Tăng cường hoạt động nhận thức của học sinh qua dạy học chương phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Toạ độ là khái niệm mới của toán học được đua vào chương trinh Toán THPT

Lời Cám Ơn !

Em xin chân thành cám ơn

Thầy Lê Văn Phúc, người đã hướng dẫn, tận tình giúp đỡ em hoàn thành luận văn này

Em xin cám ơn

Ban Giám Hiệu và các Thầy Cô trong khoa Toán, đặc biệt là các Thầy Cô bộ môn phương pháp giảng dạy đã hết lòng dạy dỗ

em trong suốt khóa học qua

Ban Giám Hiệu và các Thầy Cô trong tổ bộ môn toán trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh thị trấn Chợ Mới, tỉnh An Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốt thời gian thực tập và thực nghiệm sư phạm tại trường

Các em học sinh lớp 10 và bạn bè đã nhiệt tình giúp đỡ, ủng hộ em trong suốt thời gian tiến hành thực nghiệm và hòan thành luận văn

Nguyễn Thị Lắm

MỤC LỤC

Trang

Phần mở đầu 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 1

III Nhiệm vụ nghiên cứu 2

IV Khách thể và đối tượng nghiên cứu 2

V Giả thuyết khoa học 2

VI Phương pháp nghiên cứu 2

VII Đóng góp của luận văn 2

VIII Cấu trúc của luận văn 2

Phần nội dung 4

Phần I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VỀ PHÂN TÍCH HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN CHO HỌC SINH Ở TRƯỜNG THPH5 CHƯƠNG I: HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC TOÁN 5

1 Vai trò của Toán học trong đời sống và trong các ngành khoa học 5

2 Mục đích dạy học toán ở trường phổ thông 5

3 Đặc điểm của hoạt động nhận thức 5

4 Những biểu hiện của họat động nhận thức 6

5 Cách thức tiến hành họat động nhận thức 7

CHƯƠNG II: NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC 8

1 Nội dung 8

2 Vai trò của họat động nhận thức trong giải tóan 8

3 Phương pháp tiến hành các hoạt động nhận thức 9

4 Một số hướng phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh 13

Phần II: PHÂN TÍCH HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH 15

CHƯƠNG I: CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 15

1 Phương pháp tọa độ và vai trò của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tọa độ 15

2 Nội dung của phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 16

3 Phương pháp tọa độ trong chương trình hình học lớp 10 nâng cao 17

CHƯƠNG II: TÌM HIỂU HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG TRÌNH HÓA 18

1 Đặc điểm của dạy học chương trình hóa 18

2 Cấu trúc của chương trình 18

3 Chương trình 19

4 Hai loại chương trình 19

3.1 Chương trình đường thẳng 19

3.2 Chương trình phân nhánh 20

CỰC NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG “

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG” 21

1 Chủ đề 1: Đường thẳng 21

A- Tóm tắt lý thuyết 21

B- Hệ thống bài tập 24

2 Chủ đề 2: Đường tròn 34

A- Tóm tắt lý thuyết 34

B- Hệ thống bài tập 34

3 Chủ đề 3: Đường Cônic 44

Đường Elip 44

A- Tóm tắt lý thuyết 44

B- Hệ thống bài tập 45

Đường Hyperbol 55

A-Tóm tắt lý thuyết 55

B- Hệ thống bài tập 55

Đường Parabol 63

A-Tóm tắt lý thuyết 63

B- Hệ thống bài tập 63

CHƯƠNG IV: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔNG HỢP 71

Phần III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 76

I Mục đích thực nghiệm 76

II Hình thức tổ chức thực nghiệm 76

III Phương pháp thực nghiệm 76

IV Đánh giá kết quả đạt được 78

Phần kết luận 83

Tài liệu tham khảo 84

Phụ lục 85

NHỮNG TỪ VIẾT TẮT

PTTQ Phương trình tổng quát PTTS Phương trình tham số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong Nghị quyết Trung Ương lần thứ 4 về: “Tiếp tục đổi mới sự nghiệp giáo

dục và đào tạo” (1-1993) đã chỉ rõ “Phải xác định lại mục tiêu, thiết kế lại chương trình,

kế hoạch, nội dung, phương pháp giáo dục và đào tào”.Và đến nay, Giáo dục được xem

là “quốc sách hàng đầu” trong sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá của đất nước

Xuất phát từ những tư tưởng cơ bản của Đảng Cộng Sản Việt Nam về giáo dục và đào

tạo, chúng ta đã không ngừng cải tiến chất lượng dạy và học để từ đó nâng cao chất

lượng giáo dục

Tọa độ là một khái niệm mới của toán học được đưa vào chương trình Toán

THPT Bằng cách đưa vào mặt phẳng một hệ trục tọa độ, mỗi vectơ, mỗi điểm đều được

xác định bởi tọa độ của nó Việc nắm vững phương pháp toạ độ trong mặt phẳng giúp

học sinh có thể chuyển nhiều bài toán hình học sang bài toán đại số và ngược lại, từ kết

quả của đại số suy ra được một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học

Việc giải một bài toán hình học thuần tuý không phải bao giờ cũng được thực

hiện một cách dễ dàng Mà nó được tiến hành bằng cách vận dụng nhiều kiến thức hình

học phức tạp hay phải qua nhiều bước trung gian mới đến được kết quả Nhưng nếu

chúng ta sử dụng công cụ toạ độ để giải thì bài toán trở nên dễ hơn nhiều

Một trong những yếu tố quan trọng góp phần nâng cao hiệu quả học tập của học

sinh là hoạt động nhận thức của các em Vì vậy vai trò cấp thiết của giáo viên hiện nay

là phải tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh trong quá trình dạy học

Môn Toán là một trong những môn học quan trọng hàng đầu trong chương trình

giáo dục phổ thông Nó không chỉ là cơ sở, tiền đề để học tốt các môn học khác mà còn

có ứng dụng rất quan trọng trong thực tế Trong đó “ Phương pháp toạ độ trong mặt

phẳng” giúp cho học sinh có thêm một công cụ mới để làm toán và để suy nghĩ về toán

theo một phương pháp khác với các phương pháp quen thuộc từ trước đến nay Đặc biệt

hoạt động nhận thức của học sinh là yếu tố quan trọng hàng đầu để thực hiện mục tiêu

đó

Trong tác phẩm “Khoa học trong lịch sử xã hội” J Becnan cho rằng: sự phát

triển vấn đề quan trọng hơn giải quyết nó, việc giải quyết có thể có được nhờ kinh

nghiệm trong cách biện luận logic, còn phát hiện ra vấn đề thì chỉ có thể dựa vào một trí

tưởng tượng thúc đẩy bởi những khó khăn đã gặp phải Vì vậy để giải một bài toán thì

việc nhận thức, tìm tòi lời giải là rất quan trọng

Qua những lý do vừa nêu trên chúng tôi tiến hành nghiên cứu đề tài “Tăng cường

hoạt động nhận thức của học sinh thông qua dạy học chương phương pháp toạ độ

trong mặt phẳng hình học 10”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trên cơ sở tìm hiểu hoạt động nhận thức của học sinh, đề ra một số biện pháp

giúp học sinh tích cực hoá hoạt động nhận thức của mình thông qua dạy học chương

phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Để đạt được mục đích trên cần thực hiện những nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu, phân tích những tài liệu có liên quan đến đề tài

- Mô tả thực trạng nhận thức của học sinh THPT thông qua chương phương pháp

IV KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Khách thể nghiên cứu: Học sinh lớp 10 Trường THPT

- Đối tượng nghiên cứu: Hoạt động nhận thức của học sinh thông qua dạy học

chương phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

V GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xác lập được một số phương pháp hữu hiệu nhằm thúc đẩy hoạt động nhận

thức của học sinh theo hướng tích cực, trên cơ sở lý luận và thực tiễn thông qua dạy học

chương phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, sẽ góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy

toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

VII ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

Đây là một công trình nghiên cứu khoa học có hệ thống và tương đối toàn diện

về hoạt động nhận thức của học sinh THPT thông qua dạy học chương phương pháp toạ

độ trong mặt phẳng Nếu đề tài được nghiệm thu sẽ giúp giáo viên THPT hiểu và nắm

vững hơn hoạt động nhận thức của học sinh, từ đó đề ra những biện pháp thích hợp

trong quá trình dạy học góp phần nâng cao chất lượng dạy học nói riêng, chất lượng

giáo dục nói chung

VIII CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Lời cảm ơn

Mục lục

Phần mở đầu

Phần nội dung

Phần I: Những vấn đề chung về phân tích hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy

học học toán cho học sinh ở trường THPT

Phần II: Phân tích hoạt động nhận thức của học sinh

Phần III: Thực nghiêm sư phạm

Phần kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

PHẦN NỘI DUNG

PHẦN I:

NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VỀ PHÂN TÍCH HOẠT ĐỘNG

NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC TOÁN

CHO HỌC SINH Ở TRƯỜNG THPT

CHƯƠNG I: HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH THPT

TRONG DẠY HỌC TOÁN

1 VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC TRONG ĐỜI SỐNG VÀ TRONG CÁC NGÀNH

KHOA HỌC

Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành khoa

học Ngay từ thế kỷ XIII, nhà tư tưởng Anh R.Bêcơn (R.Bacon) đã nói rằng: “ Ai

không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng

không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình” Sự phát triển của các khoa học đã

chứng minh lời tiên đoán của C.Mác: “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có

thể sử dụng được phương pháp của toán học”

Toán học có vai trò như vậy là vì toán học “Không chỉ là một tập hợp các sự

kiện trình bày dưới dạng định lý, mà trước hết đó là một hệ thống các phương pháp, hơn

nữa đó là ngôn ngữ diễn tả các sự kiện và các phương pháp trong các lĩnh vực rất khác

nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn”

Nếu như toán học xâm nhập vào các ngành khoa học khác và thúc đẩy các khoa

học đó phát triển thì ngược lại sự phát triển của các ngành khoa học có tác dụng lớn đối

với toán học, đặt ra cho toán học những vấn đề mới phải giải quyết, thúc đẩy toán học

tiến lên những bước mới

2 MỤC ĐÍCH DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống

những kiến thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ bản hiện đại, sát với thực tiễn Việt

Nam, và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác

nhau, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các môn khác

Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến

những tri thức thu nhận được thành của bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và

hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong công việc học tập,

hiện nay và mãi mãi về sau

Giáo dục cho học sinh về tư tưởng, đạo đức và thẫm mĩ của người công dân

Phát triển ở mọi học sinh khả năng tiếp thu môn toán, đồng thời phát hiện và bồi

dưỡng học sinh có năng khiếu toán

3 ĐẶC ĐIỂM CỦA HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC

3.1 Khái niệm hoạt động nhận thức

- Nhận thức là một trong ba mặt cơ bản của đời sống con người Nhận thức là

một quá trình, ở con người quá trình này thường gắn với mục đích nhất định nên nhận

thức của con người là một hoạt động

- Hoạt động nhận thức là hoạt động tâm lý phản ánh bản thân sự vật, hiện tượng

trong hiện thực khách quan

- Hoạt động nhận thức được chia thành hai mức độ: hoạt động nhận thức cảm

tính và hoạt động nhận thức lý tính

thuộc tính bề ngoài của sự vật, hiện tượng khi chúng trực tiếp tác động vào các giác

quan Hoạt động nhận thức cảm tính bao gồm: cảm giác và tri giác

những thuộc tính bản chất, bên trong những quy luật, những thuộc tính mới, những mối

liên hệ qua lại của các sự vật, hiện tượng Hoạt động nhận thức lý tính bao gồm: tư duy

và tưởng tượng

3.2 Đặc điểm hoạt động học tập của học sinh trung học phổ thông

Nội dung và tính chất của hoạt động học tập ở thanh niên khác rất nhiều so với

hoạt động học tập của thiếu niên Hoạt động học tập đòi hỏi thanh niên phải có tính

năng động, độc lập và sáng tạo ở mức độ cao hơn, đòi hỏi các em phải phát triển tư duy

lý luận

Ở tuổi THPT, các em bắt đầu đã có thể làm chủ được các quá trình nhận thức

của mình Điều này dẫn đến những biến đổi quan trọng trong tư duy, các em thường

phải phân tích tài liệu đang học, nhờ đó mà hoạt động tư duy ngày càng mang tính tích

cực, độc lập, sáng tạo

Thái độ học tập của học sinh dần thay đổi theo chiều hướng tích cực Các em

ngày càng trưởng thành, kinh nghiệm ngày càng phong phú và thái độ tự giác đối với

học tập ngày càng nâng cao

3.3 Đặc điểm của sự phát triển trí tuệ ở học sinh THPT

Ở học sinh THPT, tính chủ định được phát triển mạnh ở tất cả các quá trình nhận

thức

Do sự phát triển của các quá trình nhận thức và do ảnh hưởng của hoạt động học

tập mà tư duy của học sinh THPT có thay đổi quan trọng về chất

Hoạt động tư duy của các em tích cực, độc lập hơn Các em có khả năng tư duy

lý luận, tư duy trừu tượng một cách độc lập, sáng tạo Các em thích khái quát hóa, thích

tìm hiểu những quy luật và những nguyên tắc chung của các hiện tượng hàng ngày, của

những tri thức phải tiếp thu Tư duy của các em chặt chẽ hơn, có căn cứ và nhất quán

hơn, tính phê phán của tư duy cũng phát triển

Những đặc điểm này tạo điều kiện cho học sinh THPT thực hiện các thao tác tư

duy Logic, phân tích nội dung cơ bản của khái niệm trừu tượng và nắm được mối quan

hệ nhân quả trong tự nhiên và xã hội

4 NHỮNG BIỂU HIỆN CỦA HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC

Trong hoạt động nhận thức của con người: Nhận thức cảm tính và nhận thức lý

tính – hai giai đoạn này có quan hệ chặt chẽ và tác động lẫn nhau V.I Lênin đã tổng kết

quy luật đó của nhận thức nói chung như sau: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu

tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn – đó là con đường biện chứng của sự nhận

thức chân lý, của sự nhận thức hiện thực khách quan.”

Hoạt động nhận thức được biểu hiện ở nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính

Trong học tập nói chung, trong học Toán nói riêng thì nhận thức lý tính là chủ yếu mà

đặc biệt là quá trình tư duy

Nhà tâm lý học xô viết K.K.Palatônôp đã tóm tắt các giai đoạn của quá trình tư

duy bằng sơ đồ sau:

Sơ đồ các giai đoạn của một hành động (quá trình) tư duy

5 CÁCH THỨC TIẾN HÀNH HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC

5.1 Các cấp độ của hoạt động nhận thức

Nhận biết: Là cấp độ thấp nhất của hoạt động nhận thức Ở cấp độ này học sinh

chỉ cần nhận biết được vấn đề không cần phải giải thích vì sao lại biết được vấn đề đó

Nhận dạng được vấn đề đã học, đã biết

Thông hiểu: Là cấp độ cao hơn nhận biết Ở cấp độ này học sinh không chỉ nhận

biết được vấn đề, thông hiểu mà còn phải biết vận dụng kiến thức đã học, biết quy lạ về

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định

Hành động tư duy mới Giải quyết vấn đề

quen Phân tích được các khía cạnh của vấn đề Từ đó, giải quyết được các vấn đề từ dễ

đến khó một cách dễ dàng

5.2 Cách thức tiến hành hoạt động nhận thức

Hoạt động nhận thức được tiến hành từ đơn giản đến phức tạp, từ cái cụ thể đến

cái trừu tượng

Ban đầu học sinh tiếp cận với những vấn đề đơn giản Từ những vấn đề đơn giản

này mà tiếp cận những vấn đề cao hơn, những tri thức khó, phức tạp hơn Để giải quyết

những tri thức khó, phức tạp ta mổ xẻ nó theo nhiều khía cạnh khác nhau Khi đó mỗi

khía cạnh lại là vấn đề đơn giản hơn.Vận dụng những tri thức có được ta sẽ giải quyết

những vấn đề nhỏ đó dễ dàng hơn Từ đó những vấn đề khó, phức tạp được giải quyết

một cách đơn giản và dễ hơn nhiều

CHƯƠNG II: NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH HOẠT

ĐỘNG NHẬN THỨC

1 NỘI DUNG

- Nhận thức vấn đề về nhiều mặt từ đơn giản đến phức tạp, trừu tượng

- Hiểu và nắm vững những khái niệm, định lý một cách chắc chắn Từ đó vận dụng

linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào việc giải bài tập từ dễ đến khó

- Hình thành và phát triển hoạt động nhận thức theo hướng tích cực, chủ động Từ

đó khái quát được vấn đề một cách nhanh chóng và chính xác

2 VAI TRÒ CỦA HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC TRONG GIẢI TOÁN

- Yếu tố quan trọng góp phần nên sự tiến bộ, phát triển của người học trong học toán

là hoạt động nhận thức của mỗi người Tuỳ mức độ nhận thức khác nhau mà con người

có thể tiếp thu những tri thức khoa học nói chung, toán học nói riêng một cách khác

nhau

- Toán học là một môn học khó và khá trừu tượng đòi hỏi người học phải tích cực

nhận thức, tích cực tìm tòi, khám phá để có thể chiếm lĩnh và sử dụng các tri thức toán

học một cách có hiệu quả

- Để tiến hành giải một bài toán đòi hỏi mỗi người phải nhận thức được đề bài một

cách sâu sắc Tìm ra các dữ kiện đã cho, các dữ kiện cần tìm để từ đó huy động vốn kiến

thức đã có một cách nhanh chóng và chính xác

- Trước một bài toán khó người học không thể nhận thức vấn đề một cách rập khuôn

được Khi đó hoạt động tư duy xuất hiện, bài toán càng khó thì mức độ tư duy càng cao,

người học phải biết huy động các kiến thức liên quan để giải quyết vấn đề Điều này đã

thể hiện rõ vai trò của trí nhớ Các thao tác tư duy được sử dụng thường xuyên giúp

người học tìm ra hướng giải một cách nhanh hơn

- Để giải quyết một vấn đề nói chung, bài toán nói riêng thì khâu nhận thức là quan

trọng nhất Nếu chúng ta nhận thức bị sai lệch hay thiếu bao quát thì vấn đề khó có thể

giải quyết một cách nhanh và chính xác được

- Toán học đòi hỏi logic chặt chẽ và chính xác cao Các vấn đề toán học được trình

bày một cách chặt chẽ, logic và theo một hệ thống nhất định

3 PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH CÁC HỌAT ĐỘNG NHẬN THỨC

3.1 Phương pháp tiến hành các hoạt động nhận thức khái niệm

3.1.1 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

- Trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học bất cứ khoa học nào ở trường

phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh

một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền

đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học

- Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường phổ thông phải dần dần làm cho

học sinh đạt được các yêu cầu sau:

+ Làm cho học sinh hiểu được thuộc tính bản chất và thuộc tính đặc trưng của

khái niệm

+Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có

thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm,

nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

+Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một số khái niệm

+Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể, trong hoạt động giải

toán và ứng dụng vào thực tiễn

+Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với

những khái niệm khác trong môt hệ thống khái niệm

3.1.2 Phương pháp nhận thức

- Nhận thức một cách khái quát nội dung của khái niệm

- Hiểu và nắm vững khái niệm một cách sâu sắc để từ đó có thể mở rộng và vận

dụng khái niệm đã có

- Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phát biểu,

diễn đạt định nghĩa dưới dạng những ngôn ngữ khác nhau

- Phân tích, làm rõ những ý quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách

tường minh hay ẩn tàng

- Khái quát hoá, tức là mở rộng khái niệm Chẳng hạn, từ khái niệm vận tốc tức

thời của một chuyển động tới khái niệm đạo hàm của một hàm số

- Đặc biệt hoá Ví dụ như xét hình bình hành có một góc vuông để được hình

chữ nhật

- Hệ thống hoá, chủ yếu là biết sắp xếp khái niệm mới vào hệ thống khái niệm

đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những khái niệm khác nhau trong một hệ thống khái

niệm

3.2 Phương pháp tiến hành hoạt động nhận thức định lý

3.2.1 Vị trí của định lý và yêu cầu dạy học định lý

Các định lý cùng với các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn

toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và

chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng phẩm chất đạo đức

Việc dạy học định lý toán học nhằm đạt các yêu cầu sau:

- Làm cho học sinh nắm được nội dung các định lý và những mối liên hệ giữa

chúng, có khả năng vận dụng các định lý vào các hoạt động giải toán cũng như ứng

dụng trong thực tế

- Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận

chính xác

- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu

chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên mức độ biết cách suy nghĩ để tìm

ra chứng minh theo yêu cầu của chương trình phổ thông

- Thông qua việc học tập những định lý toán học, học sinh biết nhìn nhận nội

dung môn toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời rèn luyện được kĩ

năng phát hiện và giải quyết vấn đề ở mức yêu cầu của chương trình phổ thông

3.2.2 Phương pháp nhận thức

- Hiểu và nắm vững định lý một cách chính xác

- Vận dụng các kết quả của định lý để chứng minh một vấn đề nào đó

- Rèn luyện các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng

hoá, khái quát hoá, trong chứng minh

- Hình thành những tri thức về những phương pháp suy luận, chứng minh như

suy ngược (tiến, lùi), suy xuôi, quy nạp toán học và chứng minh bằng phương pháp

phản chứng

+Phép suy xuôi có sơ đồ sau: A= A o ⇒A1⇒ ⇒ A n =B

(A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề đúng, B là mệnh đề cần chứng minh.)

+ Phép suy ngược có hai trường hợp:

ƒ Suy ngược tiến có sơ đồ: B=B o ⇒B1⇒ ⇒B n = A

ƒ Suy ngược lùi có sơ đồ: B= B o ⇐B1 ⇐ ⇐B n = A

Suy ngược tiến chỉ có tính chất tìm đoán chứ không phải là một phép chứng minh như

suy xuôi và suy ngược lùi

3.3 Phương pháp chung để giải bài toán

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán,

phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh, có thể dùng công thức, ký hiệu,

hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm tòi lời giải

Tìm tòi, phát hiện lời giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi cái

đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với

những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường

hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng

những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, chứng

minh quy nạp, toán dựng hình, toán quỹ tích

Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết

quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,

Tìm tòi những cách giải khác nhau, so sánh chúng để chọn cách giải hợp lý nhất.

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương

trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải Nghiên cứu giải những bài

toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ: Chứng minh rằng: “Tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong tam

giác đều đến các cạnh của nó là một hằng số.”

Giải

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Cho tam giác đều ABC Gọi M là điểm di động nằm trong tam giác ABC Kí

hiệu H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB, BC, AC của tam giác Chứng

minh rằng tổng MH + MI + MK là một hằng số

Bước 2: Tìm lời giải

• Để chứng minh MH + MI + MK là một hằng số không đổi, trước hết ta cần dự

đoán được hằng số ấy là bao nhiêu

• Để làm điều đó ta thấy rằng, với M là một điểm bất kỳ bên trong tam giác nên ta

có thể chọn sao cho M nằm ở những vị trí đặc biệt, chẳng hạn M trùng với A

• Khi đó, MH + MI + MK = O + MI + O = MI = h (với h là độ dài đường cao của

tam giác ABC)

• Như vậy, hằng số phải tìm bằng độ dài đường cao của tam giác ABC

• Yêu cầu bài toán trở thành: “ Chứng minh MH + MI + MK = h”

• Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h, người ta thường nghĩ đến việc sắp

xếp các đoạn thẳng này liên tiếp trên một đường thẳng nào đó để tạo thành một đoạn

thẳng có độ dài bằng h Nhưng vị trí và sự thay đổi vị trí của ba đoạn thẳng này trên

hình vẽ khi M di chuyển trong tam giác ABC cho thấy điều đó khó thực hiện với bài

toán này Do đó ta phải tìm một hướng giải khác

Hướng đi khác: Sử dụng các phép đối xứng( chẳng hạn các phép đối xứng trục, đối

xứng tâm, ) để chia tổng ba đoạn MH, MI, MK về một đoạn có độ dài bằng h Tuy

nhiên do M di chuyển và đồng thời ba đoạn này lại cắt nhau ở M, nên hướng đi này là

rất khó thực hiện

• Bây giờ ta thử nối các đoạn MA, MB, MC lại Khi đó trên hình vẽ xuất hiện ba

tam giác và phát hiện thêm một điều đặc biệt là các tam giác này có một cạnh bằng nhau

(bằng a)

• Hơn nữa ta phát hiện thêm rằng, cho dù M di chuyển như thế nào trong miền

tam giác ABC thì tổng diện tích của ba tam giác AMB, AMC, BMC vẫn không đổi(

bằng diện tích của tam giác ABC)

I H A

• Để kiểm tra lời giải, trước hết ta có thể thử lại hằng số MH + MI + MK tại một

vài vị trí đặt biệt khác, chẳng hạn lấy M là giao điểm của ba đường cao, đồng thời là ba

đường trung tuyến của tam giác đều ABC Khí đó:

.31

h MK MI

MH

h MK

MI

MH

=+

Bước 3: Trình bày lời giải:

Gọi M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác đều ABC, hình chiếu của M lên các cạnh

Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ rằng tổng MH+MI+MK không đổi cho dù ta lấy M ở

bất kỳ vị trí nào trong tam giác

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

Từ bài toán trong ví dụ ta có thể phát biểu và giải những bài toán khái quát hoặc mở

rộng sau:

Mở rộng ra trường hợp đa giác đều

Bài toán 1: “ Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong

một đa giác đều đến cac cạnh của đa giác đó là một hằng số không đổi”

Phân tích kỹ lời giải trên ta thấy rằng yêu cầu bài toán không cần có giả thiết đa

giác đều mà chỉ cần đa giác này có các cạnh bằng nhau là được Do đó ta có thể mở

rộng bài toán trên như sau:

Bài toán 2: “Cho một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau, chứng minh rằng tổng các

khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong một đa giác đó đến các cạnh của đa giác đó

là một hằng số không đổi”

Mở rộng cho trường hợp tứ diện đều

Bài toán 3: “ Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trong tứ

diện đều đến các mặt của tứ diện đó là một hằng số không đổi”

4 MỘT SỐ HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC NHẬN THỨC CỦA HỌC

SINH

4.1 Những biểu hiện tích cực nhận thức của học sinh THPT trong môn toán

Trong học tâp nói chung và trong học toán nói riêng, tính tích cực được biểu

hiện ở một số hoạt động như:

• Hăng hái tham gia phát biểu xây dựng bài, suy nghĩ trả lời các câu hỏi giáo viên

đưa ra trong mỗi giờ học

• Nắm và hiểu được các công thức, tính chất, định lý, và có thể vận dụng linh

hoạt các kết quả của lý thuyết trực tiếp vào bài tập cụ thể

• Tích cực học hỏi, tìm tòi, khám phá các kiến thức về toán học, suy ngẫm về mối

liên hệ giữa cái đã biết và cái chưa biết cũng như tìm hiểu các quy luật giữa chúng Tự

học, tự nghiên cứu, tự khám phá là biểu hiện của tính tích cực

• Có nhu cầu, hứng thú học tập, khao khát hiểu biết về những kiến thức toán học

do giáo viên cung cấp cũng như những kiến thức mà các em tự tìm hiểu, tự nghiên cứu

lấy

• Có cảm xúc trong học toán thể hiện ở niềm vui, ở ý thức thực hiện nhiệm vụ

theo yêu cầu của giáo viên một cách tự giác

• Tập trung chú ý cao thể hiện ở việc chăm chú lắng nghe, theo dõi mọi hoạt động

của giáo viên trên lớp trong giờ giảng toán, tự giác thực hiện chu đáo, nhanh gọn, đầy

đủ, chính xác các nhiệm vụ hay bài tập mà giáo viên nêu ra

• Có sự nỗ lực của ý chí, thể hiện ở sự kiên trì, nhẫn nại, không nản lòng khi giải

quyết những bài toán khó, phức tạp

4.2 Một số hướng phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh

Tính tích cực nhận thức của học sinh mang tính cá nhân Vì vậy, muốn học sinh

tích cực học tập thì phải kích thích trí tò mò, ham muốn khám phá, học hỏi của học sinh

bằng cách nêu lên các “tình huống có vấn đề” để các em phát hiện và tìm cách giải

quyết

“Tình huống có vấn đề” là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn

về lý luận hay về thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không

phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ,

hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

Xây dựng hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp nhằm kích thích trí tò mò,

năng lực phát hiện vấn đề của học sinh Đề ra một số bài tập mở nhằm phát triển năng

lực tư duy của mỗi học sinh

Liên hệ thực tế để thấy tầm quan trọng của môn học Tạo không khí thoải mái,

dễ chịu trong giờ học để học sinh hứng thú trong học tập từ đó phát huy được tính tích

cực nhận thức của các em

Mỗi vấn đề( bài toán) nên đưa ra nhiều cách giải để thấy sự phong phú, đa dạng

của toán học Từ đó kích thích hoạt động của học sinh theo hướng tích cực

Phần II:

PHÂN TÍCH HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH

CHƯƠNGI: CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT

PHẲNG VÀ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ VAI TRÒ CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG MẶT PHẲNG

Với công cụ vectơ hoc sinh lớp 10 sẽ được làm quen với một phương pháp học tập,

nghiên cứu hình học đó là phương pháp toạ độ (PPTĐ).Với PPTĐ, học sinh sẽ tập nghiên

cứu hình học bằng một phương pháp hoàn toàn khác với phương pháp đã học ở THCS

Với phương pháp này, nó còn cho phép ta thiết lập mối liên thông giữa phương pháp giải

tích và phương pháp vectơ “Thuật ngữ PPTĐ sẽ được chỉ chung cho cả hai phương pháp

giải tích và vectơ – toạ độ (có cùng đặc trưng là lấy hệ toạ độ làm trung gian để chuyển

bài toán hình học thành bài toán đại số )”

Trong lịch sử toán học , hình học giải tích ra đời trước lý thuyết vectơ Nhưng do hai

lý thuyết này được xây dựng độc lâp nên việc đưa vào nghiên cứu hình học cùng một lúc

là không có gì cản trở

PPTĐ được đánh giá là một phương pháp tư duy mới, có hiệu quả và mang tầm khái

quát cao Bằng việc đưa vào mặt phẳng một hệ trục tọa độ, mỗi điểm, mỗi vectơ trên mặt

phẳng đều được xác định bởi tọa độ của nó Ta hiểu khái niệm “ điểm”, “véctơ” hình học

thông qua một cặp số cố định Người ta gọi chúng là tọa độ của điểm hay tọa độ vectơ Từ

những khái niệm đơn giản ban đầu, hoc sinh sẽ có cơ sở để nghiên cứu các khái niệm

khác như đường thẳng, đường tròn, ba đường cônic (Elip, Hyperbol, parapol) Thông qua

phương trình của chúng, đặc điểm và những tính chất đặc trưng của các đường này, vận

dụng vào việc nghiên cứu, giải các bài tập liên quan

Ở lớp 7 cấp THCS, học sinh đã được học về trục số thực, và biết rằng trên trục số này,

mỗi điểm đươc đặc trưng tương ứng 1-1 với một số thực Sau đó cũng ở lớp này, các em

cũng được học về hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc Mỗi điểm trên mặt phẳng toạ độ được

xác định bởi một cặp số thực duy nhất được ký hiệu là M (x ; y) Đến lớp 9 các em được

học về đồ thị của hàm số bậc nhất, bậc hai Các kiến thức này được giới thiệu trong phần

đại số với mục đích nghiên cứu một số hình đơn giản Các em được học đồ thị của hàm số

bậc nhất là một đường thẳng có phương trình y = ax + b(a, b là các số thực) Khái niệm

phương pháp toạ độ và những khái niệm khác chỉ được nghiên cứu ở lớp 10

Như vậy, sự ra đời của phương pháp toạ độ đã tạo nên một sự thay đổi lớn trong việc

nghiên cứu toán học nói chung và hình học nói riêng Có thể xem đây là một cuộc cách

mạng trong việc nghiên cứu hình học Vai trò to lớn của phương pháp toạ độ là một điều

mà ai cũng dễ nhận ra

“PPTĐ là một công cụ có hiệu quả cao trong việc nghiên cứu hình học Đặc biệt với

phương pháp toạ độ, ta có thể trang bị cho học sinh các algôrit giải nhiều dạng toán hình

học”

Thông qua PPTĐ, học sinh tập suy luận và tư duy một cách chính xác, tránh được

những sai lầm đáng tiếc do trực giác gây ra, tạo điều kiện tiếp cận và làm quen với những

phương pháp suy luận tổng quát hơn, nắm được những kiến thức cao hơn và sâu hơn

chuẩn bị tốt cho việc tiếp thu những kiến thức cho bậc đại học sau này

Theo một trích dẫn thì việc đưa cho học sinh tiếp cận ngay từ lớp 10 “ một phương

pháp tư duy mới, tư duy hình học bằng những con số là rất cần thiết Tìm hiểu các hình

hình học thông qua phương trình của chúng là một việc làm cần thiết trong giai đoạn mới

của khoa học kỹ thuật đang trên đà phát triển như vũ bão Việc đưa kiến thức vectơ và

PPTĐ vào chương trình học đã giúp cho học sinh sớm tiếp cận một phương pháp tư duy

hiện đại, có thêm những phương tiện mới để suy luận có cơ sở khoa học mà hoàn toàn

không dựa vào trực giác”

Bằng PPTĐ, ta có thể chuyển nhiều bài tập hình học sang bài tập đại số và ngược

lại, từ kết quả đại số suy ra được một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học

2 NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

2.1 Hệ toạ độ afin ( hay còn gọi là hệ toạ độ xiên)

Trong mặt phẳng chọn một điểm O và hai vectơ không cộng tuyến →i và →j (tức

→

i và →j không cùng phương).Khi đó bộ ba (O, →i , ) gọi là một mục tiêu afin, hay →j

còn gọi là hệ tọa độ afin

Gọi Ox và Oy là các đường thẳng đi qua O và có phương lần lượt là →i và →j , thì

mục tiêu đó còn ký hiệu là Oxy.Điểm O gọi là gốc toạ độ, các đường thẳng Ox và

Oy gọi là các trục tọa độ

2.2 Hệ trục toạ độ Đê-Các vuông góc ( hay hệ toạ độ trực chuẩn)

Một trường hợp đặc biệt của hệ toạ độ afin (O, →i , ) là toạ độ trực chuẩn Đó là →j

khi hai vectơ →i và →j là hai vectơ đơn vị và vuông góc với nhau Tức là:

Mặt phẳng toạ độ có các trục toạ độ Ox và Oy được gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy

hay mặt phẳng Oxy

Với mỗi điểm M trên mặt phẳng ta luôn có cặp số thực (x;y) duy nhất trong mặt phẳng

sao cho OM→ =x.→i+ y.→j Ta viết M (x; y)

Tương tự một vectơ →u trong mặt phẳng có một cặp số thực duy nhất (a;b) sao

cho →u=a.→i+b.→j Ta viết ( ; )u→= a b hay ( ; )u a b→ Như vậy ta có một song ánh giữa các

tập điểm M trong mặt phẳng và tâp các bộ số thực (x; y) có thứ tự

“ Chương trình THPT chỉ nghiên cứu hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc, đặc biệt

là hệ trục toạ độ trực chuẩn” Vì đây là hệ toạ độ thông dụng nhất và cho phép cả những

bài toán afin lẫn những bài toán metric

Tương tự ta xây dựng hệ trục toạ độ trực chuẩn Oxyz trong không gian Các nội

dung về PPTĐ được chia thành hai phấn lớn: PPTĐ trong mặt phẳng và phương pháp

toạ độ trong không gian

3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP 10

NÂNG CAO

A- Về phân phối thời gian

Chương trình gồm 20 tiết được sắp xếp thành 8 xoắn (§) Sách giáo viên đã phân

phối thời gian cho từng bài như sau:

Như vậy nội dung của chương này bao gồm những kiến thức đơn giản nhất, cơ bản nhất

của bộ môn hình học giải tích phẳng

Có thể phân thành hai mảng như sau:

Diễn đạt bằng toạ độ những đối tượng khái niệm hình học quen thuộc ( đường

thẳng, khoảng cách và góc) và biểu thị qua toạ độ các tính chất cũng như quan hệ đơn

giản của các hình đó

Các đường tròn, elip, hypebon, parabon và lập phương trình chính tắc của các

đường đó Từ các phương trình này ta sẽ đi nghiên cứu, xem xét các tính chất của nó

Sách giáo khoa cũng đề cập một số tính chất chung của ba đường: elip, hypebon,

parabon để đi đến khái niệm về đuờng cônic

ir

B - Mục tiêu của chương:

Học chương này học sinh cần đạt những yêu cầu sau:

Lập được phương trình của đường thẳng, đường tròn, đường cônic khi biết các

yếu tố xác định chúng và ngược lại từ phương trình của mỗi đường xác định các yếu tố

đặc trưng của chúng

Nhớ và vận dụng các biểu thức toạ độ để biểu thị một cách chính xác các sự kiện

hình học Chẳng hạn như điều kiện của điểm thuộc đường thẳng, vị trí tương đối giữa

các đường, tính chất của đường cônic, Từ tính chất và quan hệ giữa các hình, củng cố

được một số kiến thức đại số như bài tập biện luận hệ phương trình, bất phương trình

bậc nhất, bậc hai

CHƯƠNGII: TÌM HIỂU HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC

SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƯƠNG TRÌNH HÓA

1 ĐẶC ĐIỂM CỦA DẠY HỌC CHƯƠNG TRÌNH HÓA

Dạy học chương trình hoá có các đặc điểm sau:

- Điều khiển chặt chẽ theo hoạt động học tập trên từng đơn vị dạy học nhỏ

- Tính độc lập cao của hoạt động học tập

- Bảo đảm thường xuyên có mối liên hệ ngược (phản hồi)

- Cá biệt hoá việc dạy học

Các đặc điểm này thể hiện như sau:

• Nội dung học tập được chia thành từng đơn vị nhỏ (gọi là liều kiến thức)

• Học sinh hoạt động độc lập theo từng liều kiến thức

• Sau mỗi liều, học sinh phải trả lời một câu hỏi kiểm tra Sau đó học sinh biết

mình trả lời sai hay đúng khi bắt đầu liều tiếp theo( đảm bảo liên hệ ngược bên

trong)

• Việc học tập mang tính cá nhân tùy theo năng lực của người học (ta gọi là tính

chất thích ứng của dạy học)

Ngoài ra còn các đặc điểm quan trọng như: Liều kiến thức tiếp theo phụ thuộc vào kết

quả trả lời câu hỏi trong liều trước( bảo đảm liên hệ ngược bên ngoài)

2 CẤU TRÚC CỦA CHƯƠNG TRÌNH

Vật liệu xuất phát để cấu tạo chương trình dạy học là các yếu tố cơ bản được kí hiệu

như sau:

Thông báo tri thức

Câu hỏi hoặc bài tập kiểm tra

Quyết định (chuyển sang bước tiếp theo hoặc kết thúc)

Đáp án hoặc kết quả xử lý câu trả lời của người học

Thường thì các yếu tố liên tiếp được coi là tạo thành một liều không nhất thiết là có đủ

các yếu tố vừa nêu Mỗi liều được viết thành một phiếu

Ví dụ: Cách sắp xếp các liều liên tiếp:

Ở mỗi liều, cuối cùng đều có quyết định về liều tiếp theo Nếu trong phiếu không nêu

quyết định thì công việc được tiến hành theo trình tự tự nhiên: Hết phiếu trước thì

chuyển sang phiếu liền sau

3 CHƯƠNG TRÌNH

Chương trình là một dãy những liều sao cho người học sau mỗi liều đều xácđịnh được

liều tiếp theo theo một cách duy nhất

4 HAI LOẠI CHƯƠNG TRÌNH

4.1 Chương trình đường thẳng:

Chương trình đường thẳng là chương trình mà theo đó mọi học sinh nhận được những liều như nhau, độc lập với chất lượng trả lời câu hỏi ở liều trước

Sơ đồ biểu diễn chương trình đường thẳng:

Mọi học sinh đều phải học qua tất cả các liều theo cùng một trình tự, tức là đi

theo cùng một con đường vì thế người ta phải căn cứ vào trình độ học sinh trung bình,

yếu để thiết kế các liều, nội dung thông báo và kiểm tra từng liều thường là dễ Như

vậy chương trình có nhược điểm là: nhàm chán đối với học sinh khá giỏi, ít phát triển

được năng lực sáng tạo

Tuy nhiên, chương trình đường thẳng có các ưu điểm sau:

+ Dễ xây dựng

+ Dễ cài đặt và dễ thực hiện

+ Dễ tổ chức cho học sinh giúp đỡ lẫn nhau

Ví dụ: Củng cố khái niệm đường trung trực của một đoạn thẳng

Phiếu 1:

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của

đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm

Những điểm nằm trên đường trung trực sẽ cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng

đó

Đường cao AH của tam giác ABC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng

BC không ?

Phiếu 2:

Đường cao AH của tam giác ABC không phải là đường trung trực của đoạn

thẳng BC vì nó không đi qua trung điểm của đoạn BC

Trung tuyến AM của tam giác ABC có phải là đường trung trực của đoạn BC

không?

Phiếu 3:

Trung tuyến AM của tam giác ABC không phải là đường trung trực của đoạn

BC vì nó không vuông góc với đoạn thẳng BC

Đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC cân tại A có phải là đường

trung trực của đoạn BC không?

Phiếu 4:

Đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC cân tại A là đường trung

trực của đoạn BC vì trong tam giác cân đường cao cũng là đường trung tuyến,

đường phân giác

4.2 Chương trình phân nhánh

Chương trình phân nhánh là chương trình được xây dựng sao cho khi học xong

một liều, học sinh rẽ theo những nhánh khác nhau, tức là liều tiếp theo có thể khác nhau,

điều đó phụ thuộc vào câu trả lời của từng người đối với câu hỏi nêu ra ở liều trước

Như vậy chương trình phân nhánh dẫn đến những con đường khác nhau tùy theo trình

độ, năng lực khác nhau của từng học sinh

Ví dụ:

Phiếu 1:

Cho đường tròn (C) có phương trình chính tắc:

2 2

2 + x+ y − y+ =

x

Nếu bạn chọn tâm I(0; 0), bán kính R = 15 thì hãy xem phiếu 2

Nếu bạn chọn tâm I(-4; 2), bán kính R = 5 thì hãy xem phiếu 3

Nếu bạn chọn tâm I(4; -2), bán kính R = 5 thì hãy xem phiếu 4

Nếu bạn chọn tâm I(-4; 2), bán kính R = 5 thì hãy xem phiếu 5

Phiếu 2:

Bạn đã chọn sai Bạn hãy biến đổi phương trình của đường tròn về dạng

2 2

)

(x−a + y−b =R và tìm lại tâm và bán kính của đường tròn

Hãy quay lại phiếu 1

(x−a 2 + y−b 2 =c c> thì tâm I (a; b) và bán kính bằng c

Hãy quay lại phiếu 1

CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO NHẰM PHÁT HUY

TÍNH TÍCH CỰC NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA

DẠY HỌC CHƯƠNG “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT

PHẲNG”

CHỦ ĐỀ 1: ĐƯỜNG THẲNG

A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT

™ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình tổng quát của đường thẳng

• Vectơ nr ≠ , có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến or

(VTPT) của đường thẳng ∆

• Trong mặt phẳng tọa độ mọi đường thẳng đều có PTTQ dạng ax+by+c=0 (a2

+ b2 ≠ 0)

• Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax+by+c=0 (a2 + b2 ≠ 0) đều là PTTQ của

một đường thẳng xác định, nhận nr = (a, b) làm vectơ pháp tuyến

• Các dạng đặc biệt của PTTQ

+ Đường thẳng (∆ ): 0by + c= song song

hoặc trùng với trục Ox (H1)

+ Đường thẳng (∆ ):ax + c=0 song song

hoặc trùng với trục Oy (H.2)

+ Đường thẳng (∆):ax + by=0 đi qua góc tọa độ (H.3)

+ Phương trình đường thẳng có dạng:

)0,0

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ∆1,∆2 có phương trình:

1

∆ : a1x+b1y+c1=0

2

∆ : a2x+b2y+c2 =0

Khi đó số điểm chung của hai đường thẳng bằng số nghiệm của hệ phương trình được

xác định bởi 2 phương trình trên, nên từ kết quả của đại số ta có:

• Hai đường thẳng ∆1,∆2 cắt nhau khi và chỉ khi : 0

2

1 2

b

b a a

• Hai đường thẳng ∆1,∆2 song song khi và chỉ khi: 0

2

1 2

b

b a

a

2

1 2

a

a c c

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

a

a c

c c

c b

b b

b a a

Trong trường hợp a2, b2, c2 đều khác 0 ta có:

1 2

1

c

c b

b a

1 2

1

c

c b

b a

™ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ ur ≠ , có giá song song hoặc trùng với đường thẳng or ∆ được gọi là vectơ chỉ

phương của đường thẳng ∆

2 Phương trình tham số của đường thẳng

at x x

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ với tham số t Đường thẳng ∆

nhận ur làm vectơ chỉ phương ( ur = (a, b))

Trường hợp cả a và b đều khác 0, bằng cách khử t từ ptts ta được phương trình:

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm M (xM, yM) và đường thẳng (∆) có PTTQ:

ax M M

+

++

Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆ có phương trình: ax+by+c=0 và hai điểm M (xM, yM),

N (xN, yN) không nằm trên ∆, khi đó:

+ M, N nằm cùng phía với ∆ khi và chỉ khi:

2 2

2 2 2 2

c y b x a b

2 2

2 2 2 2

1

2

1

1 1

+

++++

+

+

b a

c y b x a b

a

c y

b

x

a

2 Góc giữa hai đường thẳng:

Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4 góc Số đo nhỏ nhất

của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b Hay đơn gảin

hơn là góc giữa a và b

Kí hiệu: (a, b)

Khi a // b hoặc a ≡ b, ta qui ước góc giữa chúng bằng 0

3 Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình:

2 1

2 1

2 1 2

b a b a

b b a

++

a (d) đi qua điểm M (2; 1) và có vectơ chỉ phương ar = (7; 3)

b (d) đi qua điểm N (-5; -8) và có hệ số góc k = -3

Hướng dẫn và giải

a/ VTCP của đường thẳng (d) là ar = (7; 3) Suy ra VTPT của (d) là: d nr = (3; -7) d

Vậy phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M (2; 1) và nhận nr = (3; -7) làm vectơ d

pháp tuyến là: 3(x – 2) – 7(y – 1) = 0

⇔ 3x – 7y + 1 = 0 b/ Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k là: y = kx + m

Bài 2: Cho điểm M ( 1; 2) Lập phương trình của đường thẳng (∆) đi qua điểm M và

chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau

b a b

a

-O

-1123y

ƒ a = b => x +y = a thế tọa độ điểm M (1; 2) vào phương trình ta được

00

1

0 y x

- Đường cao BH AC nên nhận AC hoặc vectơ chỉ phương của AC làm VTPT

- Đường cao BH qua điểm B là giao điểm của AB và BC

Giải

Cách 1:

Do BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥ AC

Vì BH ⊥ AC nên đường cao BH nhận AC làm vectơ pháp tuyến

H

A

Vì AB ∩ AC = {A} nên tọa độ của điểm A thỏa mãn hệ phương trình:

)11

7

;11

5(1171150

x y

;1(2

10

x y

Vậy phương trình đường cao BH đi qua điểm B (-2; - )

ƒ Do BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥ AC

ƒ Vậy đường cao BH nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng AC làm VTPT

VTPT của đường thẳng AC là: nr AC =(5;−2)

Suy ra VTCP của đường thẳng AC là: ur AC =(2;5)

ƒ Do B là giao điểm của hai đường thẳng AB và BC nên tọa độ giao điểm của B là

nghiệm của hệ phương trình:

)3

5

;2(35

20

x y

2(x + 2) + 5(y +

3

5) = 0

⇔ 6x + 15y + 37 = 0

Bài 4: Cho ∆ABC có phương trình 3 cạnh

AB: 2x + y + 4 = 0

AC: 2x – y – 4 = 0

BC: x + 2y – 7 = 0

Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Ba

điểm H, G, O có thẳng hàng không ? Tìm hệ thức liên hệ giữa GH và GO

2163

016480

x

y x AC

−+

−

3

4

;3

23

264

;3

350

Gọi O (x0, y0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, khi đó:

)1

;2

5(1

2

53

12

6

4520

10

)2()3()4()0(

)6()5()4(0

0

0 0

0

0 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0

2 0 2

=+

−

=++

−

−++

=++

x y

x

y x

y x

y x

y x

y x

B

A

O

C

=> GH = 2 OG

Suy ra 3 điểm H, O, G thẳng hàng và GH = 2GO

Bài 5: Cho 2 đường thẳng

1

∆ : x + 2y – 3 = 0

2

∆ : 3x – y + 2 = 0

Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm P (3; 1) và cắt ∆ , 1 ∆ lần lượt ở A, B 2

sao cho (∆ ) tạo với ∆ và 1 ∆ một tam giác cân có cạnh đáy là AB 2

Hướng dẫn giải

- Gọi O là giao điểm của ∆ và 1 ∆ 2

- ∆OAB cân tại O nên (∆ ) sẽ vuông góc với các đường phân giác của góc AOB

Giải

Gọi O là giao điểm của ∆ và 1 ∆ 2

Phương trình các đường phân giác góc O là:

5

3

2

y x y

x

y x y

−

−+

+

=

−

−++

+

−

=

−+

⇔

02231223

2

02231223

2

)23

()32

(

2

)23

()32

(

2

y x

y x

y x y

x

y x y

−+

−

−

=+

−

−++

0625)32()1

2

2

(

0)625()23()1

2

2

(

y x

y x

VTPT của ∆ , ∆ , 1 ∆ lần lượt là: nr = (a; b), 2 nr = (1; 2), 1 nr = (3; -1) 2

Tam giác ABC là tam giác cân có cạnh đáy AB, nên:

2

−

=+

⇔

−

=+

⇔

)3()2

(

2

3)2

(

2

3)

2

(

2

b a b

a

b a b

a

b a b

b a

)221()

2

3

(

)122()

Vậy phương trình của (∆) là: (2 2−1)x−( 2+3)y−5 2+6=0

Bài 6: Tìm điểm M trên đường thẳng (∆): x – y + 2=0 cách đều hai điểm E (0; 4) và

- Kiểm tra được E (0; 4) và F (4; -9) không thuộc (∆)

- M cách đều 2 điểm E và F <=> M nằm trên đường trung trực (d) của EF

Suy ra (d) đi qua điểm I và nhận EF làm VTPT

Vậy phương trình đường thẳng (d) là: 4(x – 2) – 13(y 5

2+ ) = 0

<=> 4x – 13y –

2

81 = 0

<=> 8x – 26y – 81 = 0 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

−

18

97

;1813318

9718133

08126

8

02

M y

x

y x

t y

Bài 7: Cho A (1; 2) và (d): 2x – 6y + 3 = 0 Tìm trên (d) 2 điểm B, C sao cho ∆ABC

vuông cân tại A

Hướng dẫn giải:

• Lập phương trình qua A sao cho góc hợp bởi đường thẳng đó với (d) là 450

∆ ABC vuông cân tại A <=> AB = AC = AH 2

• Tìm trên (d) điểm M sao cho MA = AH 2 bằng cách chuyển (d) về PTTS

.2

∆

∆

n n

n n

d

d

rr

rr

(với

)

;(

)6

;2(

b a n

⇔

=

−++

−

⇔

2

20

2322

2)6(2

6

2 2

2

a

b a b

ab a b

a

b a

−

=+

−

5

3

;10

30

362

02

B y

x

y x

3

2

3

R t t

d(A, d) =

102

7)6(2

3122

2

−+

Ta tìm điểm M ∈ (d) sao cho AM =

527

20

4923

2

=

−+

13

;512

13

;512

Trong bài toán này ta có thể thay đổi tọa độ của B và C cho nhau

Bài 8 Cho 3 điểm A (m; 5 – m), B (1; 2), C (3; 4) Khi m thay đổi có nhận xét gì độ dài

AB, AC Từ đó kết luận gì về điểm A của ∆ABC

Bài 9 Cho A (3; 1), B (4; -3) Tìm tập hợp những điểm M sao cho

Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 > c, là phương trình

đường tròn tâm I (-a;- b), bán kính R = a2+b2−c

3 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M (x0; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I (a; b)

Gọi (∆) là tiếp tuyến của (C) tại M Phương trình tiếp

tuyến của (C) tại M là đường thẳng qua điểm M và nhận

∆