PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Dạng toán về giải và biểu diễn nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trên trục số I.1.. Dạng toán về giải bất phương trình bậc nhất một ẩn a Phương pháp giải Để giải các bất phương trì

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ BẤT PHƯƠNG TRINH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ

I Dạng toán về giải và biểu diễn nghiệm bất phương trình bậc nhất một ẩn trên trục số

I.1 Dạng toán về giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

(a) Phương pháp giải

Để giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta sử dụng các phép biến đổitương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, quy tắc nhân)

Các bài bập sau là minh họa cho việc giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

(b) Ví dụ minh họa

Bài 1 Giải các bất phương trình sau

(a)3x 2 7 ; (b) 3x 0;

(c) 5 2x1; (d) 2x 1 3

Hướng dẫn Đây là những bài toán đơn giản ta chỉ cần áp dụng các quy tắc biến

đổi tương đương (quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân) để suy ra nghiệm của bất phương trình.

Lời giải (a) 3x 2 7  3x7 2  3x 9 x  3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x x/ 3 

(b) 3x 0  x0

Vậy nghiệm của bất phương trình là S x x/ 0

(c) 5 2x1  2x 1 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x x/  2

Ngoài việc học sinh giải được bất phương trình thì việc biểu diễn nghiệmcủa bất phương trình trên trục số là một kĩ năng rất quan trọng nên trong phần tiếptheo chúng tôi đưa thêm một số ví dụ về giải và biểu diễn nghiệm của bất phươngtrình trên trục số

I.2 Dạng toán về giải và biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn trên trục số

Bài 2 Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số

(a)x  4 8; (b) 1 2

3x  ; (c) 3 1

24

x 

 ; (d) 6 4

15

x





Hướng dẫn Ở câu (c) và (d) học sinh sẽ lúng túng hoặc không giải được nên

giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi (quy đồng cùng mẫu dương rồi khử mẫu) về dạng ax b  0 hoặc ax b  0,ax b 0,ax b 0, rồi áp dụng các quy tắc đã học để tìm nghiệm Khi biểu diễn nghiện trên trục số cần lưu ý các

trường hợp x lớn hơn “>” và x lớn hơn hoặc bằng “ ”, hoặc x nhỏ hơn “<” và

x nhỏ hơn hoặc bằng “”.

Lời giải (a) x  4 8  x  6 x 8 4  x  4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x x/  4

0

)

-4

(b) 1 2

3x   x6

Vậy nghiệm của bất phương trình là S x x/ 6

Biểu diễn nghiệm trên trục số

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x x/ 3

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(d) 6 4

15

Biểu diễn nghiệm trên trục số

đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, qui đồng mẫu…

Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này

(b) Ví dụ minh họa

Bài 4 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số

(a) 3x2x5; (b) 4x 2 5 x 6

Hướng dẫn Ở bài toán này ta chỉ cần áp dụng quy tắc chuyển vế để đưa bất

phương trình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn, sau đó suy ra nghiệmcủa bất phương trình

Lời giải (a) 3x 2x5 3x 2x 5

.

 x 5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S x x/ 5

Biểu diễn nghiệm trên trục số

Biểu diễn nghiệm trên trục số

Bài 5 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số

Hướng dẫn Ở bài toán này học sinh không thể nhận dạng được ngay đây là bất

phương trình bậc nhất một ẩn nên giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi (quy

đồng 2 vế của bất phương trình về cùng mẫu dương rồi khử mẫu) các bất phươngtrình trên về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lời giải (a) Quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình 2( 2) 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x x/  1

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(b) Tương tự như câu (a) ta quy đồng mẫu 2 vế của bất phương trình rồi khử mẫu

(c) Ta cần quy đồng mẫu vế trái của bất phương trình, sau đó quy đồng mẫu haivế

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S x x/ 1

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(d) Ở bài này để tránh mắc sai lầm khi giải giáo viên nên cho học sinh quy đồngmẫu chung từng vế của bất phương trình sau quy đồng mẫu chung 2 vế

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x x/  115

Biểu diễn nghiệm trên trục số

Bài 6 Giải các bất phương trình sau và biểu diễn nghiệm của chúng trên trục số

(a) (x 1)2 x x( 3), (b)(x 2)(x2)x x(  4),

(c)(x2)2 2 (x x2) 4, (d) (x2)(x4) ( x 2)(x8) 26.

Hướng dẫn Dùng hằng đẳng thức để khai triển.

Nhân đa thức với đa thức, đặt nhân tử chung

Áp dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc cộng, nhân

Lời giải (a) Dùng hằng đẳng thức khai triển ở vế trái và áp dụng quy tắc nhân đa

thức với đa thức ở vế phải của bất phương trình ta có

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(b) Tương tự câu (a) ta có (x 2)(x2)x x(  4) x2 4 x2 4x

 4x  4  x  1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x x/ 1

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(c) Khai triển hằng đẳng thức và nhân đa thức với đa thức ta có

(x2)2  2 (x x2) 4  x24x4 2 x24x4 x2  0

Ta nhận thấy x là một số không âm nên 2 x2 là một số không dương, do đó bấtphương trình luôn có nghiệm với mọi x  \ {0}.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S { /x x \ {0}}

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(d) Tương tự câu trên ta có

(x2)(x4) ( x 2)(x8) 26  x 6x8x  6x10

 0.x  2

Không có giá trị nào của x làm cho 0.x  nên bất phương trình trên vô nghiệm.2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 

Biểu diễn nghiệm trên trục số

III Dạng toán về bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

(a) Phương pháp giải

Ở đây chúng tôi chỉ đề cặp đến hai dạng đơn giản và cách giải của từngdạng như sau

Dạng 1 ( ) f x A trong đó A là đa thức hoặc là một hằng số.

.

0

Đối với loại này, ta đưa về một bất đẳng thức kép ( )f x A  A  f x( )A do

đó ta giải hai bất phương trình ( )

Dạng 2 ( ) f x B trong đó B là đa thức hoặc là một hằng số

Đối với loại này ta đưa về hai bất phương trình ( )f x  B hoặc ( )f x B

Tập nghiệm của bất phương trình ( )f x B là hợp của hai tập hợp nghiệm củamỗi bất phương trình trên

Ta có một số ví dụ minh họa sau

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x/ 1 x1

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(b) Bất phương trình đã cho có dạng ( )f x B với ( ) 1 3f x   x và B  7 x

Biểu diễn nghiệm trên trục số

(d) 11 x2 2 x2  9 x   33  x  3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S x/ 3 x 3

Biểu diễn nghiệm trên trục số

IV Dạng toán về bất phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số

Trong những phương pháp giải các dạng bài tập ở phần này, chúng tôi chỉ

đề cặp đến bất phương trình dạng ax b 0 Đối với ba trường hợp bất phươngtrình dạng ax b  0,ax b 0, ax b 0 có cách giải tương tự Điều quantrọng cần nhớ là khi chia hai vế của bất phương trình cho một số âm thì phải đổichiều bất phương trình

Từ những kiến thức cơ bản về bất phương trình bậc nhất một ẩn số ta có thểchia các bài tập về bất phương trình bậc nhất chứa tham số thành các dạng sau

IV.1 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm

(a) Phương pháp giải

Bài toán tìm điều kiện tham số để bất phương trình ax b  0 có nghiệm

có thể giải như sau

Bước 1: Xét a  Suy ra giá trị tham số Thay vào bất phương trình đã cho Nếu0

nhận được bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì nhận tham số đó, ngược

lại không nhận giá trị tham số đó

Bước 2: Bất phương trình có nghiệm khi a  0

Bước 3: Kết hợp Bước 1 và Bước 2 ta có kết luận

Dưới đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho dạng bài tập này

m  vào bất phương trình đã cho ta được

0x   Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x7 0

Vậy với 1

3

m  thì bất phương trình đã cho có nghiệm.

Bất phương trình có nghiệm khi a 0 3m 1 0 hay 1

3

m 

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi m.

(b) Để giải được bài này giáo viên cần hướng dẫn học sinh dùng qui tắc biến dổitương đương (qui tắc chuyển vế) đưa bất phương trình về dạng ax b  0 hoặc

ax b , sau đó phải xác định được hệ số a

Ta có kết quả biến đổi như sau

m  vào bất phương trình cuối ta được

0x  Bất phương trình này vô nghiệm.0Vậy không nhận 1

IV.2 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm

(a) Phương pháp giải

Bài toán tìm điều kiện tham số để bất phương trình ax b  0 vô nghiệm

có thể giải theo hai cách như sau

Cách 1: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm Từ đósuy ra phần bù của tham số là điều kiện để bất phương trình vô nghiệm

Cách 2: Ta nhận thấy bất phương trình có thể vô nghiệm khi a  Do đó0xét a  , tìm giá trị của tham số, thay vào bất phương trình rồi kết luận Nếu0

nhận được bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì không nhận giá trị tham

số đó, nếu ngược lại thì nhận giá trị tham số đó

Ta có ví dụ minh họa như sau

(b) Ví dụ minh hoạ

Bài 11 Tìm điều kiện của tham số m để các bất phương trình sau vô nghiệm

(a) (m 3)x2m 7 0 ; (b) 2mx 3x m

Lời giải (a) Ta nhận thấy a m  3 có chứa tham số m

Cách 1: Trước hết tìm điều kiệm của m để bất phương trình vô nghiệm.

Xét m  3 0 hay m  Thay 3 m  vào bất phương trình đã cho ta nhận3được

0x   Bất phương trình này vô nghiệm.1 0Vậy không nhận m  3

Bất phương trình có nghiệm khi m  3 0 hay m  3

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m  3

Suy ra bất phương trình vô nghiệm khi m  3

Cách 2: Xét m  3 0 hay m  Thay 3 m  vào bất phương trình đã3cho ta nhận được 0x   Bất phương trình này vô nghiệm.1 0

Vậy với m  thì bất phương trình trên vô nghiệm.3

Nhận xét Ta nhận thấy giải theo cách 1 phức tạp hơn, do đó giáo viên nên khuyến

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình đã cho vô nghiệm.

IV.3 Dạng toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình nhận x x 0

làm một nghiệm

(a) Phương pháp giải

Ta nhận thấy x x 0 là một nghiệm của bất phương trình ax b  0 khi

ax b

Do đó, để giải dạng bài tập này chúng ta tiến hành như sau

Bước 1: Thay x x 0 vào bất phương trình, ta nhận được bất phương trìnhtheo tham số

Bước 2: Giải bất phương trình theo tham số

Dưới đây là một số ví dụ minh họa

(b) Ta có thể thay 1

2

x  vào bất phương trình tuy nhiên giáo viên cần hướng

dẫn học sinh biến đổi bất phương trình trên về dạng đơn giản sau đó mới thay

IV.4 Dạng toán về giải và biện luận bất phương trình theo tham số

(a) Phương pháp giải

Dạng bài tập giải và biện luận bất phương trình ax b  0 theo tham sốđược thực hiện theo các bước sau

Bước 1 : Xét a  Suy ra giá trị tham số Thay giá trị tham số vào bất0phương trình Nếu nhận được bất đẳng thức đúng thì kết luận bất phương trình

nghiệm đúng với mọi x , ngược lại kết luận bất phương trình vô nghiệm.

Bước 4 : Tổng hợp các bước 1,2, 3 ta có kết luận

Để minh họa cho dạng này chúng tôi có một số ví dụ sau

Với 4 m0 hay m  thì bất phương trình có dạng 0.4 x  Ta thấy không3

có giá trị nào của x nhân với 0 lớn hơn 3 nên bất phương trình vô nghiệm

Nếu 4 m 0 hay m  thì bất phương trình có nghiệm là 4 3

Kết luận : Nếu m  thì tập nghiêm của bất phương trình là 4 / 3

Nếu m  thì bất phương trình vô nghiệm hay S  4

(b) Giáo viên nên hướng dẫn học sinh biến đổi bất phương trình (áp dụng qui tắcchuyển vế, sau đó phân tích đa thức thành nhân tử) về dạng ax b  0 hoặc

Với m   hay 3 0 m  thì bất phương trình có dạng 0.3 x  Ta thấy không0

có giá trị nào của x nhân với 0 nhỏ hơn 0 nên bất phương trình vô nghiệm

Kết luận: Nếu m   thì tập nghiệm của bất phương trình là3

S  x x   m

Nếu m   thì tập nghiệm của bất phương trình là 3 S x x/  7 m

Nếu m  thì bất phương trình vô nghiệm hay S  3

V Dạng toán về giải bài toán bằng cách lập bất phương trình một ẩn số

(a) Phương pháp giải

Các bước giải bài toán bằng cách lập bất phương trình

Bước 1: Lập bất phương trình

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

Lập bất phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng

Bước 2: Giải bất phương trình

Bước 3: Kết luận: Chọn nghiệm và trả lời

(b) Ví dụ minh họa

Bài 17 Một người đi bộ một quãng đường dài 18km trong khoảng thời gian

không nhiều hơn 4 giờ Lúc đầu người đó đi với vận tốc 5 km h, về sau đi với/

vận tốc 4 km h Xác định đoạn đường mà người đó đã đi với vận tốc 5/ km h./

Hướng dẫn Đây là bài toán chuyển động và các đại lượng tham gia trong bài toán

là quãng đường, vận tốc (đã biết) và thời gian (chưa biết) vậy ta cần lập bấtphương trình biểu thị mối liên quan giữa quãng đường, vận tốc và thời gian (do đógiáo viên cần cho học sinh nhắc lại công thức biểu thị mối liên hệ giữa quãngđường, vận tốc và thời gian) Giải bất phương trình ta tìm được đáp án bài toán

Nếu ta gọi x là đoạn đường người đó đi với vận tốc 5 km h thì thời gian/

đi được biểu diễn như thế nào? Từ đó ta có suy ra được thời gian đi với vận tốc

4km h không? Thời gian đi hết đoạn đường không quá 4 giờ, như vậy ta có/được bất phương trình nào?

Lời giải Gọi đoạn đường đi với vận tốc 5km hlà x (/ x  , tính theo km).0

Khi đó thời gian người đó đi quãng đường với vận tốc 5km h là /

Do đó thời gian người đó đi hết quãng đường 18km là 18

Bài 18 Trong một cuộc thi bắn cung, nếu bắn trúng đích sẽ được 5 điểm còn bắn

trượt đích thì bị trừ 1 điểm, người nào bắn được từ 30 điểm trở lên sau một đợt

bắn 10 mũi tên sẽ được công nhận là xạ thủ giỏi Hỏi cần bắn trúng đích bao

nhiêu lần trong một đợt bắn thì đạt danh hiệu xạ thủ giỏi

Hướng dẫn Ta thấy rằng tổng số lần mũi tên bắn trượt và trúng là 10, do đó sốlần mũi tên bắn trượt bằng 10 trừ đi số lần mũi tên bắn trúng và số điểm bắn trúngbằng số lần bắn trúng nhân cho 5, số điểm bắn trượt bằng số lần bắn trượt nhâncho 1 Vậy nếu ta gọi x là số lần mũi tên bắn trúng thì số lần mũi tên bắn trượt,

số điểm bắn trúng, số điểm bắn trượt được biểu diễn như thế nào theo x , và x cần

phải có điều kiện gì? Từ dữ kiện bài toán (bắn được từ 30 điểm trở lên sau mộtđợt bắn 10 mũi tên sẽ được công nhận là xạ thủ giỏi) ta lập được bất phương trìnhnào?

Lời giải Gọi số tên bắn trúng đích của xạ thủ là x ( x 10;x )

Khi đó số lần bắn trượt đích là 10 x (lần)

Số điểm bắn trúng đích là 5x (điểm)

Số điểm bắn trượt đích là (10 x).1 10  x(điểm)

Để được công nhận là một xạ thủ giỏi thì người đó bắn được từ 30 điểm trở lênnên ta có được bất phương trình 5x (10 x) 30

Giải bất phương trình này ta được 62

Bài 19 Một người có số tiền không quá 110,000 đồng gồm 7 tờ giấy bạc với hai

loại mệnh giá loại 20,000đồng và loại 10,000đồng Hỏi người đó có bao nhiêu

tờ giấy bạc loại 20,000đồng.

ĐS: Có nhiều nhất 4 tờ giấy bạc loại 20,000 đồng.

Bài 20 Một người đi xe máy quãng đường dài 160km trong khoảng thời gian

không nhiều hơn 5 giờ Lúc đầu đi với vận tốc 35km h về sau đi với vận tốc/

35km h Xác định độ dài đoạn đường đã đi với vận tốc 35/ km h /

ĐS: Đoạn đường đi được dài ít nhất là 70km

Bài 21 Hai người bạn cùng đi xe máy từ Biên Hòa về thành phố Hồ Chí Minh.

Người thứ nhất đi với nữa thời gian đầu với vận tốc v và trong nữa thời gian sau1

đi với vận tốc v Người thứ hai thì trong nữa đoạn đường đầu đi với vận tốc 2 v2còn trong nửa đoạn đường sau đi với vận tốc v , biết1 v1 v2 Hỏi ai đến thành phố

Hồ Chí Minh trước?

ĐS: Người thứ nhất đi đến thành phố Hồ Chí Minh trước

Bài 22 Một vận động viên bơi lội hằng ngày tập bơi trên một dòng sông, bơi theo

dòng chảy một đoạn theo quy định rồi lại bơi ngược dòng chảy để về nơi xuất phát Liệu thời gian bơi tập có thay đổi không nếu vận động viên đó bơi trên một