Từ đó ta có A≥ B, hoặc ta chứng minh D≥ B với D là biểu thức nhỏ hơn hay bằng A từ đó ta có A≥ B Giải quyết các bài toán ở dạng dãy, ngời ta thờng phát hiện đặc điểm của số hạng tổng quá
Trang 1Chuyên đề bất đẳng thức
Dạng I : Chứng bất đẳng thức bằng định nghĩa
Chứng minh rằng
1)
4
2
a + b2 + c2≥ ab - ac + 2bc
2) 4a4 + 5a2≥ 8a3 + 2a - 1
3) a2 + b2 + c2 + d2 +e2≥ a( b + c + d + e )
4) a2( 1 + b2) +b2( 1 + c2) + c2( 1 + a2) ≥ 6abc
5) a4 + 3 ≥ 4a
6) a4 + b4≥ a3b + ab3
7) a4 + b4 + c4 + d4≥ 4abcd
8) x4 + y4
2 6 2 6
x
y y
≤ , ( Với x,y ≠ 0 )
9) Cho a > 0 , b > 0 CMR 2 4
ab b a
ab
≤ +
10) Cho a, b, c là ba số thoả mãn a > 0, b > 0 và c > ab
b c
b c a c
a c
+
+
≥ +
+
11) Cho ab ≥ 1 , CMR a b ≥ +ab
+
+
2 1
1 1
1
2 2
12) Chứng minh rằng với ∀ x ta có
2
3
2 2
+
+
x
x
> 2 13) CM với a > 0, b > 0 và ∀ x, y ∈ R thì
( ax + by)( bx + ay) ≥ (a+b)2xy
14) CM với ab > 0 thì
(a5 + b5)(a + b) ≥ (a4 + b4)(a2 + b2) 15) Cho z ≥ y ≥ x > 0 Chứng minh
− +
≤ + +
+
z x z x z x y z x
16) Cho a ≥ 2, b ≥ 2 Chứng minh ab ≥ a + b
17) CMR với a > 0, b > 0 ta có
b a b
a a
b
+
≥
2
18) Cho a > b > 0 CMR : ( ) ( )
b
b a ab b a a
b a
8 2
8
2
−
19) CMR với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có
Trang 2d b c a a c b
≤ +
−
1 1
1
1 1 1 1
Dạng II : Phơng pháp phản chứng
1) CMR: Nếu a + b = 2cd thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức là đúng
c2≥ a ; d2≥ b 2) CMR: trong ba bất đẳng thức sau đây có ít nhất một bất đẳng thức đúng
2(a2 + b2) ≥ (b + c)2 2(b2 + c2) ≥ (c + a)2 2(c2 + a2) ≥ (a + b)2
3) CMR nếu a1a2 ≥ 2(b1+b2) thì ít nhất một trong hai phơng trình
x2 + a1x + b1= 0 (1)
x2 + a2x + b2= 0 (2)có nghiệm 4) Cho 0 < a, b, c < 1 Chứng minh có ít nhất một trong các bất đăng thức sau
đây là sai :
4
1 1
; 4
1 1
; 4
1
5) Cho ba số a, b, c thỏa mãn :
a + b + c > 0 (1)
ab + bc + ca > 0 (2) abc > 0 (3)
Chứng minh : a > 0, b > 0, c > 0
6) Chứng minh trong hai phơng trình sau đây ít nhất có một phơng trình có nghiệm :
x2 - 2ax + 1 - 2b = 0
x2 - 2bx + 1 - 2a = 0 7) Cho ba bất đẳng thức
a(2 - b) > 1 ; b(2 - c) > 1 ; c(2 - a) > 1 Với a, b, c ∈(0 ; 2)
Chứng minh có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên là sai
8) Cho a, b, c ∈(0 ; 1) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng sau
là sai
c −
9) Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác mà độ dài các đờng cao là
1 ; 5 ; 1 + 5
10) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng
a3b5(c - a)7(c - b)9≤ 0 ; bc5(a - b)9(a - c)13≤ 0 ; c9a7(b - c)5(b - a)3≤ 0
Trang 3Dạng III : Vận dụng các bất đẳng thức cơ bản toán cơ bản
Nếu a < b thì
c b
c a b
a
+
+
Nếu a ≥ b thì b a ≥ b a++c c
Nếu x, y, z > 0 thì
4
1
y
x
xy≤ +
+) 1x+1y ≥x+4y
+) 1x +1y+1z ≥x+9y+z
Các bài toán áp dụng
1) Cho a, b, c > 0 CMR
2
b a d
d a d c
c d c b
b c b a
a
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
2) Cho x, y, z > 0 CMR
2
x z
z z
y
y y
x
x
+
+ +
+ +
3) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác CMR
2
b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+ +
4) CMR :
1 9
1 9 4 9
4 9
121
123 123
125
+
+ +
+
5) Cho a, b > 0 CMR
( )2 2
2
1 8
1 4 4
1
b a ab b
6) Cho a, b, c > 0 CMR
c b a c b a c b a c b
4 2
4 2
4 1
1 1
+ +
+ + +
+ + +
≥ + +
7) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác CMR
c b a c b a c b a c b a
1 1 1 1
1
+ +
−
+ +
−
+
− +
8) Cho a, b, c, d > 0 CMR
4
≥ +
+ + +
+ + +
+ + +
+
a d
b d d c
a c c b
d b b a
c a
9) Cho a, b, c > 0 CMR
c b a a c c b b
a+ + + + + ≥ + +
3 2
1 2
1 2
1
10) Cho a, b, c > 0 CMR
(a b c)
c b a c b a c b
a+ + + + + + + + ≥4 + +
9 2
1 2
1 2
1
Trang 411) Cho x thoả mãn 32 x 132 CMR
7
3 2 13
1 10
1 2 3
1
≥
−
+
−
−
x
12) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 CMR
9 2
1 2
1 2
1
2 2
+
+ +
+
a
13) Cho a, b, c > 0 CMR
+ +
+ +
≥ + +
a c c b b a c
b
1 2
1 2
1 3 1 1 1
14) Cho a, b, c > 0 CMR
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
15) Cho a, b, c > 0 CMR
3 2
2
1 2
2
1 2
2
1
c b a a c a b c a c b b c b
16) Cho a, b, c, d > 0 CMR
( )( ) (a d)(b c) a b c d
d b d
c b a
c a
+ + +
≥ + +
+ + + +
17) Cho a, b, c, d > 0 CMR
(a c)(b d) (a b c d)
b a d
c b
+ +
+
+ +
12 2
3
18) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác CMR
c b a
a c c b a
c b c b a
b a
+ +
≥ +
−
+ + + +
−
+ +
− +
+
4
2 2
19) Cho hai số dơng a, b thỏa mãn a + b = 1 CMR
6 1 1
2
+
+
b a ab
20) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b ≤ 1 Chứng tỏ rằng
14 3
2
2
+
+
b a ab
Dạng IV Chứng minh bất đẳng thức dẫy
A) kiến thức cần nhớ
Để chứng minh A≥ B ta phải chứng minh A ≥ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B
Từ đó ta có A≥ B, hoặc ta chứng minh D≥ B với D là biểu thức nhỏ hơn hay bằng A từ đó ta có A≥ B
Giải quyết các bài toán ở dạng dãy, ngời ta thờng phát hiện đặc điểm của số hạng tổng quát, từ đó rút gọn các phép tính trung gian
Ngời ta còn hay sử dụng phơng pháp quy nạp toán học trong trờng hợp thuận lợi
Trang 5B) Bài tập
2
1
2
1 1
+
+
1
1 1
2 >
+ + +
+
n n
n >
+ +
2
1 1
1
Với n ∈N, n > 1
3
1 2
1 1 1 1
2 + − < + + + + < n−
n
1
2 3
1 1 2
+ + + +
n
n Với n ∈N, n ≥ 1
3
1 2
1
1 + 2 + 2 + + 2 <
n Với n ∈N, n > 1
1 1
1
13
1 5
1
2
+ + + + +
n
n Với n ∈N, n ≥ 1
1 1 2
1
25
1 9
1
2 <
+ + + +
n Với n ∈N, n ≥ 1 9) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác CMR
(a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) ≤ abc 10) CMR:
10
1 100
99 6
5 4
3 2
1 15
1 < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ <
11) CMR với mọi số tự nhiên n ≥ 8, ta có
3
2 1
3
1 2
1 2
1
2 2
2 + + + <
<
n
12) CMR với mọi số tự nhiên n khác 0, ta luôn có:
3 1 1
2 <
+
≤
n n
13) CMR với ∀n ∈N, n ≥ 1, ta có
a)
4
3 2
1
2
1 1
1 2
1
<
+ + +
+ +
<
n n
n
1 3
1
2
1 1
1
+ + + +
+ +
<
n n
n
c)
4
5 1
3
1 2
1
1 < 3 + 3 + + 3 <
n
Dạng V:Bất đẳng thức cosi
A) kiến thức cần thiết
Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó
*) Cho a1 , a2 , , an ≥ 0 ta luôn có
Trang 6n
n
a
a
a
2 1 2
1+ + + ≥ DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi a1 = a2 = = an