ( , )a b là cực đại của hàm f x y( , ) với điều kiện ràng buộc

- 2

0( , , )

d L a b không xác định dấu thì ( , )a b không là cực trị

Nếu detH 0, thì (a, b) là điểm cực đại Nếu det H 0, thì (a, b) là điểm cực tiểu

Ví dụ:

a.Tìm cực trị của hàm f x y( , )x2y2 với điều kiện ràng buộc x y 10

b.Tìm cực trị của hàm f x y( , )xy với điều kiện ràng buộc x y 10

c.Một doanh nghiệp sản xuất được cấp hạn ngạch sản xuất 200 đơn vị sản phẩm Để tiến hành

sản xuất, doanh nghiệp cần hai loại nguyên liệu A và B Đơn giá cho loại nguyên liệu A; B tương ứng là 10 và 40 đơn vị tiền tệ Biết rằng, nếu mua x đơn vị nguyên liệu A và y đơn vị nguyên liệu B, thì sản xuất được 10 xy sản phẩm Hỏi phải mua mỗi loại nguyên liệu với số

lượng như thế nào để có chi phí cho nguyên liệu thấp nhất

3 Bài toán tối đa hóa lợi ích

Giả sử P P là giá của hai mặt hàng 1, 2 x y, với tổng số tiền m Mục tiêu tối đa hóa hàm lợi ích ( , )

u x y với điều kiện P x P y m1  2 

Định lý Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) Hàm ( )x là nguyên hàm của f x( ) nếu

và chỉ nếu ( )x F x( )c, trong đó c là hằng số nào đó

Q x là phân thức có tử có bậc nhỏ hơn mẫu

Khi bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

2 Tích phân hàm lượng giác

Nếu R là hàm chẵn đối với sin x và cos x thì đặt tan x t

Nếu R là hàm lẻ đối với sin x thì đặt cosx t

Nếu R là hàm lẻ đối với cos x thì đặt sin x t

Ví dụ : Tính các tích phân

a

2 2

2 sin

2 cos

x dx x





 ; b

3cos

1 sin

x dx x





3 Tích phân một số dạng hàm có chứa căn

- Nếu tích phân có a2x2 , đặt x a sint

- Nếu tích phân có a2x2 , đặt x a tant

- Nếu tích phân có x2a2 , đặt

sin

a x t

