• Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Vi ết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d.. Viết phương trình các cạnh và c
Trang 11 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ u 0 ≠ đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc
trùng với ∆
Nhận xét: – Nếu u là m ột VTCP của ∆ thì ku (k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆
– M ột đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP
2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ n 0≠ đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆
Nh ận xét: – Nếu n là m ột VTPT của ∆ thì kn (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆
– M ột đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT – N ếu u là m ột VTCP và n là m ột VTPT của ∆ thì u n⊥
3 Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y0( ; ) và có VTCP u0 0 =( ; )u u1 2
Phương trình tham số của ∆: x x y y0 tu tu1
A v
α
4 Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y0( ; ) và có VTCP u0 0 =( ; )u u1 2
5 Phương trình tham số của đường thẳng
PT ax by c 0+ + = với a2+b2 ≠0 đgl phương trình tổng quát của đường thẳng
Nh ận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax by c 0+ + = thì ∆ có:
VTPT là n =( ; )a b và VTCP u= −( ; )b a ho ặc u =( ; )b a− – N ếu ∆ đi qua M x y0( ; ) và có VTPT 0 0 n =( ; )a b thì ph ương trình của ∆ là:
a x x( − 0)+b y y( − 0) 0=
CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trang 2Các trường hợp đặc biệt:
• ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a b ≠ 0): Phương trình của ∆: a b x y + = 1
( phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)
• ∆ đi qua điểm M x y0( ; ) và có hệ số góc k: Phương trình của ∆: y y0 0 − 0 =k x x( − 0)
(ph ương trình đường thẳng theo hệ số góc)
6 V ị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + = và ∆1 0 2: a x b y c2 + 2 + 2 = 0
Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c
a x b y c12 12 12
00
7 Góc gi ữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + = (có VTPT n1 0 1=( ; )a b1 1 )
8 Kho ảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và điểm M x y0( ; ) 0 0
• Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và hai điểm M x y( M; M), ( ;N x y N N) ∉ ∆
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (ax M +by M +c ax)( N +by N + > c) 0
Các h ệ số Phương trình đường thẳng ∆ Tính ch ất đường thẳng ∆
c = 0 ax by+ =0 ∆ đi qua gốc toạ độ O
a = 0 by c+ = 0 ∆ // Ox hoặc ∆ ≡ Ox
Trang 3– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔ (ax M +by M +c ax)( N +by N + < c) 0
• Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + = và ∆1 0 2: a x b y c2 + 2 + 2 = c0 ắt nhau
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
• M ột số bài toán thường gặp:
+ ∆ đi qua hai điểm A x y ( ; ) , ( ; ) (với A A B x y B B x A ≠x y B, A ≠y B ):
+ ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT của ∆: a b x y + = 1
+ ∆ đi qua điểm M x y0( ; ) và có hệ số góc k: PT của ∆: y y0 0 − 0=k x x( − 0)
Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của một
đường thẳng
• Để tìm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Vi ết phương trình đường thẳng ∆ qua M và vuông góc với d
– Xác định I = d ∩ ∆ (I là hình chiếu của M trên d)
– Xác định M′ sao cho I là trung điểm của MM′
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM′ Khi đó:
M ′ đối xứng của M qua d ⇔ MM u d
• Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta
có th ể thực hiện như sau:
– N ếu d // ∆:
+ L ấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua ∆
+ Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d
– N ếu d ∩ ∆ = I:
+ Lấy A ∈ d (A ≠ I) Xác định A′ đối xứng với A qua ∆
+ Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và I
• Để viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta có
th ể thực hiện như sau:
– L ấy A ∈ d Xác định A′ đối xứng với A qua I
– Viết phương trình đường thẳng d′ qua A′ và song song với d
Trang 4Bài 1 Lập PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và cĩ VTCP u: a) M(–2; 3) , u (5; 1) = − b) M(–1; 2), u ( 2;3)= − c) M(3; –1), u ( 2; 5)= − −d) M(1; 2), u (5;0)= e) M(7; –3), u (0;3)= f) M ≡ O(0; 0), u (2;5) =
Bài 2 Lập PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và cĩ VTPT n: a) M(–2; 3) , n (5; 1)= − b) M(–1; 2), n ( 2;3)= − c) M(3; –1), n ( 2; 5)= − −d) M(1; 2), n (5;0)= e) M(7; –3), n (0;3)= f) M ≡ O(0; 0), n (2;5)=
Bài 3 Lập PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và cĩ hệ số gĩc
k:
Bài 4 Lập PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)
g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6)
Bài 5 Viết PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song
Bài 7 Cho tam giác ABC Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao
của tam giác với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
Bài 8 Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác Viết phương trình các
đường cao của tam giác, với:
a) AB x: 2 −3y− =1 0,BC x: +3y+ =7 0,CA x: 5 −2y+ =1 0
b) AB x y: 2 + + =2 0, BC x: 4 +5y− =8 0,CA x y: 4 − − =8 0
Bài 9 Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của
các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
Bài 11 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành
một tam giác cĩ diện tích S, với:
Trang 5Bài 13 Lập phương trình đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với:
V ẤN ĐỀ 2: Các bài tốn dựng tam giác
Đĩ là các bài tốn xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác khi bi ết một số yếu tố của tam giác đĩ
Để giải loại bài tốn này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác
Sau đây là một số dạng:
D ạng 1: Dựng tam giác ABC, khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao
BB ′, CC′
Cách d ựng: – Xác định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′
– D ựng AB qua B và vuơng gĩc với CC′
– D ựng AC qua C và vuơng gĩc với BB′
– Xác định A = AB ∩ AC
Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao
BB ′, CC′
Cách d ựng: – Dựng AB qua A và vuơng gĩc với CC′
– D ựng AC qua A và vuơng gĩc với BB′
– D ựng d 1 qua M và song song v ới AB
– D ựng d 2 qua M và song song v ới AC
– Xác định trung điểm I của AC: I = AC ∩ d 1 – Xác định trung điểm J của AB: J = AB ∩ d 2 – Xác định B, C sao cho JB AJ IC AI= , = Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho MB= −MC
Bài 1 Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao Viết phương trình
hai cạnh và đường cao cịn lại, với: (dạng 1)
a) AB x y: 4 + −12 0,= BB′: 5x−4y−15 0,= CC′: 2x+2y− = 9 0
b) BC x: 5 −3y+ =2 0, BB′: 4x−3y+ =1 0,CC′: 7x+2y−22 0=
c) BC x y: − + =2 0, BB′: 2x−7y− =6 0,CC′: 7x−2y− = 1 0
Trang 6d) BC x: 5 −3y+ =2 0, BB′: 2x y− − =1 0,CC x′: +3y− = 1 0
Bài 2 Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao Viết phương
trình các cạnh của tam giác đĩ, với: (dạng 2)
a) A(3;0),BB′: 2x+2y− =9 0,CC′: 3x−12y− = 1 0
b) A(1;0),BB x′: −2y+ =1 0,CC′: 3x y+ − = 1 0
Bài 3 Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phư ơng trình hai đường trung tuyến Viết
phương trình các cạnh của tam giác đĩ, với: (dạng 3)
a) A(1;3),BM x: −2y+ =1 0,CN y: − = 1 0
b) A(3;9),BM x: 3 −4y+ =9 0,CN y: − = 6 0
Bài 4 Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến Viết
phương trình các cạnh cịn lại của tam giác đĩ, với:
a) AB x: −2y+ =7 0, AM x y: + − =5 0, BN: 2x y+ −11 0=
HD: a) AC:16x+13y−68 0,= BC:17x+11 106 0y− =
Bài 5 Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba
Viết phương trình của cạnh thứ ba, với: (dạng 4)
a) AB x y: 2 + − =2 0, AC x: +3y− =3 0, ( 1;1)M −
b) AB x y: 2 − − =2 0, AC x y: + + =3 0, (3;0)M
c) AB x y: − + =1 0,AC x y: 2 + − =1 0, (2;1)M
d) AB x y: + − =2 0, AC x: 2 +6y+ =3 0, ( 1;1)M −
Bài 6 Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung
tuyến Viết phương trình các cạnh của tam giác đĩ, với:
a) A(4; 1),− BH: 2x−3y+12 0,= BM x: 2 +3y=0
b) A(2; 7),− BH x y: 3 + +11 0,= CN x: +2y+ =7 0
c) A(0; 2),− BH x: −2y+ =1 0,CN: 2x y− + =2 0
d) A( 1;2),− BH x: 5 −2y− =4 0,CN x: 5 +7y−20 0=
V ẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x b y c1 + 1 + = và ∆1 0 2 : a x b y c2 + 2 + 2 = 0
To ạ độ giao điểm của ∆ 1 và ∆2 là nghi ệm của hệ phương trình:
a x b y c
a x b y c12 12 12
00
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta cĩ thể thực hiện như sau:
– Tìm giao điểm của hai trong ba đường thẳng
– Ch ứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đĩ
Bài 1 Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau thì tìm toạ độ
Trang 7giao điểm của chúng:
Bài 2 Cho hai đường thẳng d và ∆ Tìm m để hai đường thẳng:
i) cắt nhau ii) song song iii) trùng nhau
Bài 6 Cho tam giác ABC với A(0; –1), B(2; –3), C(2; 0)
a) Viết phương trình các đường trung tuyến, phương trình các đường cao, phương trình các đường trung trực của tam giác
b) Chứng minh các đường trung tuyến đồng qui, các đường cao đồng qui, các đường trung trực đồng qui
Bài 7 Hai cạnh của hình bình hành ABCD cĩ phương trình x−3y=0, 2x+5y+ =6 0, đỉnh
C(4; –1) Viết phương trình hai cạnh cịn lại
Bài 8 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q với:
a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 5), P(–2; 9), Q(3; –2)
Bài 9
a)
Trang 8V ẤN ĐỀ 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
1 Kho ảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và điểm M x y0( ; ) 0 0
2 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và hai điểm M x y( M; M), ( ;N x y N N ) ∉ ∆
– M, N n ằm cùng phía đối với ∆ ⇔ (ax M +by M +c ax)( N +by N + > c) 0
– M, N n ằm khác phía đối với ∆ ⇔ (ax M +by M +c ax)( N +by N + < c) 0
3 Phương trình các đường phân giác của các gĩc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x b y c1 + 1 + = và ∆1 0 2 : a x b y c2 + 2 + 2 = c0 ắt nhau
Phương trình các đường phân giác của các gĩc tạo bởi hai đường thẳng ∆ 1 và ∆2 là:
Cách 2:
– Viết phương trình các đường phân giác d 1 , d 2 của các gĩc tạo bởi hai đường thẳng
AB, AC
– Ki ểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d 1 (ho ặc d 2 )
+ N ếu B, C nằm khác phía đối với d 1 thì d 1 là đường phân giác trong
+ N ếu B, C nằm cùng phía đối với d 1 thì d 1 là đường phân giác ngồi
Bài 1 Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với:
Trang 9Bài 4 Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng ∆ một khoảng k, với:
∆ = = + =c) ∆:y− =3 0, k=5 d) ∆:x− =2 0, k=4
Bài 5 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cách điểm A một
Bài 9 Cho đường thẳng ∆: x y 2 0− + = và các điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2)
a) Chứng minh đường thẳng ∆ cắt đoạn thẳng AB
b) Chứng minh rằng hai điểm O, A nằm cùng về một phía đối với đường thẳng ∆
c) Tìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆
d) Trên ∆, tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất
Bài 10 Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) Tìm điểm C trên đường thẳng ∆: x−2y+ =8 0 sao cho
diện tích tam giác ABC bằng 17 (đvdt)
a) Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: −2x+5y− =1 0 một khoảng bằng 3
b) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng d x: 5 +3y− =3 0, : 5∆ x+3y+ =7 0 c) Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng d x: 4 −3y+ =2 0, :∆ y− =3 0
d) Tìm tập hợp các điểm cĩ tỉ số các khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng 135 :
Trang 10V ẤN ĐỀ 4: Gĩc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a x b y c1 + 1 + = (cĩ VTPT n1 0 1=( ; )a b1 1 )
Bài 5 Cho hình vuơng ABCD cĩ tâm I(4; –1) và phương trình một cạnh là 3x y− + =5 0 a) Viết phương trình hai đường chéo của hình vuơng
b) Tìm toạ độ 4 đỉnh của hình vuơng
Trang 111 Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: x a( − )2+ −(y b)2 =R2
Nhận xét: Phương trình x2+y2+2ax+2by c+ = , v0 ới a2+b2− >c 0, là phương trình
đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2+b2−c
2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆
∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d I( , )∆ = R
VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn
• Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: (x a− )2+ −(y b)2 =R2
Trang 12VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường tròn
Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính
R của (C) Khi đó phương trình đường tròn (C) là:
D ạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆
– Vi ết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
– Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆
– Bán kính R = IA
D ạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆
– Vi ết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
– Tâm I c ủa (C) thoả mãn: ∈I d d I( , )∆ =IA
– Bán kính R = IA
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B
– Vi ết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
– Viết phương trình đường thẳng ∆′ đi qua B và vuông góc với ∆
– Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆′
– Bán kính R = IA
D ạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 và ∆2
– Tâm I c ủa (C) thoả mãn: d I d I 1 d I IA 2
Chú ý: – Mu ốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi ∆ 1 và ∆2
hay xét d ấu khoảng cách đại số từ A đến ∆ 1 và ∆2 – N ếu ∆ 1 // ∆2 , ta tính R = 1 ( , )d 1 2
2 ∆ ∆ , và (2) được thay thế bới IA = R
Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆ 1 , ∆2 và có tâm n ằm trên đường thẳng d
– Tâm I của (C) thoả mãn: d I I d( , )∆1 =d I( , )∆2
∈
– Bán kính R = d I( , )∆1
D ạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x2+y2+2ax+2by c + = (*) 0
– L ần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình
– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c ⇒ phương trình của (C)
Cách 2: – Tâm I c ủa (C) thoả mãn: = =IA IB IA IC – Bán kính R = IA = IB = IC
D ạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC
– Vi ết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên
– Bán kính R = d I AB( , )
Trang 13Bài 1 Viết phương trình đường trịn cĩ tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1)
a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2)
Bài 2 Viết phương trình đường trịn cĩ tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 2)
a) I(3;4), : 4∆ x−3y+15 0= b) I(2;3), : 5∆ x−12y− =7 0
c) I( 3;2),− ∆≡Ox d) I( 3; 5),− − ∆≡Oy
Bài 3 Viết phương trình đường trịn cĩ đường kính AB, với: (dạng 3)
a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6)
Bài 4 Viết phương trình đường trịn đi qua hai điểm A, B và cĩ tâm I nằm trên đường thẳng
Trang 14V ẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
1 T ập hợp các tâm đường trịn
Để tìm tập hợp các tâm I của đường trịn (C), ta cĩ thể thực hiện như sau:
a) Tìm giá tr ị của m để tồn tại tâm I
b) Tìm to ạ độ tâm I Giả sử: I = =y g m x f m( )( )
c) Khử m giữa x và y ta được phương trình F(x; y) = 0
d) Gi ới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y
e) K ết luận: Phương trình tập hợp điểm là F(x; y) = 0 cùng với phần giới hạn ở d)
2 T ập hợp điểm là đường trịn
Th ực hiện tương tự như trên
Bài 1 Tìm tập hợp các tâm I của đường trịn (C) cĩ phương trình (m là tham số):
a) x2+y2−2(m−1)x−4my+3m+11 0=
b) x2+y2−2mx−4(m+1)y+3m+14 0=
c) x2+y2−2mx−2m y2 + = 2 0
d) x2+y2+mx m m− ( +2)y−2m2− = 4 0
Bài 2 * Tìm tập hợp các tâm I của đường trịn (C) cĩ phương trình (t là tham số):
a) x2+y2−2(cos2 4)t+ x−2 sin 2 6 cos2 3 0y t+ t− =
b) x2+y2−4 sinx t+4(cos2 sin )t− t y−2 cos2t= 0
c) x2+y2−2(2−e x t) +4(e2t−1)y e− − = t 3 0
d) (t2+1)(x2+y2) 8(+ t2−1)x−4(t2+ +4 1)t y−3t2− = 3 0
Bài 3 Tìm tập hợp các tâm I của đường trịn (C), biết:
a) (C) tiếp xúc với đường thẳng d x: 6 −8y+15 0= và cĩ bán kính R = 3
b) (C) tiếp xúc với hai đường thẳng d x1: +2y− =3 0,d x2: +2y+ = 6 0
c) (C) tiếp xúc với hai đường thẳng d1: 2x+3y− =6 0,d2: 3x−2y+ = 9 0
d) (C) tiếp xúc với đường trịn C( ) :′ x2+y2−4x+6y− = và cĩ bán kính R = 2 3 0e) (C) đi qua điểm A(2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d y: − =5 0
Bài 4 Cho hai điểm A(2; –4), B(–6; 2) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) sao cho:
Trang 15VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường trịn (C)
Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d: Ax By C 0+ + = và đường trịn (C):
x2+y2+2ax+2by c + = , ta cĩ th0 ể thực hiện như sau:
• Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R
– Xác định tâm I và bán kính R của (C)
– Tính kho ảng cách từ I đến d
+ d I d ( , ) < ⇔ d cắt (C) tại hai điểm phân biệt R + d I d( , ) =R ⇔ d tiếp xúc với (C)
+ d I d( , ) >R ⇔ d và (C) khơng cĩ điểm chung
• Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu cĩ) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
+ Hệ (*) cĩ 2 nghiệm ⇔ d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
+ H ệ (*) cĩ 1 nghiệm ⇔ d tiếp xúc với (C)
+ Hệ (*) vơ nghiệm ⇔ d và (C) khơng cĩ điểm chung
Bài 1 Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng d và đường trịn (C), với:
b) Biện luận theo k vị trí tương đối của d và (C)
c) Suy ra phương trình các tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A
Bài 3 Cho đường thẳng d và đường trịn (C):
i) Chứng tỏ d cắt (C) ii) Tìm toạ độ các giao điểm của d và (C)
a) d đi qua M(–1; 5) và cĩ hệ số gĩc k = − , 13 ( ) :C x2+y2−6x−4y+ = 8 0
b) d x y: 3 − −10 0, ( ) := C x2+y2−4x−2y−20 0=
Bài 4
a)
Trang 16V ẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối của hai đường trịn (C 1 ) và (C 2 )
Để biện luận số giao điểm của hai đường trịn
(C 1 ): x2+y2+2a x1 +2b y c1 + = , (C1 0 2 ): x2+y2+2a x2 +2b y c2 + 2 = 0
ta cĩ th ể thực hiện như sau:
• Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I 1 I 2 v ới các bán kính R 1 , R 2
+ H ệ (*) vơ nghiệm ⇔ (C 1 ) và (C 2 ) khơng cĩ điểm chung
Bài 1 Xét vị trí tương đối của hai đường trịn (C1) và (C2), tìm toạ độ giao điểm, nếu cĩ, với: a) ( ) :C1 x2+y2+6x−10y+24 0, ( ) := C2 x2+y2−6x−4y−12 0=
Bài 3 Cho hai điểm A(8; 0), B(0; 6)
a) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, AB, OB Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP
c) Chứng minh rằng hai đường trịn trên tiếp xúc nhau Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 4
a)
