BAI 6 hệ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN hợp

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10.Vấn đề 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 1.. Cách nhận dạng hệ giải bằng phương pháp nhân liên hợp Hệ phương trình hai ẩn trong

CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10.

Vấn đề 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP

1 Cách nhận dạng hệ giải bằng phương pháp nhân liên hợp

Hệ phương trình hai ẩn trong đó có ít nhất một phương trình chứa căn

2 Cách giải tổng quát của dạng toán.

Bằng phương pháp nhân liên hợp đưa phương trình chứa căn về phương trình dạng tích Từ đó ghép với phương trình còn lại để giải hệ phương trình

Kiến thức sử dụng:

2

m

3 Bài tập áp dụng

Dạng 6.1 Nhân liên hợp trực tiếp 2 căn có sẵn trong phương trình

Câu 1: Giải hệ phương trình

( ) ( )







Lời giải

ĐKXĐ:

2 3

x y

≥ −



 ≥



+) Xét

2

3

x

y

= −



− + + = ⇔  =



Thay vào phương trình (2) ta được: 19 20=

(Vô lí)

+) Xét

y− + x+ ≠

Khi đó:

x+ − y− = y− − x+

+ + − − + +

( )

5 0 3

x y

− + =





⇔



Từ

( )3 suy ra

5

x y= −

thay vào phương trình

( )2

ta được:

4 2

y

y loai

=



⇔  =

Với

y= ⇒ = −x

Phương trình

( )4 ⇔ x+ +4 y− +1 y− +3 x+ =2 0

3

3 0

1

1 0

y y

y y

+ =



Suy ra phương trình (4) vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm

(x y; ) (= −1;2)

Câu 2: Giải hệ phương trình

( ) ( )

 + − − = + − −





+ + − =



Lời giải

ĐKXĐ:

x 7

y 7

≥



 ≥



+) Xét

7

7

x

y

=



− + − = ⇔  =



Thay vào phương trình (2) ta được: 2 2 4=

(Vô lí)

+) Xét

y− + x− ≠

Khi đó:

+ + + − + −

1 1

x y

=







Với

x=y

thay vào

( )2

ta có

x+ + x− =

2

2 6 7 11

x

≤ ≤



⇔ 



⇔ = ⇒ =

Với

( )

3

+ + + − + −

Cách 1 :

⇔ x+ +1 y+ =1 x− +7 y−7

Từ hệ phương trình ta có

x+ + y+ + x− + y− =

⇒ x+ +1 y+ =1 4

⇔ y+ = −1 4 x+1

thay vào

( )2

ta có

4− x+ +1 x− =7 4

⇔ x 7− = x 1+

( vô lý) Cách 2

Nhận thấy

 + > − ∀ ≥



 + > − ∀ ≥



nên

Do đó pt (3) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm

(x y; ) ( )= 8;8

Tác giả:Lê Thị Như Thủy; Fb: Nhuthuy Le

Câu 3: Giải hệ phương trình

( ) ( ) 2







Lờigiải

Sưu tầm,Tác giả:Bùi Hoàng Cường; Fb: cuongkhtn

Điềukiện:

x y

≥ ≥ −



 + ≥

 ( )1

−

+ +

2

+ +

Do

3

y

(*)⇔ =x 4y

Thay vào phương trình

( )2

ta có:

2

2

− + + + + =

⇔ − − + + − + + − =

⇔ = ⇒ =

Vậy hệ có nghiệm

( ; ) (8; 2).x y =

Câu 4: Giải hệ phương trình

( ) ( )

 − + + − = −





− − = −



Lời giải

Tác giả: Nguyễn Phương; Fb: Nguyễn Phươngg

ĐKXĐ:

3

2

x≥ y≥

x y

⇔ =

Thế vào phương trình (2) ta được:

3

x

−

− +

x

− +

≥ ⇒ − + ≥ > ⇒ <

− +

Phương trình (3) có nghiệm duy nhất x=3.

Vậy hệ phương trình có nghiệm

(x ; y) ( )= 3;3

Câu 5: Giải hệ phương trình

( ) ( )







Lời giải

ĐKXĐ:

0, 1

x≥ y≥

Khi đó phương trình (1)

( )

⇔ + − + − − = ∗

Xét trường hợp

0 1

x y

=



 =



thỏa mãn phương trình (1) và (2) nên hệ phương trình có nghiệm (x ; y) ( )= 0;1

Với x≠0

hoặc

1

y≠

ta có:

Thế vào phương trình (2) ta được

2

y

y

=



− + = ⇔  =

Vậy hệ phương trình có nghiệm

(x y; ) ( )= 0;1

và

(x y; ) ( )= 1; 2

Câu 6: Giải hệ phương trình

( ) ( ) 2







Lờigiải

Sưutầm,Tácgiả:BùiHoàngCường; Fb: cuongkhtn

Điều kiện:

0

2

≥



 ≥



 ≥



 ≥ +



y

x y

(1)⇔ −(1 y) x y− − −(1 y) (= − −x y 1) y− − −(x y 1)

1 1

y

x y

⇔ − − − = − − −

=



⇔  = +

+ Với

1

y= ⇒

hệ phương trình có nghiệm:

( ; ) (3;1).x y =

+ Với

1

x= +y

Thay vào phương trình

( )2

ta có:

2

2

+ − = −

⇔ + = − + −

Xét hàm số :

2 ( ) 2 , 0

f t = t +t t≥ 1 2 [ )

1 2

t t

t t

∀ ∈ +∞



 ≠



Ta có:

2 1 2 1

2 1

1

1

2

t t t t

f t f t

t t

− + +

= + + >

⇒

Hàmsố

( )

f t

đồngbiến

[0;+∞)

2

0

1 0

≥



⇔ = − ⇔  + − =



y

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ có nghiệm

( )3;1 , 1 5; 1 5

 + − + 

Dạng 6.2 Thêm bớt hằng số để nhân liên hợp

Câu 1: Giải hệ phương trình

 − + − = +



 + − =



Lời giải

Tác giả:Lưu Thị Minh Phượng; Fb: Jerry Kem

( ) ( )

x y xy







Điều kiện:

x y≥

Từphương trình (1) ta có

( ) ( )

( )

2

2

2 0

2 3

x y

x y

x y

x y

x y

− + − = +

⇔ − − + − − =

− −

− +

⇔ − −  + =÷÷  + > ÷÷

⇔ − − =

⇔ = +

Thay

( )3 vào

( )2 :

1

3

3

y

y



 =



− +

 + + − + = ⇔ + − − = ⇔ =



− −

 =



+ Với

y= ⇒ =x tm

+Với

( )

y= − + ⇒ =x + tm

+Với

( )

y= − − ⇒ =x − tm

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

Câu 2: Giải hệ phương trình

2

 + − + + + =



 + + =



Lời giải

Tác giả:Lưu Thị Minh Phượng; Fb: Jerry Kem

( ) ( ) 2







Điều kiện:

x+ y− ≥

Từ phương trình (1) ta có

( )

3 10

0

10 3 3

+ − + + + =

⇔ + − − + + + − =

+ − + −

+ − + + + +

+ − + + + +

⇔ + − =

⇔ = −

Thay

( )3 vào ( )2

9

y

y

=





 =



+ Với

y= ⇒ =x tm

+Với

( )

y= ⇒ =x tm

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

( )4;2 , 4 26;

3 9

Câu 3: Giải hệ phương trình

( ) ( )







Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb: Nguyen Huong

ĐKXĐ :

0 1

y x

− ≥



 ≥



 ≥



( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

⇔ − − + − + − =

− + − + +

− + − + +

 − − =



 − + − + +



Nhận thấy phương trình (4) vô nghiệm

Từ (3) suy ra

x= y+

thay vào phương trình (2) ta được phương trình :

2y 2

(vì

0

y≥

)

1

y

⇔ =

Với

y= ⇒ =x

Vậy hệ đã cho có nghiệm

( ) ( )x y; = 3;1

Câu 4: Giải hệ phương trình

( )

2







Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb: Nguyen Huong

ĐKXĐ :

2 7

x y

x y x



 + + ≥

 + + ≥





 ≥ −



( )

2

( 2x y 4 2) (2x y x) ( 3) 0

⇔ + + − + + + =

2

x y

x y x

x y

+

+ + +

x y

+ + +

Do

2

7

x≥ − > − ⇒ + >x

nên

1

3 0

2x y 4 2+ + >x + + +

Khi đó

( )3 ⇔ = −y 2x

thay vào phương trình (2) ta được phương trình :

1 7

11 7

+ + + =

 ≥ −



⇔ 



 ≤



⇔ 



x

x

11

17 7

25

 ≤





x

x x

(Thỏa mãn ĐKXĐ)

Với

Vậy hệ đã cho có nghiệm

( ); 17; 34

25 25

x y = − 

Câu 5: Giải hệ phương trình

2

2







Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb: Nguyen Huong

ĐKXĐ :

0 0 3

x y

x y x

+ ≥



 − ≥



 ≥ −



( )2 ⇔ x y x− + −2 2xy y+ 2− =2 0

⇔ − − + − − =

( x y 1) (x y 1) (x y 1) 0

⇔ − − + − − − + =

1

1

x y

x y

− −

− +

1

x y

− +

Do

x y− ≥ ⇒ − + >x y

nên

1

1 0

1 x y

x y + − + >

− +

Khi đó

( )3 ⇔ = −y x 1

thay vào phương trình (1) ta được pt :

2 2

1

x

x x



⇔ 

− − =





− =



Với

x= ⇒ =y

(thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy hệ đã cho có nghiệm

( ) ( )x y; = 1;0

Câu 6: Giải hệ phương trình:

( )

2

3

2 2

1

y

x y

 − − =





Tác giả:Lê Tiếp ; Fb:Lê Tiếp

Lời giải

Điều kiện:

2

0 1 2 0

x y x

x x y

− ≠







− − ≥



Nếu

x − − =x y

từ (1) suy ra

0

y=

và

0

1

x

x x

x

=



− = ⇔  =

thay vào (2) thấy không thỏa mãn

Nếu

x − − >x y

, khi đó viết lại (1) dưới dạng:

1 1

1

1

1

x y x y

x y

x x y

x y

x y

x x y

− −

− −

+

− −

Từ phương trình (1) ta thấy, nếu

0

y<

thì vế phải âm do đó vô nghiệm

Do đó

0

y≥

1

0 1

x y

+ + >

− −

− + − +

Vì vậy ( )3 ⇔ − − = ⇔ = −x y 1 0 y x 1

Thay vào (2) ta được:

2x−1 −3 2x− − = ⇔1 10 0 2x− −1 2  2x−1 2x− +1 3 2x− +1 4 2x− +1 5=0

2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

2 2

=  ÷

Dạng 6.3 Thêm bớt 1 biểu thức để nhân liên hợp

Câu 1: Giải hệ phương trình

2

 + − + = −





− + + =



Lời giải

Tác giả: Phạm Quang Linh; Fb: Linh Phạm Quang

( )

2







ĐKXĐ:

x y

 ≥  ≥

x 1

y 0

≥



⇒  ≥



( )1 ⇔ 3x y+ − −3 2 x− =1 x− −1 y ( )3

Xét

1 0

0

1 0

0

 + − =





 + − + − =  − =  =

=

− =







x y x

y x

y

Thay vào hệ phương trình ta được:

0 0 3.0

1 0 4 17

+ =



 − + =



(vô lý)

Xét

( )

*

 + − + − ≠





− + ≠



Khi đó

+ − − + − −

+ − + − − +

+ − + − − +

1 0

x y

− − =



 + − + − − +



( )

1

4

x y

= +



 + − + − − +



Xét phương trình

( )4 : Do

1

0

1

0

x

−

 + − + −

≥

 ⇒

 ≥ 

 − +

Phương trình

( )4

vô nghiệm

Với

1

x= +y

thay vào

( )2

ta có :

y+ − y y+ + y+ =

⇔ + + − − + + + = ⇔4y+ =5 17⇔ =y 2

1 3

x y

⇒ = + =

3 2

x y

=



⇒  =



( Thỏa mãn ĐK

( )* )

Vậy hệ phương trình có nghiệm

( ) ( )x y; = 3; 2

Câu 2: Giải hệ phương trình

2

 + − + = + + −





− + + + =



Lời giải

Tác giả: Phạm Quang Linh; Fb: Linh Phạm Quang

( ) ( )

2







ĐKXĐx 1≥

( )1 ⇔ 2x2+ − − + =3x 1 (x 1) 3x2+7x+ −6 2(x+1)

+ − − + + + − +

+ − + + + + + +

+ − − − − + + − − −

+ − + + + + + +

( ) ( )

2 2

2 2

− + − + −

+ − + + + + + +

( )

2

4

 + − =





2

x

=



⇔  = −



Do x 1≥

2

2

1

0

1

0

 + − + +



 + + + +



⇒

Phương trình

( )*

vô nghiệm

Với x=1

thay vào

( )2

ta có

2

2y y+ + =1 0 ( )2

y

1

y

⇔ = −

Vậy hệ phương trình có nghiệm

( ) (x y; = −1; 1)

Câu 3: Giải hệ phương trình

2

1

2 2 (2)

y

x y

 + − =



 + − =



FB: Vuong Pham

Lời giải

Điều kiện :

2

x≥ y≥ y x≠ + x + − ≥x y

Biến đổi phương trình (1) ta được

( )1 ⇔ x2 + −x y x y.3 − + = 1 y

2

− + + − + + + − +

x x y

2

1

x y

− + + − + + + − +

2

0

(*) 1

0

x y

− =





 − + + − + + + − +



Phương trình (*) vô nghiệm do điều kiện, thay x = y vào phương trình (2) ta được

2

2 2

2

x

x x

x

−

+

−

+

Vậy hệ phương trình có nghiệm

(x; y) ( )= 2;2

Câu 4: Giải hệ phương trình

( ) 2

2

 − + + + =



 + =



x y

Lời giải

Điều kiện :

x + ≥y x≥

Biến đổi phương trình (1) ta được

2 2

− + + + =

⇔ − + − − + + − + + =

⇔ − + − − + + − =

Nhận thấy rằng

( x + − −y x y)( x + + +y x y)= −(y2 +2xy y− )

Nên phương trình (*)

⇔ y− x + − − −y x y x + − −y x y x + + +y x y =

2

2x ( 2x 1) 0

⇔ + − − + + + =

⇔ + − − = + ≥

⇔ + = + +

⇔ + − =

y y

Th1:

y= => =x

thỏa mãn

Th2:

2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x,y) = (0,4)

Câu 5: Giải hệ phương trình:

( )

3



 + + + + + = + +



Tác giả:Lê Tiếp ; Fb:Lê Tiếp

Lời giải

Ta có:

5x +2xy+2y + 2x +2xy+5y = 4x +y + +x y + x y+ + +x 4y

Lại có

1

2 1

2









Mặt khác :

2

+ + +

= + ≥ +

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

0

x= ≥y

Thay

x= y

vào (2) ta được:

3x+ +1 2 19x+ =8 2x + + ⇔ + −x 5 x 1 3x+ +1 2 x+ −2 19x+ +8 2x −2x=0

2 2

x x

( )

2

2

x

+

2

2

x

+

+ + +

 =  =

⇔ ⇒

=  =



( thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ có hai nghiệm

( ) ( )0;0 , 1;1