Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy cho học sinh lớp 10, thông qua giải các bài toán về bất đẳng thức bằng tam thức bậc 2 định hướng

Bất đẳng thức có mặt ở bên trong hầu hết các lý thuyết toán học,không chỉ thế bất đẳng thức còn xuất hiện rất nhiều trong các môn khoa họckhác như vật lý, hóa học, thiên văn học, sinh họ

MỤC LỤC

A Đặt vấn đề 2

I.Lời mở đầu 2

II.Thực trạng nghiên cứu 3

III Kết quả thực trạng 4

B Giải quyết vấn đề 4

I Các giải pháp thực hiện 4

II Các biện pháp tổ chức thực hiện 4

a Cơ sở lý thuyết 4

b Nội dung chính của đề tài 6

C Kết luận 17

I Kết quả 17

II Kiểm nghiệm lại kết quả 17

III Đề xuất và kiến nghị 19

D Phụ lục & một số sách, website tham khảo 21

Trang

A Đặt vấn đề

I Lời mở đầu:

Bất đẳng thức được hình thành rất sớm, ngay từ buổi sơ khai của toán học.Thật vậy, ở thời kỳ trước công nguyên con người đã phát hiện ra rằng độ dàicạnh huyền của tam giác vuông lớn hơn độ dài mỗi cạnh góc vuông, hay trongtam giác bất kỳ thì tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại Nói tổng quan,lịch sử phát triển của bất đẳng thức gắn liền với lịch sử hình thành và phát triểncủa toán học Bất đẳng thức có mặt ở bên trong hầu hết các lý thuyết toán học,không chỉ thế bất đẳng thức còn xuất hiện rất nhiều trong các môn khoa họckhác như vật lý, hóa học, thiên văn học, sinh học, kinh tế, chính trị, tâm lý giáodục, Trong chương trình toán học phổ thông thì bất đẳng thức đóng một vai tròrất quang trọng, là cầu nối để phát triển và hình thành tư duy cho học sinh, lànền tảng để các các môn học khác phát triển

Tuy nhiên bất đẳng thức là một chuyên đề khó đối với học sinh THPT vì

nó đòi hỏi phải có một nền tảng tư duy lập luận vững chắc Trong các kỳ thi họcsinh giỏi, thi olympic toán học khu vực và quốc tế, trong kỳ thi THPT quốc gia ,các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng thường xuên được đề cập và nóthuộc loại khó và rất khó.Trong rất nhiều chuyên đề về bất đẳng thức thì chuyên

đề sử dụng tam thức bậc hai định hướng là một chuyên đề hay và thường xuyênđược sử dụng để giải các bài toán về bất đẳng thức Ta biết rằng tam thức bậchai là một chuyên đề cơ bản nhất đóng vai trò nòng cốt trong các kiến thức toánbậc trung học thổ thông Hầu hết các bài toán và ví dụ được khảo sát trongchương trình đại số về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bấtđẳng thức và các bài toán về cực trị và trong chương trình giải tích các lớp cuốibậc phổ thông như khảo sát hàm số đều gắn liền với tam thức bậc hai Nhữngkiến thức về tam thức bậc hai là những kiến thức mà mỗi học sinh phổ thôngđều phải nắm vững vì chúng được sử dụng trong các kỳ thi THPT quốc gia, kỳthi học sinh giỏi cấp tỉnh,và olympic.Trong chương trình toán THPT thì số tiết

dành cho chuyên đề bất đẳng thức là rất ít mà kiến thức để giải một bài toán bấtđẳng thức cần dùng rất là nhiều, cho nên khi nói đến giải các bài toán bất đẳngthức thì phần lớn các em học sinh đều có tâm lý ngại học, bởi vì nó khó phảikiên trì và phải có khả năng tư duy trừu tượng thì mới học tốt được.Tuy nhiêncác bài toán liên quan đến bất đẳng thức có trong chương trình THPT lại là mộtnội dung có mặt trong các kỳ thi THPT quốc gia, do đó để đạt được kết quả caothì các em phải làm được bài toán này Đây không phải là điều mà nhiều em họcsinh có thể làm được.

Với học sinh lớp 10 thì việc tiếp cận và làm được các bài toán về bất đẳngthức, đòi hỏi các em phải nắm vững được các bất đẳng thức cơ bản, có rất nhiềuphương pháp khác nhau để tiếp cận và giải các bài toán về bất đẳng thức, do đóphải có kỹ năng và khả năng tư duy trừu tượng tốt, đây là điều mà rất nhiều họcsinh chưa làm được Vì vậy, để cho các em có một cơ sở vững chắc về bất đẳngthức, và tạo cho các em hứng thú về môn toán học nói chung và chuyên đề về

bất đẳng thức nói riêng, tôi đã chọn đề tài skkn "Rèn luyện kỹ năng và phát

triển tư duy cho học sinh lớp 10 thông qua giải các bài toán về bất đẳng thức bằng phương pháp tam thức bậc hai định hướng".Với đề tài này nhằm góp

phần nâng cao chất lượng học tập môn đại số, phát huy tính chủ động, tư duysáng tạo cho học sinh THPT nói chung và lớp 10 nói riêng, sử dụng đa dạng vàsáng tạo các phương pháp giải toán ,giúp học sinh giải bài toán nhanh hơn vàhiệu quả hơn, đồng thời qua đó giúp học sinh củng cố được kiến thức liên quanđến đại số

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

Qua thực tế giảng dạy học sinh THPT nói chung và học sinh lớp 10 tôithấy các em thường gặp các khó khăn sau đây

+ Kiến thức về bất đẳng thức của học sinh còn yếu và thiếu , không biếtgiải một bài toán bất đẳng thức như thế nào và xuất phát bắt đầu từ đâu, vì thếhọc sinh thường rất ngại học chuyên đề này

+ Kỹ năng biến đổi và vận dụng kiến thức về bất đẳng thức đã có chưa tốt

+ Khả năng về tư duy triều tượng còn hạn chế

+ Khả năng phân tích và tổng hợp các kiến thức với nhau chưa tốt

+ Kỹ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa cácbài toán chưa tốt

+ Kỹ năng tính toán còn yếu

III Kết quả của thực trạng:

Khảo sát chất lượng của học sinh 10C1, 10C3, 10C5 của trường THPT

Tĩnh Gia 4 cho thấy việc học tập các bài toán dạng này chỉ được một số học

sinh lớp 10C1 là làm được, vì các em học sinh lớp này là lớp chọn của trường,còn lại một bộ phận học sinh không làm được hoặc làm được nhưng kết quảkhông đúng và thường mất điểm những bài tập dạng này, nhất là học sinh lớp10C3, 10C5 Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến thực tế giảng dạy vàbước đầu đã thu được kết quả tốt trong năm học 2015- 2016 vừa qua

2 Phân loại các dạng bài toán :

Loại 1: Phương pháp vận dụng định lý về dấu tam thức bậc 2 để chứng minh bất đẳng thức

Loại 2: Phương pháp tam thức bậc 2 định hướng và mở rộng cho tam thứcbậc   ( 1)

II Các biện pháp tổ chức thực hiện

Để thực hiện đề tài này tôi sử dụng các tiết học chính khóa, ôn tập và tự chọncủa 3 lớp khối 10 là 10C1, 10C3, 10C5, qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng giảitoán và phát huy khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh

a Cơ sở lý thuyết

Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về

+ Một số tính chất về bất đẳng thức

+ Một số kiến thức về dấu tam thức bậc 2

+ Nắm vững kiến thức về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất và cácphương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức

1 Nếu  0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x 

2 Nếu  0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x b

a

2





3 Nếu  0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 Trong đó x1, x2 (x1 < x2) là 2 nghiệm của f(x)

3) Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

b) Nội dung chính của đề tài

Dạng toán 1 : Phương pháp vận dụng định lý về dấu tam thức bậc 2 để

chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Ta có : ab + bc + ca = 1  ab = 1 - (a +b)c = c2 - tc + 1 Do đó a , b là nghiệm của phương trình bậc 2 theo ẩn X là : X2  (t c X c )  2  tc 1 0

định lý về dấu tam thức bậc 2 thì : f a( ) 0 hay (2) luôn đúng  đpcm

Dấu "=" xẩy ra khi a 3,b 1,c 1

Chứng minh rằng : x y z xy yz zx

x y y z z x

92

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Bài toán 4 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = 3 Chứng minh rằng

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : a = b = c = 1

Bài toán 5 : Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn : x + y + z = 1 Tìm giá

Đặt f x( ) 11 x2 (12y  11) 10 y2  10y P  Coi đây là tam thức bậc 2 ẩn x,

do điều kiện tồn tại của x nên suy ra (2) phải có nghiệm, tức là

Nhận xét : Ý tưởng bài toán trên bắt nguồn từ việc đưa biểu thức từ 3 biến về

hai biến và rồi 1 biến, từ đó sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc 2 để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Hoàn toàn tương tự, ta có thể dùng ý tưởng này để chứng minh những bài toán có dạng : Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = k.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = mxy + nyz + pzx

Bài toán 6 : Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn : ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức: P = a22b2 5c2 (1)

28

Dạng toán 2 : Phương pháp tam thức bậc 2 định hướng

1 Trước hết ta xây dựng tam thức bậc  từ tam thức bậc 2

Xuất phát từ bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng

x2  1 2 ,x x  (*)  x2  2x   1 0, x  Đặt : f x( )x2  2x (1), Khi đó (1) là một tam thức bậc 2, và f(x) = 0 khi và 1chỉ khi x = 1

Từ đó ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc  ( 1) để có bất đẳng thức tương tự như (*) bằng cách thay số 2 bởi số  Thật vậy, ta có thể thiết lập bất đẳng thức dạng : x (?) x x, (2)

    sao cho dấu đẳng thức xẩy ra khi x

= 1 Thay x = 1 vào (2) ta nhận được : (?) =  -1, tức là (2) sẽ có dạng

x   1x x,  (3)(3) chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết

Để chứng minh (3) ta có thể sử dụng đạo hàm để chứng minh, thậy vậy ta xét hàm số : f x( )x   1 x x,  

 Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x=x0> 0

Ta có x = x0  x

x0 1, khi đó ta thay x bằng

x

x0 trong (3) ta có

Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : a = 4, b = 3, c = 2

Nhận xét : Bài toán 1 có thể mở rộng với 3 biến x, y, z thành bài toán

tổng quát sau :

Bài toán 2: Cho 3 số thực dương thỏa mãn a b c 

 đpcm, dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : x = a, y = b, z = c

Bài toán 3 : Cho a, b, c  0, thỏa mãn điều kiện

a

a b

a b c

479

                 ( Theo giả thiết)

 đpcm, dấu "=" xẩy ra khi a = 4, b = 3, c = 2

Nhận xét : Bài toán 3 có thể mở rộng với 3 biến x, y, z thành bài toán

Lưu ý : Chứng minh bài toán 4 hoàn toàn tương tự bài toán 2 tổng quát

Bài toán 5 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x

x y

34

 đpcm, dấu "=" xẩy ra khi x = 3, y = 1

Nhận xét : Bài toán 5 có thể mở rộng với 3 biến x, y, z thành bài toán tổng quát

sau :

Bài toán 6 : Cho 3 số thực dương thỏa mãn a b c 

quát như sau

Bài toán 7 : Cho k n, ,k 1,n1,a1a2   a k 0, và thỏa mãn điều

Cho a, b, c 0 Chứng minh rằng a2 b2 c2 2abc 1 2(ab bc ca  )

Bài tập 2 : Cho 4 số thực a,b,c,d thỏa mãn a2 b2  và c + d = 3 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P x 3y3z3

Bài toán 5 : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện

x

x y

23

I Kết quả: Sau một năm học 2015-2016 qua việc áp dụng cho đối tượng học

sinh ở 3 lớp 10của trương THPT Tĩnh Gia 4, kết quả thu được như sau:

Lớp SL Loại giỏi Loại khá Loại TB Loại yếu

10C1 43 12 27,9 23 53,4 8 18,7 0 4,6

II Kiểm nghiệm lại kết quả:

1 Kết quả của biện pháp mới:

Ban đầu học sinh chưa làm quen được phương pháp mới, các em còn nhút nhát,thụ động, đợi đến khi giáo viên gọi thì các em mới phát biểu ý kiến Và các emkhông tự mình phân tích được bài giải mà phải có sự gợi ý của giáo viên nên kếtquả tiết dạy không cao Dần về sau học sinh hoạt động tích cực và có tính tựgiác, các em mạnh dạn đứng lên phân tích và tự mình trình bày bài giải một cáchlogíc, có khoa học

2 Phạm vi tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm:

a Đối với bản thân:

- Giáo viên phải nghiên cứu sâu, kỹ về kiến thức chuyên môn và các kiến thứcliên quan đến bài dạy Nên từ đó đã xoá đi tính chủ quan của giáo viên, dần theothời gian giáo viên đã tự bồi dưỡng cho mình một kiến thức chuyên môn vữngvàng

- Những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên cónhiều kinh nghiệm trong dự đoán các tình huống và xử lý tình huống

b Đối với học sinh:

- Đa số các em đều biết vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán tương tự qua đósáng tác ra một lớp các bài toán, từ đó hình thành được kỹ năng giải toán và khảnăng tư duy toán học Nhiều em đã giải được các bài toán khó, tìm ra đượcnhiều cách giải khác nhau và độc đáo từ một bài toán đã được giải

- Học sinh học chuyên đề bất đẳng thức này không còn e ngại, gò bó theo khuônmẫu, mà các em phát huy được tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập

- Các em học sinh học, từ những bước cơ bản vững chắc đầu tiên, dẫn đến đam

mê, rồi các em hiển nhiên trở thành một học sinh giỏi toán

c Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn:

Đây là phương pháp không khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được Vàđặc biệt là áp dụng được đối với tất cả các đối tượng học sinh Nên tôi đã đemphổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp ý quí báu và đã mạnhdạn áp dụng phương pháp này vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lạithành công.

3 Nguyên nhân thành công và tồn tại:

a Nguyên nhân thành công:

- Sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 định hướng là một trải nghiệm mới mẻ,mặc dù trong trường thpt phương pháp này có đề cập song nó còn quá ít và khóvận dụng để giải toán, qua đó rèn luyện cho các em học sinh tìm lời giải các bàitoán và rèn luyện việc giải toán

- Bản thân, đã có sự đam mê môn toán học từ khi còn ngồi dưới ghế nhà trườngphổ thông, say sưa nghiêm cứu tìm ra những phương pháp mới trong giảng dạy

- Được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến nhiệt tình của các đồng nghiệp trong tổchuyên môn

- Lớp tôi phụ trách phần lớn học sinh đều có tinh thần vượt khó, tự giác học tập

4 Bài học kinh nghiệm:

Đối với các bài toán đòi hỏi cần phải có sự tư duy như các dạng toán ởtrên, thì học sinh đôi lúc phân tích hướng giải không đúng với ý đồ của giáoviên Khi đó giáo viên phải tôn trọng và phân tích theo hướng giải của các em,sau đó chỉ rõ các ưu khuyết điểm của hướng giải mà các em đã đưa ra

Theo phương pháp trên làm cho học sinh tiếp thu bài học một cách tíchcực và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo có khoa học Kết quả thu được góp

phần không nhỏ để đáp ứng được nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học màngành giáo dục đề ra.

III Đề xuất và kiến nghị:

Kevin P.Lee một nhà khoa học đã từng nói " Suy cho cùng, toán học là vềcác ý tưởng Ý tưởng, đó là toán học Một trang tính toán không có chữ viếthoặc diễn giải nào chứa cái phi toán" Còn đối với G.Polya (1887 - 1985) mộtnhà toán học và sư phạm nổi tiếng của Mỹ đã từng nói "Dạy học không phải mộtkhoa học mà là một nghệ thuật".Do đó ở mỗi thầy giáo giỏi đều có phương phápriêng, và mỗi thầy giáo giỏi khác mọi thầy giáo giỏi khác ở phương phápđó.Chính vì lẽ đó việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn học là nhiệm vụ,trách nhiệm cũng là lương tâm của các thầy, cô giáo Với tinh thần đó tôi mongmuốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng dạy với cc đồng nghiệp, mongtất cả các thầy, cô giáo có nhiều SKKN hay góp phần nâng cao chất lượng giảngdạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng

Tôi xin chân thành cảm ơn

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dungcủa người khác

Người thực hiện

Mai Tiến Linh

PHỤ LỤC

MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO

TT Tên sách và website Tác giả và website

2 Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán Nguyễn Thái Hòe

4 Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ

quyển 1,2,3,4,5,6 - Nhà xuất bản giáo dục

Nhiều tác giả

5 Những viên kim cương trong bất đẳng thức Trần Phương

6 Lý thuyết cơ sở của hàm lồi và các bđt cổ điển Nguyễn Minh Tuấn

toàn thư mở