Biến đổi tích phân fourier và hiện tượng gibbs và dạy học tích hợp trong môn toán cao cấp

Khóa luận này trình bày về biến đổi tích phân Fourier, hiện tượng Gibbs vàkết hợp dạy học tích hợp biến đổi tích phân Fourier trong môn toán cao cấpđối với sinh viên không phải ngành toá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ PHƯƠNG DUNG

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER

VÀ HIỆN TƯỢNG GIBBS,

VÀ DẠY HỌC TÍCH HỢP TRONG MÔN

TOÁN CAO CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ PHƯƠNG DUNG

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER

VÀ HIỆN TƯỢNG GIBBS,

VÀ DẠY HỌC TÍCH HỢP TRONG MÔN

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn để em

có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Sư phạm, Đại học Giáo Dục và khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại họcKhoa Học Tự Nhiên đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tạitrường

Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên khóa luận không tránh khỏi những sai sót,

em rất mong nhận được sự góp ý và nhận xét của thầy cô

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 8 tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Hoàng Thị Phương Dung

Mục lục

Mở đầu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian hàm 6

1.1.1 Các ký hiệu 6

1.1.2 Các không gian hàm 7

1.2 Các hàm đặc biệt cơ bản 8

1.2.1 Hàm Hermite 8

1.2.2 Hàm Heaviside 9

1.3 Chuỗi Fourier 9

2 Biến đổi tích phân Fourier 10 2.1 Định nghĩa 10

2.2 Biến đổi Fourier như là chuỗi Fourier trên khoảng vô hạn 15

2.3 Tính chất 21

2.4 Đặc trưng toán tử 31

2.5 Chập và toán tử chập 39

2.6 Định lý Shannon 44

2.6.1 Phiên bản rời rạc 45

2.6.2 Phiên bản liên tục 46

3 Hiện tượng Gibbs 49 3.1 Ví dụ về hiện tượng Gibbs 49

3.2 Hiện tượng Gibbs của hàm có khai triển Fourier 52

4 Dạy học tích hợp trong môn toán cao cấp 57

4.1 Khái niệm dạy học tích hợp 57

4.2 Dạy học tích hợp trong môn toán cao cấp 58

4.2.1 Giải phương trình vi phân 58

4.2.2 Giải phương trình vật lý toán 62

Kết luận và khuyến nghị 65

Danh sách hình vẽ

2.1 Hàm Gauss và ảnh Fourier của nó 11

2.2 Hàm Π và ảnh Fourier của nó 13

2.3 Dao động của hàm sóng tại 3 hertz 19

2.4 Phần thực của hàm f tại 3 hertz 19

2.5 Hàm số Π và Λ và tích chập của nó 43

2.6 Hàm số f và g và tích chập của nó 44

2.7 Hàm có dải hữu hạn và ảnh Fourier của nó 47

3.1 Hàm h(x) và tổng riêng của nó 50

3.2 Hiện tượng Gibbs đối với hàm răng cưa 53

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Biến đổi Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của toánhọc nói chung và giải tích nói riêng Phép biến đổi Fourier là một trong lớpnhững phép biến đổi tích phân phổ biến nhất và có nhiều ứng dụng khoa học,

ví dụ như trong vật lý, kỹ thuật điện tử, xác suất thống kê và nhiều lĩnh vựckhác

Khóa luận này trình bày về biến đổi tích phân Fourier, hiện tượng Gibbs vàkết hợp dạy học tích hợp biến đổi tích phân Fourier trong môn toán cao cấp(đối với sinh viên không phải ngành toán)

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của khóa luận là đi nghiên cứu về định nghĩa, trình bày cách xâydựng biến đổi Fourier từ chuỗi Fourier, tính chất toán tử, xây dựng toán tửchập về biến đổi Fourier Từ đó trình bày về định lý Shannon và phân tích hiệntượng Gibbs Ngoài ra, khóa luận đề cập đến dạy học tích hợp trong môn toáncao cấp Cụ thể là tích hợp các kiến thức về toán được trình bày để xử lý một

số bài toán vật lý

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất và đặc trưng toán tử của biến đổi tích phân Fourier

Từ đó, phân tích định lý Shannon và giải thích hiện tượng Gibbs về mặt toánhọc Đối với phần dạy học tích hợp trong môn toán cao cấp, khóa luận sử dụngcác tính chất của biến đổi Fourier và phương trình vi phân để giải quyết cácbài toán ứng dụng

3 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, bố cục khóa luận gồm bốn chương vàtài liệu tham khảo

Chương một là phần kiến thức chuẩn bị trình bày về những ký hiệu và cáckhông gian hàm cơ bản của Giải tích hàm liên quan đến biến đổi Fourier, vànhắc lại những hàm đặc biệt liên quan đến nội dung trong khóa luận

Chương hai trình bày về định nghĩa biến đổi Fourier, tính chất giải tích và

giải tích hàm, phân tích mối liên quan mật thiết giữa biến đổi Fourier và chuỗiFourier và định lý lấy mẫu của Shannon.

Chương ba trình bày về một hiện tượng toán học thú vị có nguồn gốc từthế giới tự nhiên và công nghệ xử lý tín hiệu Đó là hiện tượng Gibbs Ta sẽ điphân tích từ một trường hợp đặc biệt sau đó mở rộng đối với hiện tượng Gibbscủa hàm không liên tục

Chương bốn trình bày về ứng dụng của biến đổi Fourier và hiện tượng Gibbstrong việc dạy học tích hợp trong môn toán cao cấp của sinh viên Cụ thể là sửdụng biến đổi Fourier để giải các bài toán vật lý

Không gian Euclid thực hữu hạn chiều là Rd Với hai cặp vecto x, y ∈ Rd,

ký hiệu xy :=< x, y > là tích vô hướng thông thường của chúng.|x| =√< x, x >

được gọi là chuẩn Euclid của x

Khi đó, eC0(Rd) là không gian Banach.

Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f ∈C(Rd) được gọi là giảm nhanh nếu

S := {f ∈C∞(Rd) :Rd →C: sup (1 + |x|)NDαf (x) < ∞ ∀N, α}.

Ví dụ 1.1.1 Hàm số f (x) = e−x2, ∀x ∈R là hàm thuộc không gian Schwartz.

Nhận xét 1.1.1 Không gian Schwartz S là không gian con của không gian

Lp(Rd) Hơn nữa, không gian Schwartz trù mật trong L2(Rd)

Định nghĩa 1.1.3 (Toán tử đẳng cự ) Cho X và Y là hai không gian Hilbert

L2(Rd) Toán tử tuyến tính A : X −→ Y là toán tử đẳng cự nếu

kAxk = kxk, ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.4 (Toán tử unita) Nếu A là toán tử đẳng cự và toàn ánh thì

A được gọi là toán tử unita

Định nghĩa 1.1.5 ChoX là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường sốphức C và A : X −→ X là toán tử tuyến tính liên tục

1 Số λ ∈C được gọi là giá trị chính quy của A nếu toán tử

Aλ := λI − A

khả nghịch vàA−1λ là liên tục trên X. Tập tất cả các giá trị chính quy của

A ký hiệu là ρ(A)

2 Phổ của toán tử A được ký hiệu là σ(A) Ta có σ(A) =C\ ρ(A).

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường

số phức C, và A ∈ L(X) là toán tử tuyến tính giới nội xác định trên X Toán

tử A được gọi là đại số nếu tồn tại đa thức đại số

Pn(t) = tn+ a1tn−1+ + an−1tn+ an, n ∈N, ak ∈C

sao cho P (A) = 0 (Vế phải là toán tử 0)

Nếu Pn(t) là đa thức bậc nhỏ nhất trong số các đa thức có dạng trên làmtriệt tiêu toán tử A thì Pn(t) là đa thức đặc trưng của toán tử A

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f.

Định nghĩa 1.3.2 [7, tr 10] Chuỗi Fourier có thể được định nghĩa dưới dạngphức như sau Cho hàm số f (x) : [a, b] → C khả tích và tuần hoàn với chu kì

Z b a

f (y)eixydy. (2.1.2)

Hàm số f được gọi là hàm gốc Hàm T f được gọi là hàm ảnh Trong phạm

vi của khóa luận, ta chỉ xét hàm f thuộc L1(Rd) và L2(Rd)

Với mỗi x = (x1, x2, , xd) ∈Rd, ký hiệu:

Ví dụ 2.1.1 Xét hàm số

f (y) = e−|y|2

xác định trên Rd Đây là trường hợp đặc biệt của hàm Gauss

Hình 2.1: Hàm Gauss và ảnh Fourier của nó

Vì

1 (2π)d2

|Π(y)|dy = 1

nên Π ∈ L1(R) Với x 6= 0, biến đổi Fourier của hàm Π là:

e−ixydy = √1

2π

sinx2

sinx2

x nếu x 6= 0 1

√ 2π nếu x = 0.

|f (y)|dy +

Z +∞

1

|f (y)|dy.

Vì |f (y)| liên tục trên đoạn [0, 1] nên

Z 1 0

|f (y)|dy < ∞.

Với y > 1, ta có

sin ay y

≤ |y|.|f (y)|.

Theo giả thiết, yf (y) ∈ L1(R) nên fh(y) ∈ L1(R) Như vậy khi h → 0 thì

fh(y)h hội tụ theo L1- chuẩn đến −iyf (y) Áp dụng tính chất (2.3.7), dãy hàm

(T fh(y)) (x) hội tụ đều tới hàm (T (−iyf (y)) (x) Mặt khác



= T (fh)(x).

Suy ra tồn tại giới hạn f (x + h) −b f (x)b

h hay tồn tại (T f )0.Vậy (T f )0(x) = −i (T (yf (y))) (x).

(ii) Trước hết, ta chứng minh đẳng thức sau

f (x) = −

Z ∞ x

f0(y)dy.

Ta có

f (M ) − f (N ) =

Z M N

e−ixyd f (y)

e−ixyf (y) dy.

Vì e−ixy giới nội đều ∀x ∈ R và f (−∞) = f (+∞) = 0 nên số hạng thứ nhấtcủa tổng trên bằng 0 Vậy

Tính chất 2.3.11 i) Nếu hai hàm f (y) và ypf (y) khả tích tuyệt đối trên Rd

(nghĩa là chúng thuộc L1(R) thì tồn tại các đạo hàm riêng Dqx[(T f ) (x)] )

Ví dụ 2.3.3 Tìm nghiệm của v(x, y) của bài toán giá trị ban đầu cho phươngtrình Laplace

Thay y = b vào (2.3.1), ta được

A(ξ) cosh ξb + B(ξ) sinh ξb = 0.

Ví dụ 2.3.4 Tìm nghiệm của phương trình truyền sóng dọc theo một chiềucủa không gian

Phương trinh vi phân trên có nghiệm

W = A(ξt) cos ξt + B(ξt) sin ξt. (2.3.2)Thay t = 0 vào biểu thức (2.3.2), ta được

Wt0= −ξ A(ξ) sin ξt + ξ B(ξ) cos ξt.

Thay t=0 vào biểu thức (2.3.2), ta được

d dy

n

e−y2

= (−i)nΦn(y).

Ta đo hàm số dựa vào biến đổi Fourier Hàmf (t) = cos3(2πt)e−πt2 daođộng với tần số hertz giảm nhanh Dựa vào biến đổi Fourier, ta sẽtính số tần số... lượng sóng biểuthị chuỗi Fourier f Biến đổi Fourier f hiểu hàm số

đo tần số riêng biệt hàm sóng, ta tổ hợp lại sóngnày cách lấy tích phân để khơi phục hàm sóng... tính giới hạn tích phân thực được.)Như vậy, ta kết luận rằng: Cơng thức (2.2.6) (2.2.7) biểu diễncủa hàm f hàm xác định R (khơng thiết phải tuần hồn) Do đó ,biến đổi Fourier phiên