Bài giảng hình học 12 Phương trình đường thẳng trong không gian của Thầy Lê Hồng Đức và nhóm cự môn

Đờng thẳng d gồm các điểm Mx; y; z thỏa mãn hệ phơng trình:Chú ý: Nếu thí dụ trên không có câu b thì để "Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng d" ngoài cách giải nh trong

Đ 3 Phơng trình đờng thẳng

A bài giảng

Định lý 1: Trong không gian Oxyz, đờng thẳng (d) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có vtcp

a + 2 3

a > 0 đợc gọi là phơng trình tham số

của đờng thẳng

Thí dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phơng trình đờng thẳng (d), biết:

a (d) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vtcp a(2;1; 0)

b (d) đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(3; 1; 5).)

 Giải

a Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1 (Sử dụng công thức): Đờng thẳng (d) đợc cho bởi:

Chú ý: Lời giải trong cách 2 chính là ý tởng để chứng minh định lí trên.

b Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1 (Sử dụng công thức): Đờng thẳng (d) đợc cho bởi:

Đó chính là phơng trình tham số của đờng thẳng (d) cần tìm.

a (d) đi qua điểm A(3; 2; 1) và có vtcp ) và có vtcp a(3; 1) và có vtcp ; 2).

b (d) đi qua hai điểm A(3; 2; 6) và B(5; 4; ) và B(5; 4; 2).

Cho đờng thẳng (d) có phơng trình tham số cho bởi (1) suy ra:

0 1

x xa



2

y ya



3

z za



2

y ya



3

z za

b Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và xác định tọa độ của một vtcp của (d)

c Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng (d)

b Đờng thẳng (d) gồm các điểm M(x; y; z) thỏa mãn hệ phơng trình:

Chú ý: Nếu thí dụ trên không có câu b) thì để "Viết phơng trình tham số và chính

tắc của đờng thẳng (d)" ngoài cách giải nh trong c) chúng ta còn có thể thực hiện

b Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) H yãy

tìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và xác định tọa độ của một vtcp của (d).

c Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng

(d).

Thí dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 2), C(4; 1; 1)

và D(4; 1; 4)

a Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện

b Viết phơng trình tham số đờng cao tứ diện ABCD hạ từ D

c Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC)

Vậy, bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện

b Gọi (d) là đờng cao của tứ diện hạ từ D, ta có:

Mặt phẳng (ABC) đợc cho bởi:

(ABC): Qua A(1;2;3)

c Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC).

d Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Thí dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 5).) và hai đờng thẳng (d1) và(d2) có phơng trình:

a Viết phơng trình tham số của đờng thẳng (d3) đi qua M và song song với (d2)

b Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua M, vuông góc với cả(d1) và (d2)

Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có:

 (d1) đi qua điểm M1(x1; y1; z1) và có vtcp u1(a1; b1; c1),

 (d2) đi qua điểm M2(x2; y2; z2) và có vtcp u2(a2; b2; c2)

để tìm giao điểm và khi đó:

a Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì (d1) và (d2) cắt nhau

b Nếu hệ có vô số nghiệm thì (d1) và (d2) trùng nhau

c Nếu hệ vô nghiệm thì (d1) và (d2) song song hoặc chéo nhau, song songnếu hai vtcp của chúng cùng phơng, chéo nhau nếu hai vectơ đó khôngcùng phơng

Thí dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình:

a Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d1) và (d2)

b Viết phơng trình mặt phẳng đi qua gốc O và chứa đờng thẳng (d1)

Vậy, hai đờng thẳng (d1) và (d2) trùng nhau

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy thêm điểm N1(0; 1; 1)  (d1) Khi đó, mặt phẳng (P) đi qua gốc O vàchứa đờng thẳng (d1) tơng ứng với việc đi qua ba điểm O, M1, N1

a Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d 1) và có vtcp ), (d 2 ).

b Viết phơng trình mặt phẳng đi qua gốc O và chứa đờng

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1) và (d2) song song với nhau

b Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng (d) nằm trong mặt phẳng ((d1),(d2)) và cách đều (d1), (d2)

 Giải

Vậy, hai đờng thẳng (d1) và (d2) song song với nhau.

b Đoạn thẳng M1M2 có trung điểm M 1; 1 1;

2 2

 .Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d) đợc xác định bởi:

(d):

1

1 1qua M 1; ;

2 2vtcp u (1; 1;4)

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1) và (d2) cắt nhau

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng (d1) và (d2)

 Giải

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Ta lần lợt có:

a Ta có:

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1) và có vtcp ) và (d 2 ) cắt nhau.

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng (d 1) và có vtcp )

và (d 2 ).

Thí dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình:

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1) và (d2) chéo nhau

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) song song và cách đều cách đều (d1), (d2)

2 2vtpt n(1;1; 1)

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1) và có vtcp ) và (d 2 ) chéo nhau.

b Viết phơng trình mặt phẳng (R) song song và cách đều

cách đều (d 1) và có vtcp ), (d 2 ).

c Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d 1) và có vtcp ) và

song song với đờng thẳng (d 2 ).

d Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa đờng thẳng (d 2 ) và

song song với đờng thẳng (d 1) và có vtcp ).

Bài toán 1: Cho điểm M và đờng thẳng (d) có vtcp a và đi qua điểm M0 Tínhkhoảng cách h từ điểm M đến đờng thẳng (d)

 Giải

M

(d)

Gọi A là điểm sao cho M A 0 a

.Khi đó, diện tích hình bình hành có hai cạnh là M0M và

Chú ý: Các em học sinh có thể ghi nhớ công thức trên để giải các bài toán liên

quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng

Thí dụ 9: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 3) và đờng thẳng (d) có

a Tính khoảng cách từ M tới đờng thẳng (d)

b Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên (d)

Nhận xét: Thông qua lời giải của thí dụ trên các em học sinh cần ghi nhận ba ph ơng

pháp để tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đờngthẳng

a Tính khoảng cách từ M tới đờng thẳng (d).

b Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên (d).

Bài toán 2: Tính khoảng cách h giữa hai đờng thẳng chéo nhau (d1), (d2), biết ờng thẳng (d1) có vtcp u 1

và đi qua điểm M1; đờng thẳng (d2) có vtcp u2 và điqua điểm M2

Chú ý: Các em học sinh có thể ghi nhớ công thức trên để giải các bài toán liên

quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng

Thí dụ 10: Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) và (d1) có phơng trình:

a Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng (d1) và (d2)

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d1) và song song với đờngthẳng (d2)

S

c Gọi (d) là đờng vuông góc chung của (d1) và (d2) Gọi H1, H2 theo thứ tự làgiao điểm của (d) với các đờng thẳng (d1), (d2) Xác định tọa độ các điểm H1

d

(

) d ( )

d

(

2 1

b Tính khoảng cách giữa (d 1) và có vtcp ) và (d 2 ).

c Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d 1) và có vtcp ) và (d 2 ).

d Viết phơng trình đờng thẳng song song với Oz, cắt cả

a + 2 2

a + 2 3

a > 0

Khi đó, nó đi qua một điểm M0(x0; y0; z0) và có vtcp a(a1; a2; a3)

2 Phơng trình:

0 1

x xa



2

y ya



3

z za

Chú ý: Đi kèm với họ đờng thẳng (dm) thờng có thêm các câu hỏi phụ:

Câu hỏi 1: Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng (dm) luôn đi qua

Câu hỏi 3: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí của M số đờng thẳng

của họ (dm) đi qua M

Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ đờng thẳng (dm) luôn thuộc một mặt phẳng cố

định, để thực hiện yêu cầu này chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Khử m từ hệ của phơng trình (d), ta đợc:

Khi đó (1) chính là phơng trình của mặt phẳng cố định (P)chứa các đờng thẳng của họ (dm)

Cách 2: Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Các điểm M(x; y; z) thuộc (dm) có tọa độ thỏa mãn phơng trình:

chứa các đờng thẳng của họ (dm)

Cách 3: Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Tìm điểm cố định M0(x0; y0; z0) mà họ đờng thẳng (dm) luôn

đi qua

Tìm vectơ cố định n(A; B; C)  0 vuông góc với họ đờngthẳng (dm)

b Điểm A(3; 3; 1) có thuộc đờng thẳng nào của họ (dm) không.

c Chứng minh rằng họ đờng thẳng (dm) luôn thuộc một mặt phẳng (P) cố

dễ nhận thấy họ (dm) luôn đi qua điểm cố định M0(1; 2; 0), ứng với t = 0 khi thay vàophơng trình tham số của đờng thẳng

b Điểm A(3; 3; 1) thuộc một đờng thẳng của họ khi hệ sau có nghiệm:

Vậy, điểm A(3; 3; 1) không thuộc đờng thẳng nào của họ (dm)

c Ta lựa chọn một trong ba cách lập luận sau:

Nhận xét: Nh vậy, với câu hỏi c) chúng ta đã trình bày theo ba cách:

 ở cách 1, chúng ta thực hiện việc chuyển phơng trình của họ (dm) vềdạng chính tắc rồi dạng tổng quát (giao tuyến của hai mặt phẳng) và từ

đó khử m đề nhận đợc phơng trình mặt phẳng cố định (P) Công việcnày thực chất là khử dần các tham số t và m

 ở cách 2, chúng ta thực hiện liên tiếp hai phép khử cho các tham số t

và mt và đây là cách giải mà các em học sinh hãy ghi nhận để áp dụngcho các bài tập tơng tự

 ở cách 3, để tìm đợc vectơ nchúng ta thực hiện nh sau:

Giả sử n(A; B; C) và khi đó:

b Chứng tỏ rằng họ đờng thẳng (dm) luôn thuộc mặt phẳng (P) cố định

c Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (P) và các mặt phẳng toạ độ

 Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

Nhận xét: Với mặt phẳng (Q) chúng ta còn gặp một dạng toán là "Tìm đờng thẳng cố

định luôn thuộc họ mặt phẳng (Q)" Thí dụ với mặt phẳng (Q): x +

my  3mz  m  1 = 0 ta thực hiện phép biến đổi:

(1) 

0 1 0 2 0 3

x x

t a

y y

t a

z z

t a



2

y ya



3

z za



3

z za



2

y ya



= 0

3

z za

Đó chính là phơng trình tham số của đờng thẳng (d)

3 Với (d) cho dới dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau:

 Phơng trình tham số của (d).

 Phơng trình chính tắc của (d)

Lu ý: Với yêu cầu xác định phơng trình tham số của đờng thẳng (d) chúng ta có

thể thực hiện đơn giản hơn bằng cách đặt x = t (hoặc y = t hoặc z = t) từ

đó suy ra y và z theo t

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho đờng thẳng (d) có phơng trình:

x 2 t(d) : y 4 2t , t

b Tìm toạ độ các giao điểm A, B, C của (d) với các mặt phẳng toạ độ

c Tính tỉ số diện tích của hai tam giác OAB và OAC

 Hớng dẫn: Với câu a), sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

a Viết phơng trình tham số của (d).

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và cắt chiều dơng các trục toạ độtại các điểm A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích bằng 6)

 Hớng dẫn: Với câu a), sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

 Giải

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Bằng việc sử dụng tham số trung gian t , ta đợc:

b Dễ thấy đờng thẳng (d) đi qua hai điểm M(1; 1; 1) và N(0; 0; 2)

Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0, ta đợc phơng trình:

b Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng (d).

c Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và cắt các trục toạ độ tại các điểm

A, B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều

 Hớng dẫn: Với câu a), sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

Để tìm một vtcp u của giao tuyến (d) ta có thể sử dụng các cách sau:

Cách 1: Giao tuyến (d) gồm các điểm M(x; y; z) thỏa mãn hệ phơng trình:



x 6) 2t(d) : y t , t

c Dễ thấy đờng thẳng (d) đi qua hai điểm M(6) ; 0; 0) và N(2; 2; 2)

Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta đợc phơng trình:

Vậy, mặt phẳng (P): x + y + z  6) = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài

Bài toán 3:Viết phơng trình đờng thẳng

Phơng pháp áp dụng

Để viết phơng trình đờng thẳng (d), ta sử dụng các kết quả:

1 Đờng thẳng đi qua một điểm và biết vtcp:

2

y y a



= 0

3

z z a

a Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M và vuông góc với (P)

b Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng thẳng (d) trên mỗi mặtphẳng toạ độ

c Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và cắt các trục toạ độ tại các điểm

A, B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp tam giác đều

 Hớng dẫn: Với câu a), sử dụng điều kiện mặt phẳng (P) qua M và có vtcp là vtpt của (P)

x 0(d ) : y 5 2t , t

c Dễ thấy đờng thẳng (d) đi qua hai điểm M(3; 5).; 7) và N(1; 1; 1)

Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta đợc phơng trình:

a c11c

C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp tam giác đều" Và khi đó để có đợc lời

giải đọc lập với câu a) chúng ta thực hiện nh sau:

Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta đợc phơng trình mặt phẳng (Q) điqua ba điểm A, B, C có dạng:

Vậy, mặt phẳng (Q): x  y  z  1 = 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(4; 2; 2) và đờng thẳng () cóphơng trình:

x 3 y 2 z 1( ):

a Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M và song song với ()

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua M và cách () một khoảng bằng 9

.5

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

a Với câu a) đờng thẳng (d) sẽ qua M và có vtcp là vtcp của ().

b Với câu b) với phơng trình tổng quát của (P) ta sử dụng các giả thiết theo thứ tự:

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy điểm N(0; 4; 2) thuộc (d) và A(3; 2; 1) thuộc () Mặt phẳng (P) cần

dựng sẽ song song với () nên chứa (d) và do đó nó đi qua điểm N

Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (P1) và (P2) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Cách 2: (Độc lập với câu a): Giả sử mặt phẳng (P) có phơng trình:

 Với C = 0 thì B = 2A và D = 8A nên:

Chú ý: Chúng ta biết rằng "Đờng thẳng () có thể đợc coi là giao tuyến của hai mặt

phẳng (P1) và (P2)", khi đó đờng thẳng (d) sẽ song song với (P1), (P2) và nh vậy câu a)

của ví dụ trên sẽ đợc mở rộng dới dạng "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm

M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P1) và (P2) cho trớc" Với yêu cầu này

chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:

 (Q1) qua A và song song với (P1).

 (Q2) qua A và song song với (P2)

Bớc 2: Khi đó, đờng thẳng (d) cần dựng chứa các điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:

1

2

(Q )(Q )

c Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa hai đờng thẳng (d1), (d2) đi qua điểm M

và theo thứ tự vuông góc với hai mặt phẳng (P1), (P2)

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Gọi u là một vtcp của đờng thẳng (d), ta có:

1 2

Chú ý: Các em học sinh cần lu ý tới việc ở câu b) có thể thay đổi điều kiện song song

với mặt phẳng (P1) (hoặc (P2)) bằng yêu cầu vuông góc với đờng thẳng (d1) (hoặc (d2))

Để "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đờng thẳng

(d1) và (d2) cho trớc" chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:

 (P1) qua A và vuông góc với (d1)

 (P2) qua A và vuông góc với (d2)

Bớc 2: Khi đó, đờng thẳng (d) cần dựng chứa các điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:

1

2

(P )(P )

a Tìm góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng (d1), (d2).

b Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A và vuông góc với cả (d1), (d2)

Chú ý: Để "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A cắt hai đờng thẳng (d1)

và (d2) chéo nhau cho trớc", ta có thể lựa chọn một trong các cách:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử đờng thẳng (d) cắt (d1) và (d2) theo thứ tự tại B, C Khi đó toạ độ

B, C theo thứ tự thoả mãn các phơng trình của (d1) và (d2)

Bớc 2: Từ điều kiện A, B, C thẳng hàng ta xác định đợc toạ độ B, C.

Bớc 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A, B.

Bớc 3: Đờng thẳng (d) chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2) Và

từ đây, chúng ta đã biết các cách xác định dạng phơng trình cho đờngthẳng (d)

Bớc 2: Xác định giao điểm C của (d2) và (P)

Bớc 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) thoả mãn điều kiện:

(d): Qua Avtcp AC

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P) và hai đờng thẳng (d1) và (d2) có phơng trình:

(P): 3x + 3y  4y = 0,

1

x 1 y 3 z 2(d ) :

a Tính côsin góc giữa mặt phẳng (P) với các đờng thẳng (d1), (d2)

b Viết phơng trình đờng thẳngvuông góc với mặt phẳng (P)và cắt cả hai ờng thẳng(d1), (d2)

1 P

1 P

u nsin

b Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Chuyển phơng trình các đờng thẳng (d1), (d2) về dạng tham số:

 Điểm E  (d1) suy ra E(1 + t; 3 + 2t; t  2)

 Điểm F  (d2) suy ra F(2 + 3u; 1  u; 1  2u)

Qua M (1;3; 2)vtpt n [ n , u ] (11; 7;3)

Qua M (2;1;1)vtpt n [ n , u ] ( 10; 6) ; 12)

Đó chính là phơng trình tham số của đờng thẳng () cần dựng.

Cách 3: Giả sử () là đờng thẳng cần dựng và () cắt (d2) tại F

 Gọi (Q1) là mặt phẳng vuông góc với (P) và chứa (d1), ta có:

(Q1): 1

P 1

Qua M (1;3; 2)Cặp vtcp n và u

Cách 4: Giả sử () là đờng thẳng cần dựng và () cắt (d1) tại E

 Gọi (Q2) là mặt phẳng vuông góc với (P) và chứa (d2), ta có:

(Q2): 2

P 2

Qua M (2;1;1)Cặp vtcp n và u

Chú ý: Kết hợp điều kiện vuông góc và cắt đờng thẳng chúng ta nhận đợc dạng toán

"Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc với đờng thẳng (d1) và cắt

đờng thẳng (d2) chéo nhau cho trớc", ví dụ sẽ sau minh hoạ phơng pháp thực hiện.

Ví dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 2; 1) và hai đờng thẳng (d1) và(d2) có phơng trình:

x y 1 z 2(d ) :

a Chứng minh rằng hai đờng thẳng (d1), (d2) chéo nhau

b Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M vuông góc với (d1) và cắt (d2)

c Tìm các điểm A, B thuộc (d) sao cho OAB cân tại O và có diện tích bằng

b Gọi (d) là đờng thẳng cần dựng, ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng (d2) về dạng tham số:

Lu ý: Chúng ta có thể tối u lời giải trong cách 2 nh sau:

Giả sử (d) với vtcp u là đờng thẳng cần dựng, khi đó (d) là giao tuyếncủa hai mặt phẳng (R1) và (R2), trong đó:

(R1):

1 1

Qua A(d ) (R )

Qua M(2;2;1)(d) :

Chú ý: Kết hợp điều kiện vuông góc và cắt với một đờng thẳng chúng ta nhận đợc

dạng toán "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc và cắt đờng thẳng () cho trớc", ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Nhận xét rằng đờng thẳng (d) cần dựng sẽ đi qua hình chiếu vuông góc

H của A trên ()

Bớc 2: Xác định toạ độ H bằng hai cách đã biết.

Bớc 3: Suy ra đờng thẳng (AH) là đờng thẳng cần dựng.

Ngoài ra, ta cũng có thể thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Viết phơng trình các mặt phẳng:

 (P) qua A và chứa ()

 (Q) qua A và vuông góc với ()

Bớc 3: Khi đó, đờng thẳng (d) cần dựng chứa các điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:

(P)(Q)

Để viết phơng trình tham số của(d) ta có thể sử dụng các cách sau:

Cách 1: Giao tuyến (d) gồm các điểm A(x; y; z) thỏa mãn hệ phơng trình:

0 3 z y x

.(I)

Trong hệ (I) cho y = t (t  ), ta đợc:

Đó chính là phơng trình tham số của đờng thẳng (d)

Cách 2: Điểm A(2; 0; 1) thuộc (P) và (Q) nên thuộc (d).

Gọi u là một vtcp của đờng thẳng (d), ta có:

b Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đờng thẳng (d), suy ra:

Vì H là trung điểm của MM1 nên ta có M1(3; 2; 1)

c Phơng trình đờng thẳng đi qua M vuông góc với (d) và cắt (d) là:

Chú ý: Để tăng độ khó cho dạng toán "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm

A vuông góc và cắt đờng thẳng () cho trớc", ngời ta thờng thay điều kiện vuông góc bằng tạo với (  ) một góc  , khi đó ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tìm vtcp u 

của () và một điểm B thuộc ()

Giả sử đờng thẳng (d) cần dựng có vtcp u (a; b; c) d

u ucos

Từ (1) và (2) chúng ta sẽ nhận đợc toạ độ của vectơ ud

Bớc 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A có vtcp ud

Ngoài ra, trong một vài trờng hợp đặc biệt chúng ta còn có thể sử dụng phơngpháp tìm điểm

Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4; 1;1) và đờng thẳng () có

ph-ơng trình:

x 0( ) : y 1 t , t

a Chứng tỏ rằng điểm A không thuộc đờng thẳng ()

b Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A cắt () và tạo với () một góc bằng45).0

b Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Đờng thẳng () đi qua điểm B(0; 1; 1) và có vtcp u (0; 1; 1).

Giả sử đờng thẳng (d) cần dựng có vtcp u (a; b; c)d , ta lần lợt có:

 Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa () thì (P) có vtpt nP đợc cho bởi:

P

n AB, u ( 2; 4; 4)

  

chọn n (1;P  2; 2)

u ucos 45).

Vậy, tồn tại hai đờng thẳng (d1) và (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Đờng thẳng () đi qua điểm B(0; 1; 1) và có vtcp u (0; 1; 1).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (), ta lần lợt có:

 Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (), ta có: