Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A.. Tìm toạ độ của các đỉnh còn lại của hình vuông đó.[r]
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ( năm học 2013-2014)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4; 1), ( 3; 2) B và đường thẳng : 3x 4y 42 0
Viết phương trình đường tròn ( )C đi qua hai điểm A B, và tiếp xúc với đường thẳng
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(1; 0), B(3; 2) và
∠ABC=1200 Xác định tọa độ hai đỉnh C và D.
3 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trên trục hoành
có hoành độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm toạ độ B, C để tam giác
ABC có diện tích lớn nhất.
4) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh A(4; 5), đường chéo BD có phương trình: y - 3 = 0 Tìm toạ độ của các đỉnh còn lại của hình vuông đó 5) Trong mặt phẳng Oxy cho A(2;1) và đường thẳng (d): 2x+3y+4=0 Lập phương trình
đường thẳng Δ đi qua A tạo với đường thẳng (d) một góc 450
6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh
AB và đường chéo BD lần lượt là x 2y 1 0 và x 7y14 0 , đường thẳng AC đi qua điểm M2;1 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A2;0 và hai đường thẳng d x y1: 0,
d x y Tìm các điểm B d C d 1, 2 để tam giác ABC vuông cân tại A.
8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d x1: 3y0,d2:2x y 5 0,
d x y Tìm tọa độ các điểm A d B d C D d 1, 2, , 3để tứ giác ABCD là một hình
vuông
9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn :
(C1): x2 + y2 = 13 và (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 cắt nhau tại A(2; 3)
Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và lần lượt cắt (C1), (C2) theo hai dây cung phân biệt có độ dài bằng nhau
10.) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với AB = 5, đỉnh C(- 1;- 1), đường thẳng AB có phương trình x + 2y – 3 = 0 và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0 Xác định toạ độ các đỉnh A, B của tam giác
Trang 211.) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 5 = 0 và đường tròn (C) :
x y x y Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất
LỜI GIẢI BÀI TẬP PP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1,
Gọi I(a;b) là tâm và R là bán kính của (C)
BI2 = d2(I,) (a + 3)2 + (b + 2)2 =
2 (3 4 42) 25
a b
(2) Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta được I(1;-5) hoặc I(-3;23)
+ I(1; -5) R = 5
(C): (x – 1)2 + (y + 5)2 = 25
+ I(-3; 23) R = 25
(C): (x + 3)2 + (y – 23)2 = 625
2,
Từ giả thiết suy ra ABD đều
Ta có : AB (2; 2)
, trung điểm của AB là M(2;1)
pt trung trực của đoạn AB: x y 3 0
D thuộc trung trực của AB D(t; 3 t)
+ ABCD là hình thoi nên:
AD AB t t t t t
+ t 2 3 D(2 3;1 3), ( 3; 1C 3)
+ t 2 3 D(2 3;1 3), (C 3; 1 3)
3,
Gọi A(2; 1); B(b; 0); C(0; c); b, c > 0
Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông tại A nên
5
2
AB AC c b O b
( 2) 1 2 ( 1)
ABC
S AB AC b c (b 2)2 1 b2 4b5
5
0
2
khi b =0 Suy ra B(0; 0); C(0; 5)
4,
Đường thẳng AC vuông góc với BD: y - 3 = 0 nên
có phương trình dạng: x + c = 0 mặt khác AC lại
đi qua A( 4; 5) nên c = - 4
Vậy AC: x- 4 = 0 I(4;3)
Đường tròn ngoại tiếp ABCD có tâm I(4;3), bán kính
R= AI = 2 nên có phương trình:
Trang 3Toạ độ điểm B và D thoả mãn hệ phương trình:
3
6
2
y
x
x
Vậy: A(4;5), B(6;3), C(4;1), D(2;3)
Hoặc: A(4;5), B(2;3), C(4;1), D(6;3)
5) Đường thẳng (d): 2x + 3y + 4 = 0 có vectơ pháp tuyến là n d (2;3)
Đường thẳng đi qua A(2; 1) có PT dạng: a(x - 2) + b(y - 1) = 0 (a2 + b2 0)
ax + by - (2a +b) = 0 () có vec tơ pháp tuyến n ( ; )a b
Theo giả thiết thì góc giữa và d bằng 450
cos 45 cos( , )
d d
d
n n
n n
n n
2 3 2
2 13.
26. a2b2 2 2a 3b
26(a2 + b2) = 4(4a2 + 12ab + 9b2) 5a2 - 24ab - 5b2 = 0
2
5 a 24 a 5 0
5 1 5
a b a b
TH1: 5
a
b chọn a = 5, b = 1 có phương trình: 5x + y - 11 = 0
TH2:
1
5
a
b chọn a = -1, b= 5 có phương trình: -x + 5y - 3 = 0
6,
Do B là giao của AB và BD nên tọa độ của B là nghiệm hệ phương trình:
21
;
5
x
B
y
Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AC AB, AB BD,
Kí hiệu n AB 1; 2 , n BD 1; 7 , n AC a b,
lần lượt là vtpt của các đường thẳng AB, BD, AC
2
7
a
Với a = -b chọn a= 1, b = -1 Khi đó phương trình AC: x – y – 1 = 0
A AB AC nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
3; 2
A
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I ACBD nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ
Trang 4;
2
x
x y
I
y
Do I là trung điểm của AC và BD nên
14 12 4;3 , ;
5 5
Với b = -7a loại vì AC không cắt BD
7,
1 , 2 ; , 1 2 ;
B d C d B b b C c c
3
c
c
(1)
ABAC b c c (2)
Thế (1) vào (2) được
2
3
c
c
5
c
c
Kết luận: c 1 B1;1 , C1; 1 ; c 5 B7;7 , C9; 5
8,
Gọi B b ;5 2 bd2 Đường thẳng 1 qua B và vuông góc d3cắt d3 tại C Phương trình
1 :x y b 5 0
Tọa độ của C là nghiệm hệ
;
C
x y b
Đường thẳng AB // d3 nên có phương trình x y 5 3b0
Tọa độ A là nghiệm hệ
;
A
x y
Đường thẳng 2qua A và vuông góc d3cắt d3 tại D Phương trình 1 :x y 6b 10 0
0
x y
x y b
ABCD là hình vuông
2
b A B C D b A B C D
9,
Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng cần tìm với (C1) và (C2) lần lượt là M và N Gọi M(x; y)( )C1 x2y2 13 (1)
Vì A là trung điểm của MN nên N(4 – x; 6 – y)
Do N ( )C2 (2x)2(6 y)2 25 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ
13 (2 ) (6 ) 25
Giải hệ ta được (x = 2 ; y = 3) ( loại vì trùng A) và (x =
17 5
; y =
6
5 ) Vậy M(
17 5
; 6
5)
Trang 5Đường thẳng cần tìm đi qua A và M có phương trình : x – 3y + 7 = 0
10, Gọi I(x; y) là trung điểm của AB, G x y G; G là trọng tâm của tam giác ABC
2 1
2 1 3
3
G
G
x x
y y
,
Do G thuộc đường thẳng x + y – 2 = 0
2 1 2 1
2 0
x y
Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình
2 3 0
5; 1
2 1 2 1
2 0
I
Gọi A x y A; A
2
AB
mặt khác điểm A thuộc đường thẳng x + 2y – 3 = 0 nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ
2 2
4 1
2 3 0
2 5
4
3 2
A A
A
x y
y
Vậy A
1 4,
2
, B
3 6;
2
hoặc B
1 4, 2
, C
3 6;
2
11, Đường tròn (C) có tâm I(- 1; 3), bán kính R = 1, d(I, d) = 2 > R d C Gọi là đường thẳng đi qua I và vuông góc với d : 4x + 3y – 5 = 0
điểm N0 d 0
1 7
;
5 5
Gọi M1, M2 lần lượt là giao điểm của (C) và 1 2
MN ngắn nhất khi M M N1, N0