Lập phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d Đường thẳng là giao tuyến của và Viết phương trình đường thẳng dưới dạng tham số hoặc chính tắc Ví dụ.A-2005 Tron[r]
Trang 1Phương pháp toạ độ trong không gian
I Các dạng toán cơ bản
1 Mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng ( ) qua M x y z0 ( , , ) 0 0 0 có véctơ pháp tuyến
( , , )
n A B C là A x x( 0 ) B y y( 0 ) C z z( 0 ) 0
,
n AB AC
Ví dụ.(B-2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm
(0;1; 2), (2; 2;1), ( 2;0;1)
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x2y z 3 0 sao cho MA MB MC
0 , d
(M0 d)
Bài 1(KTr-97) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(1; 2; 1) và
3 4
1
3
x
a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chứa (d)
b) Tính khoảng cách từ A đến d
1.3 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song d d1 , 2
1 2 , 1
(M1 d M1 ; 2 d2; u1 là véc tơ chỉ phương của d1)
Ví dụ 1.(B-2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 0; 1; 2 ) và
hai đường thẳng 1
:
,
2
1
2
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d d1 , 2
2) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng
Ví dụ 2.(A-2002) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz cho 2
đường thẳng 1
:
2
1
1 2
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2
2) Cho điểm M (2; 1; 4 ) Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng 2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất
1.4 Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau d d1 , 2
(chứa d1 và song song với d2)
1 , 2
n u u
(u1, u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của d1, d2)
Trang 21.5.Viết phương trình mặt phẳng () chứa đường thẳng d và vuông góc với
( )
Bài 4(QY-98) Cho d: 2 1
8 3
x
và ( ): 2x4y z 650 a) Chứng minh rằng d cắt () tìm toạ độ giao điểm
b) Viết phương trình mặt phẳng () qua M0(1; 2; -1) và vuông góc với d
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d lên ( )
kiện (*)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) là: Ax By Cz 0 với
2 2 2
(A B C 0)
Mp ( ) chứa d nên đi qua hai điểm M N d, Khi đó mặt phẳng ( ) chứa hai tham số, chẳng hạn A B,
Sử dụng điều kiện (*) suy ra A B,
Ví dụ 1.(A-2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương
.
ABCD A B C D với A(0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)B D A Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C và MN
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa A C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
biết
1 6
cos
Ví dụ 2 (HH-98) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và lập với mặt
phẳng () góc 600 với ():2x y 5 z0
2 Đường phẳng: Phương trình tham số của đường thẳng qua điểm M x y z( , , ) 0 0 0
có véctơ chỉ phương u( , , )a b c là
0 0 0
Phương trình chính tắc là
a b c
d
d
Ví dụ.(D- 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm
(1; 4; 2), ( 1;2;4)
A B và đường thẳng
:
Trang 31) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và
vuông góc với mặt phẳng (OAB)
2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA2 MB2 nhỏ nhất
2.3 Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B
d
2.4 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau ( ) , ( ) u d n n,
2.5 Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt hai đường thẳng chéo nhau d d1 , 2
Cách 1 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa M và d1
Tìm toạ độ điểm N là giao điểm của d2 và ( )
Đường thẳng d đi qua M và có véc tơ chỉ phương là MN
Chứng minh đường thẳng d cắt d1
Cách 2 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa M và d1
Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa M và d2
Đường thẳng d đi qua M và có véc tơ chỉ phương là u d n n,
Chứng minh đường thẳng d cắt d1 và d2
Cách 3 Viết phương trình d1, d2 dưới dạng tham số
Gọi N, P là giao điểm của đường thẳng d với d1 và d2 (toạ độ N, P biểu diễn theo tham số t, s)
Sử dụng giả thiết M, N, P thẳng hàng, suy ra t, s
Bài 1(XD-94) Viết phương trình đường thẳng qua M(1; 5; 0) và cắt hai đường
thẳng d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 x z 1 0 ; ( ) : x y 4 0 và d2là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 3 1 x y 2 0 ; ( ) : 1 y z 2 0
2.6 Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 , 2
Cách 1 Viết phương trình 1 , 2 dưới dạng tham số
Gọi A 1 ,B 2 (toạ độ A, B biểu diễn theo tham số t, s)
AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 , 2
1
2
0
AB u
AB u
Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương là AB
Cách 2 Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 , 2
1 , 2
d
u u u
(u u 1 , 2 lần lượt là hai véc tơ chỉ phương của 1 , 2)
Trang 4 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và 1 n u u d, 1
Tìm toạ độ điểm B là giao điểm của 2 và ( )
Đường thẳng d đi qua B và có véc tơ chỉ phương là ud
Cách 3 Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 , 2
1 , 2
d
u u u
(u u 1 , 2 lần lượt là hai véc tơ chỉ phương của 1 , 2)
Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và 1 n u u d, 1
Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và 2 n u u d, 2
Đường thẳng d là giao tuyến của ( ) và ( )
Bài 1(TM-97) Cho hai đường thẳng chéo nhau
1
1
3
x
2
3
2
z
a) Tính khoảng cách giữa d1 và d2
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2
2.7 Viết phương trình đường thẳng d song song với 1(vuông góc với ( ) ) và cắt hai đường thẳng chéo nhau 2 , 3
Cách 1 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa 2 và song song với 1
Tìm toạ độ điểm A là giao điểm của 3 và ( )
Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương là u d u1
(u1 là véc tơ chỉ phương của 1)
Chứng minh đường thẳng d cắt 2
Cách 2 Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa 2 và song song với 1
Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa 3 và song song với 1
Đường thẳng d là giao tuyến của ( ) và ( ) (Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số hoặc chính tắc)
Chứng minh đường thẳng d cắt 2và 3
Cách 3 Viết phương trình 2và 3 dưới dạng tham số
Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với 2và 3 (toạ độ A, B biểu diễn theo tham số t, s)
Sử dụng giả thiết d// 1(vuông góc với ( ) ) u u d, 1
cùng phương, suy ra t, s
Ví dụ 1.(A-2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
1
:
2
1 2
3
z
Trang 51) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau
2) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x y 4z0 và cắt hai đường thẳng d1 và d2
2.8 Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt đường thẳng d2
Cách 1 Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với d1
Tìm toạ độ điểm B là giao điểm của d2 và ( )
Đường thẳng đi qua A và có véc tơ chỉ phương là AB
Chứng minh đường thẳng d cắt 2 (Vì d1 ( ) d1 )
Cách 2 Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với d1
Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và d2
Đường thẳng là giao tuyến của ( ) và ( )
Bài 1(QHQT-95) Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2; -3) vuông góc với
)
3
;
2
;
6
(
a và cắt đường thẳng
1 3
3 5
2.9 Viết phương trình đường thẳng nằm trong ( ) , đi qua A và vuông góc với d
Cách 1 u u n d,
Cách 2 Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với d
Đường thẳng là giao tuyến của ( ) và ( ) (Viết phương trình đường thẳng
dưới dạng tham số hoặc chính tắc)
Ví dụ.(A-2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
:
và mặt phẳng (P): 2x y 2z 9 0
1) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 2) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình
tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc với d
Cách 1
Viết phương trình d dưới dạng tham số
Gọi B d , toạ độ điểm B biểu diễn theo tham số t; ABd AB u. d 0
Đường thẳng đi qua A và có véc tơ chỉ phương là AB
Cách 2
Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với d
Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và chứa d
Trang 6 Đường thẳng là giao tuyến của ( ) và ( ) (Viết phương trình đường thẳng
dưới dạng tham số hoặc chính tắc)
3 Mặt cầu
+ Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm I a b c( , , ) bán kính R là:
(x a ) (y b ) (z c ) R
+ Phương trình tổng quát: x2y2z22Ax2By2Cz D 0 với A2B2C2 D 0
Cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 và mặt cầu ( ) :S (x a )2(y b )2(z c )2 R2
có tâm I bán kính R
Khi đó: d I( ,( )) R ( ) ( ) S = đường tròn (T) Phương trình (T) là:
0
Ax By Cz D
Cách xác định tâm J của (T) và bán kính của (T) như sau:
+ Lập phương trình đường thẳng d qua I nhận véctơ pháp tuyến n
của mặt phẳng
( ) là véctơ chỉ phương
+ Giải hệ d và ( ) tìm được J Gọi r là bán kính của (T), khi đó r R2 IJ2
d I( ;( )) R ( ) là tiếp diện của mặt cầu
d I( ;( )) R ( ) ( ) S
Bài 1 (Khối D - 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm
(3;3;0), (3;0;3), (0;3;3), (3;3;3)
1) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.
2) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 2 (Khối B - 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
( ) :S x y z 2x 4y 2z 3 0 và mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z14 0
1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có
bán kính bằng 3
2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng
(P) lớn nhất
Bài 3 (Khối B - 2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ
đứng ABC A B C 1 1 1 với A(0; 3;0), (4;0;0), (0;3;0), B C B1 (4;0; 4)
1) Tìm toạ độ các đỉnh A C1 , 1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC B1 1 )
2) Gọi M là trung điểm của A B1 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A,
M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A C1 1 tại điểm N, tính độ dài đoạn MN
Bài 4(BCVT-99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương
1 1
1
1B C D
của AD, N là tâm CC1D1D Tìm bán kính mặt cầu qua B, C1, M, N
4 Góc, khoảng cách, diện tích, thể tích.
Trang 74.1 Khoảng cách.
Cho mặt phẳng (P): Ax By Cz 0 và điểm M x y z0 ( , , ) 0 0 0
Khi đó:
( ,( )) Ax By Cz D
Cho điểm M1 và đường thẳng d đi qua M0 và có véctơ chỉ phương u Khi đó khoảng cách từ M1 tới d được xác định như sau
Cách 1
0 1 1
; ( ,( )) M M u
u
Cách 2 + Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M1 và d ( )P
+ Giải hệ giữa d và (P) tìm được toạ độ H
+ d M d( 1 ,( )) M H1
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( ) và ( ) .
Cách 1 Cho ( ) qua điểm M0 có véctơ chỉ phương u'
Cho ( ) qua điểm M 0 có véctơ chỉ phương u ;
0 0
, ( , )
,
u u M M d
u u
Cách 2
+ Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa ( ) và song song với ( ) mặt phẳng (P)
qua M0 có cặp véctơ chỉ phương là u và u Vậy véctơ pháp tuyến n p u u,
+ d( , ) d M( 0 ,( ))P
4.2 Góc
Góc giữa hai đường thẳng: Cho đường thẳng ( ) có véctơ chỉ phương u a b c( , , )
Cho đường thẳng ( ) có véctơ chỉ phương u a b c ( , , )
Gọi là góc giữa ( ) và ( ) , Khi đó 2 2 2 2 2 2
Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n A B C( , , )
, mặt phẳng ( )P có véctơ pháp tuyến n A B C( , , )
Gọi là góc giữa ( )P và ( )P , Khi đó 2 2 2 2 2 2
( , , )
u a b c , mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n A B C( , , )
Trang 8
Khi đó gọi là góc giữa d và (P) thì 2 2 2 2 2 2
4.3 Diện tích, thể tích:
1
; 2
OBA
thể tích hình hộp , hình tứ diện là:
.
1
6
V AB AD AA V AB AC AD
Ví dụ 1 (Khối A - 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập
phương ABCD A B C D với A(0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)B D A Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của AB và CD
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C và MN
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa A C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc
biết
1 6
cos
Ví dụ 2 (Khối A - 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết
(2;0;0), (0,1,0), (0;0; 2 2)
1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N Tính thể tích khối
chóp S.ABMN
Ví dụ 3 (Khối D - 2004) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ
đứng ABC A B C 1 1 1 Biết A a( ;0;0), ( ;0;0), (0;1;0),B a C B1 ( ;0; ), a b a 0,b 0
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B C1 và AC1 theo a, b
2) Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thoả mãn a + b = 4 Tìm a, b để khoảng cách giữa
hai đường thẳng B C1 và AC1 lớn nhất
Ví dụ 4 (Khối B - 2002) Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 có cạnh bằng a
1) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A B1 và B D1
2) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B B CD A D1 , , 1 1 Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C N1
Ví dụ 5 (Khối A - 2003) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcac vuông góc Oxyz
cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có A trùng với gốc của hệ toạ độ,
( ;0;0), (0; ;0), (0;0; ) ( 0, 0)
B a D a A b a b Gọi M là trung điểm cạnh CC
1) Tính thể tích khối tứ diện BDA M theo a và b
2) Xác định tỉ số
a
b để 2 mặt phẳng (A BD ) và (MBD) vuông góc với nhau
5 Cực trị hình học
Ví dụ 1 (Khối A - 2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
A (2; 5; 3 ) và đường thẳng
:
1) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.
Trang 92) Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất
Ví dụ 2 (Khối B - 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
2 2 2
( ) :S x y z 2x 4y 2z 3 0 và mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z14 0
1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có
bán kính bằng 3
2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng
(P) lớn nhất
Ví dụ 3 (Khối A - 2002) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz
cho 2 đường thẳng 1
:
2
1
1 2
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2
2) Cho điểm M (2; 1; 4 ) Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng 2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất
Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A( 1;3; 2), ( 3;7; 18) B , mặt phẳng
( ) : 2P x y z 1 0
1) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P).
2) Tìm toạ độ điểm M( )P sao cho MA + MB nhỏ nhất