Bài giảng toán 4a phương trình vi phân

Nếu nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một được xác định dưới dạng ẩn , , 0x y C φ = thì gọi đó là tích phân tổng quát của PTVP.. Nếu hàm Px và Qx liên tục trên một khoảng m

Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

Bài số 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP I

I Đại cương về phương trình vi phân

1 Một số định nghĩa

Phương trình: ( , , ', '', , ( )n ) 0

F x y y y y = (*) chứa hàm chưa biết y=y x( ) và (ít nhất) một hay nhiều đạo hàm của nó được gọi

Hàm y= y x( ) xác định trên I được gọi là một nghiệm của PTVP (*) trên

khoảng I nếu các đạo hàm ', '', , ( )n

y y y tồn tại trên I và

( )( , , ', '', , n ) 0

với mọi x trong I

Quá trình đi tìm tất cả các nghiệm của PTVP được gọi là giải PTVP đó

Chú ý: + Phương trình (*) có thể được viết theo dạng chun:

( )n ( , , ', '', , ( 1)n )

y =G x y y y y −

trong đó G là một hàm (n+1) biến nhận giá trị thực

+ Phương trình vi phân thường: hàm phải tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập

+ Nếu Nn hàm là một hàm của hai hay nhiều biến độc lập, thì ta sẽ phải đưa vào

các đạo hàm riên, khi đó phương trình sẽ được gọi là phương trình đạo hàm riêng

+ Chỉ hàm liên tục mới có thể là nghiệm của PTVP trên một khoảng

Để ý: phương trình (1) xác định cả một họ gồm vô số các nghiệm của phương

trình vi phân (2), mỗi nghiệm ứng với một cách chọn hằng số tuỳ ý C

Câu hỏi: T ại sao phải học về PTVP:

Suất biến đổi đối với thời gian của nhiệt độ T(t) của một vật

thể tỷ lệ với hiệu số giữa T và nhiệt độ A của môi trường xung

+ Nhận thấy rằng nếu T > A, thì dT/dt < 0, do đó nhiệt độ là

một hàm giảm theo t và vật thể nguội đi

+ Nếu T < A, thì dT/dt > 0, và T sẽ tăng lên

Ví dụ 4 Quy luật của Torricelli : Suất biến đổi theo thời gian của khối lượng nước V

trong một bể chứa tỷ lệ với căn bậc hai của độ sâu y của nước trong bể:

dV

k y

với k là một hằng số

Nếu bể chứa là một hình trụ tròn xoay với diện tích đáy là A, thì

V = Ay, và dV/dt = A (dy/dt) Khi đó phương trình (3) có dạng:

+ Từ giả thiết về P ( t ) t a c ó :

1000 = P(0) = Ce0 = C,

2000 = P(1) = Ceksuy ra rằng C = 1000 và k = ln2 ≈ 0,693147

+ Với giá trị này của k phương trình vi phân (4) trở thành

thoả mãn các điều kiện đã cho

+ Số lượng vi khuNn sau một giờ rưỡi (khi t = 1,5) bằng

Ví dụ 8 a) Hãy kiểm tra, hàm y(x)= 2x1/2 – x1/2 lnx thoả mãn phương trình vi phân

Dễ thấy p/trình không có nghiệm (nhận giá trị thực)

c) Phương trình ( )y' 2+y2 =0 có nghiệm duy nhất (nhận giá trị thực) y(x) ≡ 0

 Nhận xét: Một phương trình vi phân khi có nghiệm thì có thể có vô số nghiệm

Ví dụ 9 Nếu A, B là những hằng số và

y(x) = A cos 3x + B sin 3x

+ Lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta được

+ Bởi vậy, ( )y x xác định họ hai tham số của các nghiệm

phương trình vi phân cấp hai '' 9y + y= trên toàn bộ trục số 0

II Phương trình vi phân cấp một

1 Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng: dy f x y( , )

Bài toán giá trị ban đầu :

( , ) (*)( ) (**)

dy

f x y dx

trong đó điều kiện ban đầu là y(x0) = y0

Giải bài toán giá trị ban đầu :

+ Tìm tất cả các nghiệm của PTVP

+ Lấy nghiệm thỏa mãn (**) trong khoảng chứa x0 là nghiệm của bài toán

Ví dụ 10 Giải bài toán giá trị ban đầu :

2

(1) 2

dy y dx y

+ Dễ thấy nghiệm y ≡ 0 : không thỏa mãn bài toán

+ Xét họ nghiệm y(x) = 1/(C – x) của PTVP dy/dx = y2.Ta tìm một giá trị

C sao cho nghiệm y(x)= 1/(C-x) thoả mãn điều kiện ban đầu y ( l ) = 2

Thế các giá trị x = 1 và y =2 vào nghiệm đã cho, ta được : 2 (1) 1

−

−

 Chú ý: Trên Hình 1.1.7 là hai nhánh đồ thị của hàm số: y = 2/(3 – 2x)

+ Nhánh trái là đồ thị trên (–∞, 3/2) của nghiệm của

bài toán giá trị ban đầu đã cho

2

(1) 2

dy y dx y

+ Nhánh phải đi qua điểm (2, –2) và do đó là đồ thị trên

(3/2, ∞) của nghiệm của bài toán giá trị ban đầu khác :

2

dy y dx y

Nghiệm tổng quát, nghiệm riêng.

Xét PTVP cấp một dạng đặc biệt đơn giản: f (x)

dx

dy

= (1) Lấy tích phân hai vế phương trình (1) là thu được:

( )y x =∫ f x dx C( ) + =G x( )+C (2) Đây là nghiệm tổng quát của (1),

Từ nghiệm tổng quát, với mỗi sự lựa chọn C thì ta nhận được một nghiệm riêng của

phương trình vi phân (1)

Hằng số C – về phương diện hình học – là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa

Khi cho một điều kiện ban đầu y(x0)= y0, từ nghiệm tổng quỏt ta cú

)( 0

0 G x

y

C= ư Với sự lựa chọn này của C, ta thu được nghiệm riờng của phương trỡnh

(1) thỏa món bài toỏn giỏ trị ban đầu: f (x),

 Nghiệm riêng của PTVP cấp một là mỗi nghiệm y=ϕ( ,x C0)

mà ta nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho hằng số C tuỳ ý một giá trị cụ thể C0  Nếu nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một được xác định dưới dạng ẩn ( , , ) 0x y C

φ = thì gọi đó là tích phân tổng quát của PTVP

 KhiC = C0 ta được: φ( , ,x y C0) 0= gọi đó là tích phân riêng của PTVP nói trên

 Tuy nhiên có những nghiệm không được sinh ra từ công thức nghiệm tổng quát (khi đó thường nhận được từ những nhận xét riêng), nghiệm đó được gọi là nghiệm kỳ dịcủa PTVP

 Việc tìm C =C0 thường xuất phát từ việc kiểm tra điều kiện ban đầu y x( )0 =y0, nên khi đó nghiệm riêng sinh ra chính là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu:

( , ) ( )

dy

f x y dx

32()

C x x dx x x

Hình vẽ cho thấy đồ thị của y =x2 +3x+C với một vài giá trị của C Nghiệm riêng

ta quan tâm có đồ thị là đường cong đi qua điểm (1,2), do đó thoả mãn điều kiện ban đầu:

21

.31)1

=++

Điều này dẫn đến C = -2, nên nghiệm riêng (tức là nghiệm của bài toán) cần tìm là:

.23)

có hai nghiệm phân biệt y1( x ) = x2 và y2( x ) ≡ 0

Nhận xét: Giả sử rằng ta đang nghiên cứu một hệ vật lý mà hoạt động của nó là hoàn

toàn xác định bởi điều kiện ban đầu, nhưng mô hình toán được đưa ra là một Bài toán giá trị ban đầu nhưng không có nghiệm duy nhất

Một vấn đề đặt ra là: Khi nào Bài toán Cauchy đó có duy nhất nghiệm

ĐNNH LÝ 1 (Sự tồn tại và duy nhất nghiệm)

Giả sử cả hàm f(x,y) và đạo hàm riêng D y f ( y x, ) của nó là liên tục trên một hình

chữ nhật R nào đó trong mặt phẳng Oxy chứa điểm (a,b) Khi đó, với khoảng mở I chứa

điểm a, bài toán giá trị ban đầu:

( , )( )

+ Hàm f(x,y) = –y và đạo hàm riêng ∂f /∂y=−1 đều liên tục tại mọi điểm

+ Theo Định lý 1: Bài toán có duy nhất nghiệm với mọi điều kiện đầu (a,b)

 Chú ý 2: Trong phương trình vi phân dy/dx=−2 y

+ Hàm f(x,y)=−2 y là liên tục với mọi y > 0, nhưng đạo hàm riêng

y

y

f /∂ =1/

+ Tại điểm (0,0) tồn tại hai nghiệm khác nhau 2

1(x) x

y = và y2(x)≡0 mà mỗi nghiệm của bài toán

 Chú ý 3: Trong phương trình vi phân rất đơn giản dy/dx= y2

+ Ta có f(x,y)= y2 và ∂f /∂y=2y : liên tục trên toàn bộ mặt phẳng Oxy nói chúng

và là trên hình chữ nhật -2 < x < 2; 0 < y < 2 nói riêng

+ Vì điểm (0,1) nằm trong hình chữ nhật này, nên Định lý 1 bảo đảm nghiệm duy nhất – tất nhiên là hàm liên tục – cho bài toán điều kiện ban đầu:

,2

y dx

dy

trên khoảng mở x chứa a = 0: đó chinha là :

x x

y

−

=1

1)(

+ Tuy nhiên: y(x) = 1/(1 – x) là hàm gián đoạn tại x = 1,

nên nghiệm duy nhất liên tục là không tồn tại trên toàn bộ

khoảng -2 < x < 2 Do đó, khoảng I ở Định lý 1 có thể

không rộng như hình chữ nhật R khi f và ∂ /f ∂y đều liên

tục

Lý do: của việc này là đường cong nghiệm được nói tới

trong định lý có thể cắt hình chữ nhật – nơi mà nghiệm của PTVP được đảm bảo là tồn tại – trước khi nó đạt tới một hoặc cả hai đầu mút của khoảng

nghiệm duy nhất tại các điểm bất kỳ trên mặt phẳng Oxy mà x≠0

+ Nghiệm đó là hàm : y(x)=Cx2 thoả mãn PTVP với mọi hằng số C và với mọi giá trị của biến x

Bài toán giá trị ban đầu: 2y,

Có thể thấy rằng tất cả các parabol này đều đi qua điểm

gốc (0,0), nhưng không có đường nào trong số đó đi qua một

điểm nào khác trên trục y Điều này kéo theo việc bài toán

điều kiện ban đầu này có vô số nghiệm

+Tuy nhiên bài toán điều kiện ban đầu: 2y,

dx

dy

x = y(0) = b vô nghiệm với b≠0

Bài toán giá trị ban đầu: 2y,

dx

dy

 có nghiệm duy nhất nếu a≠0

 vô nghiệm nếu a = 0; b ≠ 0

 vô số nghiệm nếu a = b = 0

x x

khi

khi

0

Chú ý:Phương trình vi phân cấp 2 dạng đơn giản và một số mô hình Toán

Xét phương trình vi phân cấp 2 với dạng đặc biệt: 2 ( ),

2

x g dx

y d

+ Lấy tích phân một lần để thu được: =∫y"dx=∫g(x)dx=G(x)+C1,

dx dy

ở đó G là một nguyên hàm của g và C1 là một hằng số bất kỳ

+ Tiếp tục tích phân một lần nữa, ta được:

)(')

a

+ Theo Định luật 2 Newton về quỹ đạo chuyển động thì: ma(t) = F(t) hay F = ma,

ở đây m là khối lượng của phần tử,

+ Nếu đã biết lực F, thì có thể lấy tích phân hai lần phương trình x " ( t ) = F ( t ) / m để

tìm hàm vị trí x(t) dưới dạng tích phân chứa hai hằng số Hai hằng số này được xác định

bởi vị trí ban đầu x0 = x ( 0 ) và vận tốc ban đầu v0 = v ( 0 ) của phần tử

Đặc biệt : Gia tốc hằng số

+ Giả sử : gia tốc a = F/m, là hằng số Khi đó, ta bắt đầu với phương trình:

dv a

= (a là một hằng số)

+ Ta biết v = v0 khi t = 0, và thay điều này vào đẳng thức trên ta được C1 = v0 Nên:

x t v at t

Ví dụ 2 Một đĩa bay rơi xuống bề mặt Mặt trăng với vận tốc 450 m/s Tên lửa hãm

của nó, khi cháy, sẽ tạo ra gia tốc 2,5 m / s2 (gia tốc trọng trường trên Mặt trăng được coi

là bao gồm trong gia tốc đã cho) Với độ cao nào so với bề mặt Mặt trăng thì tên lửa cần

được kích hoạt để bảo đảm “sự tiếp đất nhẹ nhàng”, tức là v = 0 khi chạm đất?

+ Ta ký hiệu x(t) là độ cao của đĩa bay so với bề mặt Mặt trăng

+ Đặt t = 0 là thời điểm mà tên lửa đNy lùi cần được kích hoạt Khi đó v0 = − 450 m / s

(nó âm vì độ cao x(t) giảm dần), và a = 2 , 5 m / s2

+ Phương trình (10) và (11) trở thành: ( ) 2,5v t = t−450

và 2

0( ) 1, 25 450

x t = t − t+x

ở đó x0 là độ cao của đĩa bay tại thời điểm t = 0 và là lúc tên lửa cần được kích hoạt

+ Từ phương trình ta thấy, v = 0 (tiếp đất nhẹ nhàng) xảy ra khi:

x = km≈ dặm Do đó, tên lửa hãm nên được kích hoạt khi đĩa bay

ở độ cao 40,5 km so với bề mặt Mặt trăng, và nó sẽ tiếp đất nhẹ nhàng sau 3 phút

3 Phương trình vi phân phân ly biến số

a Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp một: dy H x y( , )

b Cách giải: Xét p/t có dạng (**), lấy tích phân hai vế theo x:

y x = e−

Đó chính là đường cong nghiệm tô đậm phía trên trong Hình 1.4.1

Chú ý: + Giả sử rằng điều kiện ban đầu trong Ví dụ 1 là y (0) = − 4 Khi đó y x ( ) âm khi x gần 0 Khi đó: ln ( − y ) = − 3 x2 + C

+ Điều kiện ban đầu suy ra C = ln 4, do đó ln ( − y ) = − 3 x2 + ln 4, và do vậy

2

3

y x = − e− ,

Đó chính là đường cong nghiệm tô đậm phía dưới trong Hình 1.4.1

Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân: 4 22

Giải +Với ĐK mẫu số khác 0, ta đưa về dạng tách biến: (3 y2 − 5) dy = (4 2 ) − x dx

+ Lấy tích phân hai vế ta nhận được:

∫ ( 3 y2− 5 ) dy = ∫ ( 4 2 − x dx ) ⇔ y3− 5 y = 4 x − x2 + C Nghiệm tổng quát dưới dạng Nn

Mặc dù không thể nghiệm hiện y theo x, ta vẫn thấy mỗi đường cong nghiệm y = y x ( )là một đường đường mức của hàm: H x y ( , ) = x2 − 4 x + y3− 5 y, tức là đường cong có phương trình dạng: H x y ( , ) = x2 − 4 x + y3− 5 y = C

Ví dụ 4. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình vi phân: dy 6x y( 1)23

Giải + Dễ thấy y ≡ 1 là một nghiệm của phương trình

+ Xét với y ≠ 1, chuyển về thành dạng tách biến: ( y − 1 )23dy = 6 xdx

+ Lấy tích phân hai vế ta nhận được

2 3

- Giá trị dương của hằng số C tương ứng các đường

cong nghiệm nằm trên đường thẳng y = 1,

- Các giá trị âm thì các đường này nằm dưới

- Khi C = 0 thì nghiệm là y x ( ) 1 = + x6

- Không có giá trị nào của C suy ra nghiệm y x ( ) 1 = từ

(*) Nên y x ( ) 1 = là nghiệm kỳ dị, nghiệm này đã bị mất khi phân ly biến số Chú ý rằng hai nghiệm khác nhau y x ( ) 1 ≡ và y x ( ) 1 = + ( x2 − 1 )3 đều thoả mãn điều kiện ban đầu (1) 1

được dùng như mô hình toán học của một lớp rất rộng các hiện tượng tự nhiên

Sự tăng dân số: Gọi P(t) là số cá thể trong một quần thể (người, côn trùng hay vi

khuNn) có tỷ lệ sinh β và tỷ lệ chết δ là hằng số (đây là số cá thể ra đời hay mất đi trong một đơn vị thời gian)

Thế thì, trong một khoảng thời gian ngắn ∆t:

Lãi lũy tiến: Cho A(t) là lượng đô la trong quỹ tiết kiệm tại thời điểm t (tính theo

năm) và giả sử rằng tỷ lệ lãi lũy tiến tính theo năm là r, (Ví dụ tỷ lệ 10% lãi một năm có

nghĩa là r = 0,10) Lãi lũy tiến nghĩa là trong một khoảng thời gian ngắn ∆t, số tiền lãi

thêm vào tài khoản xấp xỉ bằng ∆A = rA(t)∆t, suy ra

Sự phân rã phóng xạ: Xét một mẫu vật chất chứa N t ( ) nguyên tử của một vài

đồng vị phóng xạ nào đó tại thời điểm t Biết rằng sau mỗi đơn vị thời gian, số lượng các

nguyên tử phóng xạ của vật chất phân rã tự nhiên (thành nguyên tử của các nguyên tố

khác nhau hay thành các đồng vị khác nhau của cùng một nguyên tố) là hằng số

Do vậy, ta sử dụng phương trình (2) với N ở vị trí của P, với k > 0 ở vị trí của δ,

và với β = 0 Do đó ta có phương trình vi phân

dN

kN

Giá trị k phụ thuộc vào từng loại đồng vị phóng xạ riêng

Giải độc: Trong nhiều trường hợp lượng A(t) của một loại thuốc ngủ trong máu, khi

vượt quá liều tự nhiên của nó, sẽ giảm dần với tốc độ tỷ lệ với lượng thuốc quá liều

thường được gọi là phương trình mũ hay phương trình tăng trưởng tự nhiên

Ví dụ 5 Theo số liệu tại www.census.gov vào giữa năm 1999 số dân toàn thế giới đạt

tới 6 tỉ người và đang tăng thêm khoảng 212 ngàn người mỗi ngày Giả sử là mức tăng

dân số tự nhiên tiếp tục với tỷ lệ này, hỏi rằng:

(a) Tỷ lệ tăng k hàng năm là bao nhiêu?

(b) Vào giữa thế kỉ 21, dân số toàn thế giới sẽ là bao nhiêu?

(c) Hỏi sau bao lâu số dân toàn thế giới sẽ tăng gấp 10 lần–nghĩa là đạt tới 60 tỉ

Giải (a) Ta tính dân số theo tỉ và thời gian theo năm

+ Lấy t = 0 ứng với giữa năm 1999, nên P0 = 6

+ Sự kiện P tăng lên 212 ngàn hay là 0,000212 tỉ người trong một ngày tại t = 0 có nghĩa là

+ Như vậy, số dân thế giới đang tăng theo tỉ lệ khoảng 1,29% một năm vào năm

1999 Với giá trị k này, ta có hàm cho số dân thế giới là: P(t) = 6e0,0129.t

Quá trình nguội đi và nóng lên

Theo quy luật Newton về quá trình nguội đi, suất biến đổi theo thời gian của nhiệt độ của một vật nhúng trong môi trường có nhiệt độ không đổi A thì tỷ lệ với hiệu A–T Nghĩa là : dT k A T( )

Quy luật Torricelli

Giả sử một thùng chứa nước bị một lỗ hổng diện tích a tại đáy, qua đó nước đang chảy ra

Kí hiệu y(t) là độ sâu của nước trong thùng tại thời điểm t và V(t) là thể tích nước trong thùng lúc đó Khi đó ta có:

dV

k y

dt = −

4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

a Hàm tuyến tính +Hàm ( , )F a b được gọi là tuyến tính theo biến thứ nhất nếu:

F λa +µa b =λF a b +µF a b +Hàm ( , )F a b được gọi là tuyến tính theo biến thứ hai nếu:

F a λb +µb =λF a b +µF a b

Câu hỏi đặt ra : Cách giải PT (1) ra sao ?

c Phương pháp giải : + Trên một khoảng mà các hàm hệ số P(x) và Q(x) đều liên tục.Ta nhân cả hai vế của phương trình (1) với thừa số tích phân : ρ( )x =e∫P x dx( ) ta được:

1 Đầu tiên, tính thừa số tích phân ρ( )x =e∫P x dx( )

2 Nhân hai vế của phương trình vi phân với ρ(x)

3 Sau đó, đưa vế trái của phương trình được xét về dạng đạo hàm của một tích:

+ Nhân hai vế với

ĐNNH LÝ 1 Về sự tồn tại và duy nhất nghiêm

Nếu hàm P(x) và Q(x) liên tục trên một khoảng mở I chứa điểm x0, thì bài toán giá trị ban đầu:

 Chú ý 2: Phương trình vi phân tuyến tính cấp một không có các nghiệm kì dị

 Chú ý 3: Giá trị thích hợp của hằng số C–cần để giải bài toán giá trị ban đầu với

Giải + Chúng ta có P(x) = –1 và Q(x) = 11 / 3

,8

x

e− vì thế thừa số tích phân là ( 1)

Theo Định lý 1, nghiệm này xác định với mọi x > 0

Ví dụ 4 Một bình dung tích 120 gallon (gal) lúc đầu chứa 90 lb (pao-khoảng 450g)

muối hoà tan trong 90 gal nước Nước mặn có nồng độ muối 2 lb/gal chảy vào bình với vận tốc 4 gal/phút và dung dịch đã được trộn đều sẽ chảy ra khỏi bình với vận tốc 3 gal/phút Hỏi có bao nhiêu muối trong bình khi bình đầy ?

Giải + Qua sự khác nhau giữa vận tốc chảy vào và vận tốc chảy ra, thể tích nước

muối trong bình tăng đều đặn theo công thức V(t)= 90+t gallons Sự thay đổi x∆ của

lượng muối x trong bình từ thời điểm t tới thời điểm t+∆t(phút) được cho bởi :

+ Nhân tử lấy tích phân là : 3 3ln(90 ) 3

90)

90(2)

4

t t

t x

+

−+

4

≈

−+

=

Bài tập về nhà: Trang 23, 34, 49, 71, 89

Đọc trước các Mục:1.6 (tr.98-110), 1.7, 1.8 chuNn bị cho Bài số 2

Phương trình đẳng cấp Phương trình Bernoulli

Phương trình vi phân toàn phần

( v x g dx

dv v dx

dx x dx

dy

v

x βββ

∂

∂

= (4) thì ta có một phương trình vi phân mới dạng:

),

( v x g dx

dv

với biến phụ thuộc mới là v

+ Nếu v = v(x) là nghiệm của (5) thì y=β(x,v(x)) sẽ là nghiệm của (1)

Các bước giải PTVP bằng phương pháp thế:

dy

++

có thể được biến đổi thành PTVP phân ly bi ến bằng cách dùng phép thế v=ax+by+c

2 Phương trình vi phân thuần nhất cấp 1

Dạng: PTVPcấp 1 thuần nhất là phương trình có thể viết được dưới dạng:

dv

Ví dụ 2 Giải phương trình:

.34

y x dx

dy

Giải + Đây là PTVP cấp 1 phi tuyến , tuy nhiên các hệ số là các hàm đẳng cấp bậc 2

+ Dễ dạng biến đổi về:

32

x xy

y x dx dy

Chú ý : Với k > 0 nghiệm xác định với x > 0,

và k < 0 cho nghiệm với x < 0

Trong Hình 1.6.2 thể hiện tính đối xứng theo cả 2 trục toạ độ Trên thực tế, có cả các nghiệm âm và dương của phương trình ở dạng :

2

3 4)

y =± − , xác định với x > 4/k nếu k dương và với x < 4/k nếu k âm

Hình 1.6.2 Trường độ dốc và đường cong nghiệm của 2xyy'=4x2 +3y2

Ví dụ 3 Giải bài toán Cauchy:

0 0

=

x

y x

y dx

x

x x

x x

(

x

x x

/ 0

π π

e x x e

Hình 1.6.3 mô tả một số đường cong nghiệm của phương trình Có thể kiểm tra các đường biên y = x và y = – x (với x > 0) là các nghiệm kì dị, bao gồm các tiếp điểm với các đường cong nghiệm tìm được trước đây

Hình 1.6.3 Các đường cong nghiệm của ' 2 2

y x y

3 Phương trình Bernoulli

y x Q y x P dx

dy

)()

Nhận xét : + Nếu n = 0 hoặc n = 1 thì (9) là phương trình tuyến tính

+ Khi n≠0,1 PTVP (9) là PTVP phi tuyến cấp 1

Ví dụ 4 Phương trình thuần nhất 2xyy'=4x2 +3y2 có thể viết dưới dạng:

,

22

3

y

x y x dx

y

v= 1/ 2

.2

32

1 −1/2 1/2 −1/2

=

x dx

dv v

+ Nhân 2 vế với 2v1 / 2, thu được phương trình tuyến tính:

x v x dx

dv dv

dy dx

.36

=+

dx

dv xv

+ Chia 2 vế cho 3 − 4

− xv ta có phương trình tuyến tính: −2v=−1

x dx dv

+ Vậy:

)(

1)

Cx x x y

1

= 3x3

+ Nhân với thừa số tích phân p = 1/x, ta tìm được :

v x

1 = ∫3x2dx = x3 + C, suy ra e 2y = v = x4 + Cx

Ví dụ 7 (Quĩ đạo bay) Giả sử một máy bay xuất phát từ điểm (a, 0) đặt ở đúng phía

Đông của nơi nó đến đó là một sân bay đặt tại gốc tọa độ (0, 0) Máy bay di chuyển với

vận tốc không đổi v0 (có ảnh hưởng của gió thổi theo đúng hướng Nam với vận tốc

không đổi w) Như trong Hình 1.6.4, giả thiết rằng phi công luôn giữ hướng bay về

2 2 0

y x

x v

+

dt

dy = –v0sinθ + w =

2 2 0

y x

y v

+

+ Do đó đường bay y= f x( ) y = f(x) của máy bay thỏa mãn PTVP

dy

=

dt dx

dt dy

1

y x w y v x

x

+ Phép thế y = xv suy ra y' = v + xv' và dẫn tới

∫+ 2

1 v

dv

= –∫ dx x

k

+ Từ đó:

+ Nếu w = v0( k = 1), thì phương trình (15) có dạng: y(x) = a(1–x2/a2)/2,

nên quĩ đạo bay đến gần điểm (0, a/2) hơn là (0, 0)

+ Nếu w > v 0 (nên k > 1) , từ phương trình (15) suy ra y → +∞ khi x→ 0

4 Phương trình vi phân toàn phần

Dạng : Nếu tồn tại hàm ( , ) F x y sao cho

( , )( , )

F

M x y x

F

N x y y

được gọi là PTVP toàn phần.

ĐNNH LÝ 1 (Tiêu chu n để nhận ra phương trình vi phân toàn phần)

Giả sử những hàm M(x, y) và N(x, y) liên tục và có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong hình chữ nhật mở R: a < x < b, c < y < d Khi ấy PTVP

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, (16)

là toàn phần trong R nếu và chỉ nếu : ∂M = ∂N (17)

N

∂

∂

Côngthức nghiệm : Xét PTVP toàn phần

+ Lấy đạo hàm hai vế của (**) theo y rồi áp dụng : F N x y( , )

+ Nghiệm tổng quát của (*) là : ( , )F x y =C

Ví dụ 9 Giải phương trình vi phân: (6xy – y3)dx + (4y + 3x2 – 3xy2)dy = 0

Gi ải + Ta có M(x, y) = (6xy – y3) và N(x, y) = (4y + 3x2 – 3xy2)

+ Phương trình đã cho là PTVP toàn phần bởi vì

= 3x2 – 3xy2 + g'(y) = 4y + 3x2 – 3xy2,

suy ra g'(y) = 4y Do đó g(y) = 2y2 + C1

+Từ đó : F(x, y) = 3x2y – xy3 + 2y2 + C1

+ Vậy nghiệm tổng quát của PTVP được xác định Nn bởi :

(ta đã dồn hằng số C1vào trong hằng số C)

Hình 1.6.6 Trường độ dốc và các đường cong nghiệm

của phương trình vi phân toàn phần trong Ví dụ 9

Nếu xét Bài toán Cauchy: (6 - 3) (4 3 2 - 3 2) 0

3x2y – xy3 + 2y2 = 2

Về nhà

1 Đọc thêm Mục 1.7 và 1.8 để hiểu thêm một số Mô hình Toán

2 Bài tập: Tr 114-118

3 Đọc trước: Mục 1.6(tr.111, 112), 2.1 chuNn bị cho Bài số 3:

Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được Đại cương về PTVP tuyến tính cấp 2

Bài số 3 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

I Phương trình vi phân cấp hai

1 Định nghĩa. Một phương trình vi phân cấp hai chứa đạo hàm cấp hai của hàm Nn

là nghiệm của phương trình (2)

Ví dụ 1 Giải phương trình: xy" + 2y' = 6x

+ Ta nhận được PTVP TTcấp 1: x dp 2p 6x

dx+ = tức là dp 2 p 6

dx+ x = + Nhân với thừa số tích phân

2 2

2 1

Giải. + PTVP khuyết biến độc lập x

+ Giả sử y và y' đều không âm , xét phép thế: p y' y" dp dp dy p dp

( ) (C x C1 2 ) Bx,

1,

II Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

1 Định nghĩa PTVP tuyến tính cấp hai có (hoặc có thể viết được) dưới dạng

A x y( ) "+B x y( ) '+C x y( ) =F x( ) (1)

ta sẽ luôn giả thiết các hàm hệ số (đã biết) A x( ) 0, ( ), ( )≠ B x C x , và F x( ) là những

hàm liên tục trên một khoảng mở I (có thể không bị chặn)

Ví dụ: + PT x " (cos ) ' (1 ) tan 1

e y + x y+ + x y= − x : PTVPTT cấp 2

+ Các PT :y"= yy' và y" 3( ')+ y 2 +4y3 =0 không là PTVP TT cấp 2

Nếu F x( ) 0≡ trên I, thì (1) là PTVP cấp 2 tuyến tính thuần nhất;

+ Nếu F x( ) 0≠ thì (1) là PTVP cấp 2 tuyến tính không thuần nhất

Ví dụ : PTVP : x y2 " 2 ' 3+ xy + y=cosxlà phương trình không thuần nhất;

+ Phương trình thuần nhất tương ứng của nó là : x y2 " 2 ' 3+ xy + y=0

Tổng quát PTVP tuyến tính thuần nhất ứng với phương trình (1) là

một đầu gắn với một lò xo chống sốc và chịu tác động

một lực F R (Hình 2.1.1) Giả thiết phản lực F S của lò

xo tỷ lệ với độ dịch chuyển x (hướng dương sang bên

phải, hướng âm sang bên trái) của chất điểm tính từ

vị trí cân bằng, do đó lực lò xo chống sốc F R tỷ lệ với

vận tốc v=dx dt/ của chất điểm Khi đó hướng

tương ứng của hai lực tác động đó :

Đây là PTVPTT thuần nhất cấp hai mô tả dao động

t ự do của chất điểm vớinghiệm là hàm ( ) x t

Nếu kết hợp cùng với F S và F R , chất điểm m chịu

tác động của một ngoại lực F(t), lúc đó sẽ được cộng thêm vào vế phải trong phương

3.Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

a)Dạng : y"+ p x y( ) '+q x y( ) =0 (3)

Đối với PTVPthu ần nhất :

+ Tổng hai nghiệm của phương trình (3) lại là một nghiệmcủa phương trình này, + Tích của một nghiệm với một hằng số cũng là một nghiệm của nó

b) ĐNNH LÝ 1 Nguyên lý chồng chất nghiệm đối với PTVPTT thuần nhất

Cho y1 và y2 là hai nghiệm của PTVPTT (3) trên khoảng I Nếu c1 và c2 là các hằng số, khi đó : y=c y1 1+c y2 2 cũng là một nghiệm của phương trình (3) trên I

Ví dụ 1 + Dễ dàng kiểm tra được rằng

cũng là nghiệm của phương trình

+ Ngược lại mỗi nghiệm của phương trình y"+y=0 là một tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm riêng y1 và y2 của phương trình đó

+ Như vậy nghi ệm tổng quát của phương trình y"+y=0 được cho bởi

c) ĐNNH LÝ 2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của Bài toán Cauchy đối với PTVPTT cấp 2

Định lý : Giả sử p x q x( ), ( ) và f x( ) là các hàm liên tục trên khoảng mở I chứa điểm

a, với hai số cho trước hai số b0 và b1, bài toán giá trị ban đầu đối với PTVPTT cấp 2 :

0 1

" ( ) ' ( ) ( ) (4)( )

Chú ý: + Bài toán giá trị ban đầu đối với PTVP tuyến tính cấp hai có nghiệm duy

nhất trên toàn bộ khoảng I, khoảng mà các hàm hệ số trong PTVP (4) liên tục

+ PTVP phi tuyến nói chung có duy nhất nghiệm chỉ trong một khoảng nhỏ chứa a

+ Từ Định lý suy ra nghiệm tầm thường y x( ) 0≡ chỉ là nghiệm của phương trình

Quy tắc giái bài toán Cauchy cho PTVPTT cấp 2 thuần nhất :

Xét b/toán Cauchy với p x q x( ), ( ) và f x( ) là các hàm liên tục /khoảng I chứa điểm a :

0 1

" ( ) ' ( ) ( ) ( )

+ Theo Định lý 2 suy ra nghiệm duy nhất của Bài toán

Ví dụ 1(tiếp) + y x( ) 3cos= x−2sinx là nghiệm duy nhất thực của y"+y=0, với các

dữ kiện ban đầu y(0) 3, '(0)= y = −2

+ Tổng quát, hàm : y x( )=b0cosx+b1sinx là nghiệm duy nhất của y"+ y=0 thỏa

mãn các điều kiện ban đầu tùy ý y(0)=b y0, '(0)=b1

Giải + Đây là PTVPTT cấp 2 với hệ số hằng số

+ Kiểm tra các hàm đã cho là nghiệm

d) Sự độc lập tuyến tính của hai hàm

Định nghĩa : Hai hàm xác định trên một khoảng I được gọi là độc lập tuyến tính

trên I nếu một trong hai hàm đó không th ể viết dưới dạng tích của một hằng số nhân với hàm còn lại

Hai hàm được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên một khoảng mở nếu chúng không

độc lập tuyến tính ; tức là, một trong hai hàm đó là tích của một hằng số với hàm còn lại

Nhận xét : + Hai hàm cho trước f và g là PTTT trên một khoảng I nếu các tỷ số

/

f g hoặc g f/ là hàm hằng trên khoảng I

+ Hàm f x( ) 0≡ và một hàm g bầt kỳ luôn phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3 + Những cặp hàm sau độc lập tuyến tính trên đường thẳng thực :

sin x và cos x ; x

e và 2 x

e− ; x

+ Khi đó : f và g là hai hàm ĐLTT trên I khi và chỉ khi W f g( , ) 0,≠ trên I

f và g là hai hàm PTTT trên I khi và chỉ khi W f g( , ) 0,≡ trên I

e Nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất

ĐNNH LÝ 4 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

Cho y1 và y2 là hai nghiệm ĐLTT của PTVPTT cấp 2 thuần nhất

y"+ p x y( ) '+q x y( ) =0 (6)

với p và q liên tục trên khoảng mở I Nếu Y là một nghiệm bất kỳ của P/trình (6) trên I,

khi đó tồn tại các số c1 và c2 sao cho :

+ Ta lại có: y x3( ) cosh 2= x và y x4( ) sinh 2= x cũng là các nghiệm ĐLTT của phương trình (7), vì

+ Từ Định lý 4 suy ra các hàm cosh2x và sinh2xcó thể được biểu diễn như là tổ hợp

III Sơ lược về PTVP tuyến tính cấp n

1 Định nghĩa PTVP tuyến tính cấp cao nhất có thể là n có dạng

( ) ( 1)

P x y +P x y − + +P− x y+P x y=F x (1) trong đó ta thường giả thiết các hàm hệ số P x i( ) và F x( ) là các hàm liên tục trên một

khoảng mở I (có thể không bị chặn) mà ta muốn tìm nghiệm

+ Nếu thêm giả thiết P x0( ) 0≠ tại mỗi điểm của I, thì (1) là PTVPTT cấp n và có thể viết dưới dạng:

2 ĐNNH LÝ 1.Nguyên lý chồng chất nghiệm đối với phương trình thuần nhất

Cho y y1, 2, , y n là n nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất trong (3) trên khoảng I Nếu c c1, , 2 ,c n là các hằng số, khi đó tổ hợp tuyến tính

ĐNNH LÝ 2. Giả sử các hàm p p1, 2, , p n và f liên tục trên một khoảng mở I chứa

điểm a Khi đó, cho trước n số b0 , b 1 , …, b n-1 , Bài toán Cauchy đối với PTVPTT cấp n :

'(0) 5

"(0) 39

y y y

cả hai nghiệm cùng thỏa mãn các điều kiện ban đầu y(0)= y'(0) 0=

Lý do là hệ số đầu trong phương trình vi phân này triệt tiêu tại x=0, do đó phương

trình này không thể viết theo dạng của phương trình (3) với các hàm hệ số liên tục trên

một khoảng mở chứa điểm x=0

4 Nghiệm độc lập tuyến tính

a) ĐNNH NGHĨA. Sự ĐLTT và PTTT của các hàm

Hệ n hàm f 1 , f 2 ,… , f n được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên một khoảng I nếu tồn tại

các hằng số c 1 , c 2 ,…, c n không đồng thời bằng không sao cho

c f +c f ++c f =

trên I ; tức là c f x1 1( )+c f2 2( )x ++c f x n n( ) 0= với mọi x trong I

Hệ n hàm f 1 , f 2 , …, f n được gọi là độc lập tuyến tính trên một khoảng I nếu chúng

không phụ thuộc tuyến tính trên đó Nói một cách tương đương, hệ đó độc lập tuyến tính

Giải + Wronskian của chúng là

3 3 3

y(1) 3,= y'(1) 2, "(1) 1= y = (6)

Giải + Dễ dàng kiểm tra y x1( ), y x2( ), y x3( ) là ba nghiệm của (5)

+ Với x>0, chia các thừa số trong (5) cho 3

x và đạt được một phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng chuNn trong (3)

+ Khi đó ta tính Wronskian của ba nghiệm đã cho và nhận được

+ Do vậy W x( ) 0≠ với x>0, do đó y 1 , y 2 và y 3ĐLTT trên khoảng x>0

+ Xét các điều kiện ban đầu (6) đối với

ĐNNH LÝ 4 Nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất cấp n

Gọi y 1 , y 2 , … , y n là n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất

ĐNNH LÝ 5.Nghiệm của phương trình không thuần nhất

Cho y p là một nghi ệm riêng của phương trình không thuần nhất trong (2) trên một

khoảng mở I, tại đó các hàm p i và f liên tục Gọi y y1, , ,2 y n là các nghiệm ĐLTT của

phương trình thuần nhất liên kết (3) Nếu Y là một nghiệm bất kỳ của phương trình (2) trên I, khi đó tồn tại các số c c1, , ,2 c n sao cho

( )

với mọi x trong I

Ví dụ 7 Dễ thấy rằng y p =3x là một nghiệm riêng của phương trình

" 4 12

y + y= x, (7) hơn nũa: y x c( )=c1cos2x+c2sin 2x là nghiệm bù của nó Tìm một nghiệm của phương trình (7) thỏa mãn các điều kiện ban đầu y( )0 =5, '(0) 7.y =

Giải. + Nghiệm tổng quát của phương trình (7) là

Đọc trước : Tr 143-145, Mục 2.3, 2.5 chuNn bị cho Bài số 4

Cách giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Bài số 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO THUẦN NHẤT

y=e , ta thế hàm này vào (2) cùng với ( )'rx rx

y x =e thỏa mãn PTVP (1) khi r là một nghiệm của phương trình đại số

ar +br+ =c (3)

Phương trình bậc hai (3) gọi là phương trình đặc trưng của PTVPTT thuần nhất (1)

Vấn đề:T ừ các trường hợp nghiệm của (3) làm sao suy ra nghiệm tổng quát của (1)?

a Trường hợp 1: PT đặc trưng (3) có hai nghiệm thực phân biệt

ĐNNH LÝ 1. Nếu phương trình đặc trưng (3) có 2 nghiệm thực, phân biệt r1 và r2, khi

là một nghiệm tổng quát của phương trình (1)

Ví dụ 1. Tìm nghiệm tổng quát của: 2 " 7 ' 3y − y + y=0

Hình 2.1.9 cho thấy các đường cong nghiệm khác nhau

với c1 =1, tất cả cùng xuất phát và tiếp cận với đường

cong nghiệm y x( ) 1≡ (với c2 =0) khi x→ +∞

b Trường hợp 2:Phương trình đặc trưng có nghiệm bội

Nếu phương trình đặc trưng (3): ar2 +br+ =c 0 nghiệm bội hai: r1 =r2,

+ Ta biết chắc chắn PTVP (1) có nghiệm 1

1( ) r x

y x =e + Vấn đề đặt ra là tìm nghiệm thứ hai “còn thiếu” của PTVP (1).Bằng phép thế trực tiếp

y x = xe là hai nghiệm ĐLTT của (1)

+ Do đó nghiệm tổng quát của PTVP (1) là : 1 1

là nghiệm tổng quát của phương trình (1)

Ví dụ 3. Giải bài toán giá trị ban đầu

Bài số ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

I Phương trình vi phân cấp hai

1 Định nghĩa. Một phương trình vi phân cấp hai chứa đạo... y(0)= y''(0) 0=

Lý hệ số đầu phương trình vi phân triệt tiêu x=0, phương

trình khơng thể vi? ??t theo dạng phương trình (3) với hàm hệ số liên tục

một khoảng... y=cosxlà phương trình khơng nhất;

+ Phương trình tương ứng : x y2 " '' 3+ xy + y=0

Tổng quát PTVP tuyến tính ứng với phương trình