Bài giảng toán cao cấp 2 bài 1 2

Quy tắc tích phân... Ví dụ:Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số.

Bài 1.2:

CHUỖI SỐ DƯƠNG

NỘI DUNG:

1.2.1 Các định lí so sánh

1.2.2 Quy tắc D’Alembert

1.2.3 Quy tắc Cauchy

1.2.4 Quy tắc tích phân

Định nghĩa:

Chuỗi số 



1

n

n

u được gọi là chuỗi số dương nếu







 0 , n 1 ,

u n

Ví dụ:





1

1





1

2

1

1

n n

n





1 

2

2 )!

1

(

n

n

n

n

Các chuỗi trên có phải là chuỗi số dương không ? Các chuỗi trên là những

chuỗi số dương

Điều kiện đủ để chuỗi số dương hội tụ

Nếu dãy số S n bị chặn trên , n  1 ,  tức là A  0

sao cho S n  A, n thì chuỗi số dương 



1

n

n

u hội tụ Nếu dãy số Sn không bị chặn trên, Sn ∞ khi

n∞ thì chuỗi số phân kì

1.2.1 Các định lí so sánh

a Định lí 1.2: (Tiêu chuẩn so sánh 1)

Cho hai chuỗi số dương



1

n

n



1

n

n

v

trong đó u n  v n ,  n  1

Khi đó ta có:

- Nếu 



1

n

n

v hội tụ thì 



1

n

n

u hội tụ.



1

n

n

v

phân kì thì





1

n

n

Ví dụ:













1

1 )

n

n d





1 2  1

1 )

n

n

c

Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau





1 3 3

1 )

n

n

n



1 3

1 )

n n b

b Định lí 1.3: (Tiêu chuẩn so sánh 2)

Cho 2 chuỗi số dương và Giả sử K

v

u

n

n





lim

Khi đó ta có:

- Nếu 0 < K < +∞ thì 



1

n

n



1

n

n

v cùng hội tụ hoặc cùng phân kì

- Nếu K = 0 và nếu 



1

n

n

v hội tụ thì 



1

n

n

u hội tụ.

- Nếu K = +∞ và nếu 



1

n

n

v phân kì thì 



1

n

n

u phân kì.





1

n

n

1







n

n

v

Ví dụ:

Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số.





 1 2  1

1

n



 1 3

1





















1

1 1

ln

)



1sin 2

)

n

n

Chú thích

Cho chuỗi số dương 

1

u , trong đó un

 0 khi n  ∞ Nếu tồn tại 1 VCB vn

tương đương với VCB un thì 

1

u hội

tụ (phân kì) nếu 

1

v hội tụ (phân kì)

1.2.2 Quy tắc D’Alembert

Cho chuỗi số dương 



1

n

n

u Giả sử l

u

u

n

n





1

lim

Khi đó:

* Nếu l < 1 thì 



1

n

n

u hội tụ

* Nếu l > 1 thì 



 1

n

n

u phân kì (l có thể = +∞)

Ví dụ









1

2 )

n

n

n a





1

! )

n

n

n

n

1

R n

n d

n

n 











Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số





1

3

3 )

n

n

n b

1.2.3 Quy tắc Cauchy

Cho chuỗi số dương 



1

n

n

u Giả sử

hội tụ

l u

n n





lim

Khi đó: * Nếu l < 1 thì 



1

n

n

u

* Nếu l > 1 thì 



1

n

n

u phân kì.

Ví dụ Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số:

2

1

2 )

n

n





















2

1 2 3

1

5 )

n

n

b 





















1.2.4 Quy tắc tích phân

Nếu hàm f(x) liên tục, dương, giảm trong [a, +∞) với a ≥ 1, f(x)  0 khi x  +∞ và chuỗi số dương





1

n

n

u có u n  f (n), n  1 , 

Khi đó:

- Nếu 



1

) (x dx

f hội tụ thì chuỗi số 



1

n n

u hội tụ

- Nếu 



1

) (x dx

f phân kì thì chuỗi số 



1

n n

u phân kì

Ví dụ:

Xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số:





1

1



1

n n n

Chú ý

Một số chuỗi số đặc biệt thường dùng để so sánh khi xét sự hội tụ hay phân kì của chuỗi số











1

1 )

1



















1 )

2

n

n

q

q q

Hội tụ khi Phân kì khi

Hội tụ khi Phân kì khi