TỔ 20 đợt 4 PHƯƠNG TRÌNH đại số 10

Giải và biện luận phương trình bậc hai a Giải và biện luận phương trình bậc hai Phương trình bậc nhất có dạng Biện luận phương trình bậc nhất Phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương

R Gọi là vế trái, là vế phải của phương trình

R Điều kiện xác định của phương trình: là điều kiện của biến để các biểu thức ở hai vế

phương trình có nghĩa

R Nếu thỏa điều kiện xác định và thì ta gọi là nghiệm của phương

trình Một phương trình có thể vô nghiệm, hoặc có nghiệm

2 Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Phương trình là phương trình hệ quả của phương trình nếu tập

nghiệm của phương trình là con của tập nghiệm phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là

Nếu (luôn đúng) Vậy phương trình có vô số nghiệm.

Nếu (vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm.

Nhận xét:

R Phương trình có nghiệm duy nhất

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

R Phương trình có tập nghiệm là (vô số nghiệm)

R Phương trình vô nghiệm hay tập nghiệm rỗng

R Phương trình có nghiệm phương trình có nghiệm duy nhất hoặc vô sốnghiệm

2 Giải và biện luận phương trình bậc hai

a) Giải và biện luận phương trình bậc hai

Phương trình bậc nhất có dạng

Biện luận phương trình bậc nhất

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Phương trình vô nghiệmPhương trình có nghiệm kép

Trường hợp 2: Yêu cầu bài toán

R Phương trình có nghiệm: Xét hai trường hợpTrường hợp 1: giải rồi thay ngược lại phương trình, nếu thỏa yêu cầu đề bàithì nhận

rường hợp 2: Yêu cầu bài toán

b) Định lý Viet – định lý viet đảo

Giả sử phương trình có hai nghiệm mà tổng của hai nghiệm là và tích hai nghiệm là thì

R Hai nghiệm phân biệt cùng dấu

R Hai nghiệm dương phân biệt

R Hai nghiệm âm phân biệt

3 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối, phương trình chứa căn

B – CÁC DẠNG BÀI TẬP

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương trình 1: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

R Đặt điều kiện

R Quy đồng mẫu số

R So điều kiện để nhận loại nghiệm

Phương trình 2: Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

R Chuyển vế sao cho hai vế cùng dấu

R Bình phương hai vế để khử căn thức

Một số dạng thường gặp:

R Phương trình 1:

R Phương trình 2:

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

2 Liên hợp trực tiếp giữa các căn thức

tiến hành liên hợp lượng để xuất hiện nhân tử Lưu ý: thực hiện tương tự với các phương trình dạng

3 Liên hợp biểu thứcKhi gặp phương trình dạng chứa căn thức có hai nghiệm lẻ nhưng tổng và tích củachúng là các số “đẹp” thì ta nghĩ đến việc nhóm lượng căn thức với lượng để đưa ranhân tử

Ngoài ra ta có thể sử dụng kỹ thuật hệ số bất định như sau

Bài 1 Giải phương trình .

b) Điều kiện: và

Với điều kiện trên, phương trình tương đương với

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Bài 1.Giải phương trình sau:

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là

Giải phương trình sau

Câu 8

Bài 1 Giải phương trình sau: .

Câu 9

Vậy phương trình có hai nghiệm và

Lời giải

Với khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra

Phương trình

Đối chiếu với điều kiện thấy chỉ có và thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là và

Lời giải

Ta nhận thấy nên là một nghiệm của phương trình, từ đó ta có:

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là:

DẠNG 2: Phương pháp bình phương hai vế

Lời giải

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Bình phương hai vế của phương trình đã cho:

Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là:

Lời giải

Với điều kiện đó phương trình tương đương với:

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là và

Lời giải

Phương trình

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Bài 1 Giải phương trình

Bình phương hai vế phương trình đã cho ta được:

Tập nghiệm của phương trình đã cho là

Lời giải

Điều kiện:

Phương trình đã cho tương đương với:

Thử lại ta thấy thoả mãn phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiêm là

Bài 1 Giải phương trình: .

.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 1.Giải phương trình

Bài 1 Giải phương trình .

Ta thấy không thỏa mãn (1)

Với , chia cả 2 vế của (1) cho ta được (2)

Đặt

Phương trình (2) trở thành

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Bài 1 Giải phương trình .

Bài 1 Giải phương trình .

Câu 8

.+) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Bài 1 Giải phương trình .

Bài 1 Giải phương trình .

Đặt , Suy ra Khi đó, phương trình trở thành:

Đối chiếu với điều kiện, ta suy ra tập nghiệm của phương trình

DẠNG 4: Phương pháp nhân lượng liên hợp

Lời giải

Điều kiện:

Ta có

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Bài 1 Giải phương trình .

Nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Chú ý: Ta có thể chứng minh bằng cách sau

Xét hàm số trên , lập bảng biến thiên

Lời giải

Ta có

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Bài 1 Giải phương trình .

Do đó phương trình vô nghiệm trên

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất

Bài 1 Giải phương trình .

Kết hợp điều kiện ta có thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Lời giải

Xét thấy là một nghiệm của , ta có:

Dấu bằng xảy ra

Thử lại ta thấy, phương trình đã cho có nghiệm hoặc

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Nhẩm được là nghiệm nên đoán là nhân tử chung.

Ta có: (1)

Vì

Do đó thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất:

Lời giải

Vậy phương trình có hai nghiệm ;

Định hướng: Dùng máy tính tìm được và là hai nghiệm của phương trình

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Bài 1 Giải phương trình .

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:

(do với hoặc thì biểu thức trong ngoặc vuông có giátrị dương)

(thỏa mãn điều kiện)Vậy phương trình có tập nghiệm là

Lời giải

Ta nhận thấy là nghiệm của phương trình Như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm, tách như sau:

Bài 1 Giải phương trình .

Suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Lời giải

Điều kiện:

Ta có:

Vậy phương trình có nghiệm và

DẠNG 5: Bài toán chứa tham số

Lời giải

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Bài 1.Cho phương trình Tìm để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Giải và biện luận phương trình với là tham số thực.

Câu 4

Lời giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng đồ thị

hàm số trên cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

mãn yêu cầu bài toán

TH1: Nếu ta có suy ra phương trình vô nghiệm

TH2: Nếu phương trình tương đương với

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Cho phương trình: Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.

Khi đó phương trình đã cho chuyển về:

Yêu cầu bài toán tìm để phương trình (1) có nghiệm

Bảng biến thiên của trên

Cho phương trình Tìm để phương trình:

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

b) Phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Lời giải

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Cho phương trình (*) Tìm giá trị của để (*) có nghiệm

Suy ra để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Vậy với thì phương trình có ba nghiệm phân biệt

Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt

Câu 9

Vậy có 3 giá trị thoả bài toán là , và

Ứng với mỗi nghiệm ta có hai nghiệm

Với điều kiện trên, phương trình (*) trở thành:

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt

thuộc nửa khoảng

Ta có:

Phương trình (**) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

STR ON G TEA M TO ÁN VD– VD C

Căn cứ vào đồ thị, giá trị của tham số cần tìm là:

Vì trong nửa khoảng không tồn tại số nguyên nào nên ta không tìm được giá trịnguyên của tham số trong nửa khoảng ấy

Vậy không có giá trị tham số nguyên để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt