Hình Học 12: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( PHẦN 1

( Chưa đầy đủ) Dạng 1 : Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.. Phƣơng pháp giải[r]

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( PHẦN 1)

Thầy : Đoàn Ngọc Lan

TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

I Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 Vectơ n 0 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n

vuông góc với mặt phẳng ( )

 Chú ý:

 Nếu n là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì k n

(k 0) cũng là một VTPT của mặt phẳng ( )

 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó

 Nếu ,u v 

có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì n[ , ]u v  là một VTPT của ( )

II Phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

0

AxBy Cz  D vớiA2B2C2 0

 Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình AxBy Cz  D 0 thì nó có một VTPT là

( ; ; )

n A B C



 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) và nhận vectơ n A B C( ; ; )

khác 0

là VTPT là: A x( x0)B y( y0)C z( z0)0

 Các trường hợp riêng

Xét phương trình mặt phẳng ( ) : AxBy Cz  D 0 với 2 2 2

0

A B C 

 Nếu D0thì mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O

 Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox

 Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oy

 Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oz

 Nếu A B 0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với Oxy 

 Nếu A C 0,B0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với Oxz 

 Nếu B C 0,A0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với Oyz 

Chú ý:

 Nếu trong phương trình ( ) không chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương ứng

 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn  :x y z 1

a b c

    Ở đây ( ) cắt các trục tọa độ tại các điểm a; 0; 0, 0; ; 0b , 0; 0;c với  abc0

III- CÁC DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG ( Chưa đầy đủ)

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó

Phương pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A2; 3; 2 và có một vectơ pháp tuyến n2; 5;1  có phương trình là

A 2x5y z 170 B 2x5y z 170

C 2x5y z 120 D 2x3y2z180

Lời giải Chọn A

Phương trình mặt phẳng là 2x 2 5 y 3 1 z20 2x5y z 170

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 1 điểm M0x y z0; 0; 0và song song với 1 mặt phẳng   :AxBy Cz  D 0cho trước

Phương pháp giải

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

1 VTPT của   là n A B C; ; 

2   //  nên VTPT của mặt phẳng   là n  n A B C; ; 

3 Phương trình mặt phẳng   :A x x0B y y0C z z00

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M3; 1; 2   và mặt phẳng

  : 3x y 2z 4 0 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với   ?

A 3x y 2z140 B 3x y 2z 6 0

C 3x y 2z 6 0 D 3x y 2z 6 0

Lời giải Chọn C

Do mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng ( ) nên VTPT của nó n n (3; 1; 2) Vậy mặt phẳng qua M song song với   có phương trình là:

3 x 3 y 1 2 z2 0 hay 3x y 2z 6 0

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 3x y 2z 6 0

Cách 2:

1 Mặt phẳng   //  nên phương trình P có dạng: AxBy Cz D0(*), với D D

2 Vì  P qua 1 điểm M0x y z0; 0; 0nên thay tọa độ M0x y z0; 0; 0 vào (*) tìm được D

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho điểm A3; 2;1 và mặt phẳng  P :x3y2z 2 0 Phương trình mặt phẳng  Q đi qua A và song song mặt phẳng  P là:

A  Q :x3y2z 4 0 B  Q :x3y2z 1 0

C  Q : 3x y 2z 9 0 D  Q :x3y2z 1 0

Lời giải Chọn D

Vì mặt phẳng  Q song song  P :x3y2z 2 0 nên phương trình  Q có dạng

 Q :x3y2z m 0m 2

 Q đi qua A3; 2;1 nên thay tọa độ vào ta có m1

Vậy phương trình  Q :x3y2z 1 0

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng

Phương pháp giải

1 Tìm tọa độ các vectơ:  AB AC,

2 Vectơ pháp tuyến của  là : n  AB AC, 

  

3 Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C)

4 Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT n

Ví dụ : Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho ba điểm A1; 2;1, B2; 1;0 , C1;1;3 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

A 4x   y z 7 0 B 7x2y z 120

C 7x2y z 100 D x   y z 4 0

Lời giải Chọn B

Ta có AB1; 3; 1  , AC0; 1; 2  suy ra  AB AC,         7; 2; 1 n 7; 2;1

Mặt phẳng ABC đi qua điểm  A1; 2;1 có véc tơ pháp tuyến n7; 2;1 có phương trình là

7x2y z 120

Dạng 4: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A2;0;0, B0; 3;0 , C0;0;5 Viết phương trình mặt phẳng ABC 

2 3 5

x y z

  

 B 2 3 5 1

x y z

   C 2x3y5z1 D 2x3y5z0

Lời giải Chọn B

Ta nhận xét thấy A Ox B ; Oy; COz

Áp dụng PTMP theo đoạn chắn, ta có phương trình mp ABC là:   1

2 3 5

x  y z

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  

Phương pháp giải

1 Tìm VTPT của   là n

2 Tìm tọa độ vectơ AB.

3 VTPT của mặt phẳng   là: n  n,AB

  

4 Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ : Trong không gian Oxyz , mặt phẳng    đi qua hai điểm A2; 1; 4 , B3; 2; 1  và vuông góc với mặt phẳng   :x y 2z 3 0 có phương trình là

A 11x7y2z21 0 B 11x7y2z 7 0

C 11x7y2z21 0 D 11x7y2z 7 0

Lời giải Chọn A

Ta có AB1;3; 5  và một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng   là n 1;1; 2

Gọi n

là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng   ta có n AB n, 11; 7; 2   Phương trình mặt phẳng   đi qua A2; 1; 4  và có véc tơ pháp tuyến n11; 7; 2   là

11x7y2z21 0

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng

   P , Q cho trước

Phương pháp giải

1 Tìm VTPT của  P và  Q là nP

và nQ

2 VTPT của mặt phẳng   là: n  n n P; Q

  

3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;1;1 và hai mặt phẳng

 P : 2x y 3z 1 0,  Q :y0 Viết phương trình mặt phẳng  R chứa A, vuông góc với

cả hai mặt phẳng  P và  Q

A 3x y 2z 4 0 B 3x y 2z 2 0

C 3x2z0 D 3x2z 1 0

Lời giải Chọn D

 P : 2x y 3z 1 0 có véctơ pháp tuyến n P 2; 1;3 

 Q :y0 có véctơ pháp tuyến n Q 0;1;0

Do mặt phẳng  R vuông góc với cả hai mặt phẳng  P và  Q nên có véctơ pháp tuyến

 R  P ,  Q

n  n n  n R   3;0; 2

Vậy phương trình mặt phẳng  R là:  3x 2z 1 03x2z 1 0

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

1 Bài 15 trang 89 sách giáo khoa hình học 12 Nâng cao

2 Bài 1,2 3,5,6,7trang 80 sách giáo khoa hình học 12 Chuẩn