Đổi biến để chứng minh bất đẳng thức

Cao Văn Dũng Lớp K50 SP toán - khoa Sư Phạm – ĐHQGHN §c: 575\14 Lê Duẩn - Chî Ea tam--Phêng EA Tam-TP BMT-§AKLAK Phone : 0989966850 Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức Đôi khi chứng m

Cao Văn Dũng Lớp K50 SP toán - khoa Sư Phạm – ĐHQGHN

§c: 575\14 Lê Duẩn - Chî Ea tam Phêng EA Tam-TP BMT-§AKLAK

Phone : 0989966850

Đổi Biến Để Chứng Minh Bất ĐẳngThức

Đôi khi chứng minh một bài toán BĐT có rất nhiều cách khác nhau để giải, song

không phải cách nào cũng thuận lợi cho việc chứng minh BĐT, có nhiều BĐT đề ra phức tạp làm cho ta cảm giá rối, nhưng qua việc đưa về biến mới thì bài toán trở nên

dễ hơn Bài viết này xin nêu ra một số cách đổi biến để chứng minh BĐT được dễ

dàng hơn.

Sau đây là một số ví dụ :

VD1:(BĐT Nesbitt): Cho a,b,c là các số thực dương CMR: 3

2

b c c a a b+ + ≥

Ta đặt

2 2 2

y z x a

x b c

x z y

c

+ −

 =



= +

+ −

 = + ⇒ =

 = + 

  = + −

 + − + − + − 

x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z x 6

⇔ + ÷ + + ÷ + + ÷≥ + + =

Vậy BĐT đuợc chứng minh

Dấu “=” xảy ra ⇔ = =a b c

VD2: (Prance Pre –MO 2005) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: 2x +y2+z2 3= CMR: xy yz zx 3

z + x + y ≥

Đặt

xy

a

z

yz

b

x

zx

c

y

 =





 =





 =



với , ,a b c>0từ giả thiết 2x +y2+z2 3= ⇔ab bc ca+ + =3

Và BĐT cần CM ⇔CM BĐT a b c+ + ≥3

mặt khác ta có BĐT sau: a2 + + ≥b2 c2 ab bc ca+ + ⇔ + + ≥a b c 3(ab bc ca+ + ) 3= Vậy BĐT đuợc chứng minh

Dấu “=” xảy ra ⇔ = = =x y z 1

VD3: Cho x, y, z >0 thoả x y z+ + =1 CMR 1 4 9 36

x+ + ≥y z

Từ giả thiết ta có thể đặt:

a x

a b c b y

a b c c z

a b c

 =



 =



 =



với a,b,c >0

Nên BĐT ⇔ CM a b c 4.a b c 9.a b c 36

+ + + + + + + + ≥

b c 4.a 4.c 9.a 9.b 22

4 9 4 9 2 4 2 9 2 4 .9 22

Dấu “=” xảy ra

1 6

1 2

x

y

z

 =





=

⇔ ⇒ =

=

 =



VD4: Cho x, y, z là các số thực dương CMR xyz≥ + −(x y z y z x z x y)( + − )( + − )

Ta đặt

x b c

y c a

z a b

= +



 = +



 = +



với , ,a b c>0nên BĐT ⇔ CM BĐT (a b b c c a+ )( + )( + ≥) 8abc

mặt khác ta có (a b b c c a+ )( + )( + −) 8abc a b c= ( − )2+b c a( − )2+c a b( − )2 ≥0

Vậy BĐT đuợc chứng minh

Dấu “=” xảy ra ⇔ = =x y z

VD5: ( IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

CMR: a 1 1 b 1 1 c 1 1 1

 − +  − +  − + ≤

Do abc=1 nên ta có thể đặt

x a y y b z z c x

 =





 =





 =





với , ,x y z>0

Nên BĐT có thể viết lại x 1 z y 1 x z 1 y 1

 − +  − +  − + ≤

 ÷ ÷ ÷

⇔ xyz≥ + −(x y z y z x z x y)( + − )( + − ) (đã CM ở VD4)

Vậy BĐT đuợc chứng minh

Dấu “=” xảy ra ⇔ = = =a b c 1

VD6:( IMO-1995) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

CMR : 3 1 3 1 3 1 3

a b c +b c a +c a b ≥

Ta đặt

1

1

1

a

x

b

y

c

z

 =





 =







=



với , ,x y z>0 và do abc=1 nên xyz=1

Nên BĐT

2

mặt khác theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:

 + + + + +  + + ÷≥ + +

xyz

Vậy BĐT đuợc chứng minh

Dấu “=” xảy ra ⇔ = = =a b c 1

VD7: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z= + + +2

CMR: 3

2

x+ y + z ≤ xyz

xyz x y z

Ta đặt 1 , 1 , 1

1 x =a 1 y =b 1 z =c

+ + + với , ,a b c>0

2

b c c a + c a a b + a b b c ≤

Mặt khác ta có: 1

2

1

2

1

2

Nên

b c c a c a a b a b b c a c b c b a c a c b a b

Vậy BĐT luôn đúng

Dấu “=” xảy ra ⇔ = = =x y z 2

Sau đây là một số bài tập để luyện tập:

Bài 1: Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác:

b c a c a b a b c+ + ≥

a b c b c a c a b+ + ≥ + +a b c

Bài 2: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x2+y2+ +z2 2xyz=1 CMR:

1, 3

2

x y z+ + ≥

2, 1 1 1 4(x y z)

x+ + ≥y z + +

Gợi ý: từ giả thiết ta có thể đặt x a ,y b ,z c

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a b c+ + =1

CMR: 1 1 1 2 22 1

abc

ab + bc + ca ≥ + +

Bài 4: Cho , ,a b c>0 thoả mãn abc=1 CMR: 1 3 6

a b c ab bc ca

Bài 5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác CMR:

1, a2+ + ≥b2 c2 4 3S với S là diện tich tam giác

2, a b a b2 ( − +) b c b c2 ( − +) c a c a2 ( − ≥) 0

Gợi ý: Đặt a x y b= + , = +y z c z x, = +