ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số xác định trên K... Bài 1: Tính các nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm1.
Trang 1NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN A/ NGUYÊN HÀM
1 ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số
f(x) trên K nếu F’(x) = f (x) với mọi x thuộc K
Ký hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C
2 TÍNH CHẤT:
+ Tính chất 1: ∫ f x dx'( ) = f x( )+C
+ Tính chất 2: ∫kf x dx k f x dx k( ) = ∫ ( ) ( ≠0)
+ Tính chất 3: ∫[ ( )f x ±g x dx( )] =∫ f x dx( ) ±∫g x dx( )
3 Bảng các nguyên hàm cơ bản:
∫adx = ax + C
∫xαdx = xα 11 C
α
+
+
1
α
+
+
∫a xdx = lna x C
∫e xdx = ex + C
a
∫ 2
1
∫ 2
1
1 cos (ax b+ )dx = 1 tan(ax b C+ + )
a
∫u x u x'( )( )dx = ln ( )u x +C ∫ 2
1 sin (ax b+ )dx = − 1 cot(ax b C+ + )
a
+
4 Các phương pháp tính nguyên hàm: Tính I = ∫ f(x)dx
Phương pháp 1: Đổi biến số
Phương pháp 2: Nguyên hàm từng phần
Bước 1: Đặt t =u(x) ⇒dt=u' (x)dx (Một biểu thúc chứa biến x)
Bước 2: Chuyển nguyên hàm đã cho sang nguyên hàm theo biến t ta được
∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C (*)
Bước 3: Thay t = u(x) vào (*) ta được nguyên hàm cần tìm.
Nếu u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :
∫ u.v'dx = u.v - ∫ u'vdx Hoặc ∫ udv = uv - ∫ vdu
Trang 2Bài 1: Tính các nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
1 ∫4 −53 +1 .
3 4
dx x
x
x
2 ∫ x dx+a
3 ∫ (3- x2)3dx
4 ∫ e x e x
dx
−
+
x
x 2
)
1
( −
6 ∫ sin2xdx
7 ∫ dx x
8 ∫ (a + bx)2dx - ∫ (a - bx)2dx
9 ∫ (1 - sinx)2dx + ∫ (1 + cosx)2dx
5
2 x
dx
−
11 ∫ 3 1 − 3x dx
12 ∫ x2 +x−2
dx
13 ∫ 25
) 2 5 ( x−
dx
14 ∫ (sin5x - sin5α )dx
15 ∫ x2 −9
dx
16 ∫ dx
x
x
1
3
+
17 ∫ xlndx5 x
e
e x
x
1
2
2 +
19 ∫ (e2x +5)2e2xdx
20 ∫ cos(3ex +1)exdx
cos 2 dx x
e tgx
Bài 2 : Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số):
1 ∫ (2x - 5) 5 dx
2 ∫ x(1 + x 2 ) 4/3 dx
3 ∫ x 2 (8 - x 3 ) 4 dx
4 ∫ sin 3 xdx
5 ∫ cos 3 xdx
6 ∫ sinxcos 4 xdx
7 ∫ cosxsin 5 xdx
8 ∫ sin 3 x.cos 2 xdx
9 ∫ (e sinx - cosx)cosxdx
10 xe x dx
11 ∫ cos 3 xsin 2 xdx
12. dx x
x
∫ln
13 ∫ ( ) dx
x
x 2 ln
x
x
∫1+ln
x
x
∫1+ln2
x
x
∫1+cos2sin
17 ∫ x(4-x) 3 dx
18 ∫ x 2 − 5xdx
19 ∫ − − + dx
x x
x
5 3
3 2
2
20 ∫ x 2 (x 3 - 8) 3 dx
Bài 3 : Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp tứng phần:
1 ∫ (1 - 3x)exdx
2 ∫ xe2xdx
3 ∫ x.e-xdx
4 ∫ lnxdx
5 ∫ x2lnxdx
6 ∫ x2ex
7 ∫ xsinxdx
8 ∫ xcosxdx
9 ∫ (2x-1)sinxdx
10 ∫ (1- 4x)cosxdx
x
x
∫cos 2
x
x
∫sin 2
13 ∫ (x2 - 4x + 3)exdx
14 ∫ exsinxdx
15 ∫ excosxdx
16 ∫ xlnxdx
17 ∫ xln(x+1)dx
18 ∫ xsinx5xdx
19 ∫ xcos3xdx
20 ∫ ln(5x+1)dx
Bài 4: Tính các tích phân sau (dùng định nghĩa, Tính chất và bảng nguyên hàm):
1 1 3( )
0
1
I =∫x x+ dx
2 ∫2 −
1
2
)
1
(x dx
x
3 ∫3
0
3
cos
π
xdx
8 ∫2
0
3 cos cos
π
xdx x
9 ∫
− 2
2
3 cos 5 sin
π
π
xdx x
15 ∫4 +
2 2
3 1
dx x x
16 ∫5 +
1 3
1
dx x x
17 ∫5
13 2
1
dx x
23 ∫1 x x+ dx
2
1 ( 2 ) 1
24 ∫5 + −
3
1
dx x x
25 ∫3 −x dx
0 2
Trang 34 ∫
−
0
2
4
sin
π
xdx
5 ∫2 +
0
) 3
sin(
π
π dx
x
6 ∫2 −
0
) 4
cos(
π
π x dx
7 ∫2
0
4 sin
2
sin
π
xdx x
10 ∫2
0
2
sin
π
xdx
11 ∫2
0
2
cos
π
xdx
12 ∫1 +
0
2
1dx
x x
13 ∫2 +
1 2
2
2
2
dx x x
14 ∫3 +
1 3
3 4
dx x
x x
18 ∫ + 2
1
2 ( 1 1 )dx
x x
19 ∫3
2 1
1
dx x
20 ∫2 − +
1
3
3
4
dx x
x x
21 ∫2 −
0
2 9
x dx
22 ∫1 − +
0
2 5 6
2
x x dx
26 ∫ x dx
− + 1
1
1 2
27 ∫5 − x dx
0 2 4
28 ∫
−
− 2
2
1 x dx
29 ∫2 x− dx
1
3 2
Bài5: Tính các tích phân sau (Bằng phương pháp đổi biến số ):
1 ∫2
0
3 sin
cos
π
xdx x
2 ∫2
0
3 cos
sin
π
xdx x
3
∫ +
4
01 2sin2
2
cos
π
dx x x
4 2 5
0
cos xdx
π
∫
5 ∫ x dx
−
0
2
3
sin
π
6 ∫2 +
02cos3 1
3 sin
π
dx x x
7 4
2 0
1 sin 2xdx cos x
π +
∫
8 ∫1 +
0
2 3 ) (x dx x
9 ∫ − 2
1
3
) 2 (x dx
10
1
0
(1 )
11
1
0
5 ( 4)
x
x
=
+
∫
12 ∫1 +
0
3 ) 1 (x dx x
13 ∫3 x+ dx 22
1
3 3 5
14 ∫4 +
0 2 1
1
x
15 ( x)3dx
4 1
0 4 1
16 ∫1 +
0
6 ) 2 (x dx x
17
1
0
x 1 xdx−
∫
18
1
0
x dx 2x 1+
∫
21 ∫8 +
3 x 1dx
x
23 ∫e dx
x
x
1
ln
24 ∫2 −
1 e 1dx
e x x
26 ∫e + dx
x
x
1
ln 1
29 ∫2 +
0
2
1dx
e
e
x x
