GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐGIẢI TÍCH BÀI 1 Chương IV LỚP 11 GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN Bài 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ tiết 1 LỚP 11 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ I ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN II T
Trang 1GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
GIẢI TÍCH
BÀI 1 Chương
IV
LỚP
11
GIẢI TÍCH
Chương 4: GIỚI HẠN
Bài 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiết 1)
LỚP
11
GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
I
ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
II
TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
III
Trang 2GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1 Định nghĩa
Bài toán mở đầu
Cho dãy số với
a) Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển
b) Hãy biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số
c) Hãy tính khoảng cách từ ; ; ; ; đến
; ; ; ; ;
;
1 0
𝟏 𝟐
𝟏 𝟑
𝟏 𝟒
𝟏 𝟏𝟎𝟎
Khoảng cách từ tới là
Khoảng cách từ tới là
Khoảng cách từ tới là
Khoảng cách từ tới là
Trang 3
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1 Định nghĩa
Bài toán mở đầu
Cho dãy số với
𝟏 𝟐
𝟏 𝟑
𝟏 𝟒
𝟏 𝟏𝟎𝟎
Câu hỏi 2 : Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số thì khoảng cách từ đến nhỏ hơn ?
Ta có:
𝑛 <0,0001
⇔ 𝑛 >10000
Từ trở đi thì khoảng cách từ đến nhỏ hơn
Câu hỏi 1: Em có nhận xét gì về sự thay đổi của các khoảng cách này khi trở nên rất lớn?
Trả lời: Khi trở nên rất lớn các khoảng cách này càng ngày càng giảm nhỏ gần giá trị
Kết luận: có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi nghĩa là có thể
bé bao nhiêu cũng được miễn là đủ lớn
Trang 4
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số có giới hạn là khi dần tới dương vô cực nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi
Định nghĩa 2
Ta nói dãy số có giới hạn là số ( hay dần tới ) Khi nếu
Kí hiệu: lim hoặc
Kí hiệu hoặc limhoặc
Trang 5
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
2 Một vài giới hạn đặc biệt
①
①
② , với nguyên dương
② , với nguyên dương
③ nếu
③ nếu
④ Nếu ( là hằng số) thì
④ Nếu ( là hằng số) thì
①
①
② , với nguyên dương
② , với nguyên dương
③ nếu
③ nếu
④ Nếu ( là hằng số) thì
④ Nếu ( là hằng số) thì
Trang 6GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
II ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
Định lí 1
a) Nếu ; Khi đó:
① 𝑙𝑖𝑚 (𝑢 𝑛 +𝑣 𝑛)=𝑙𝑖𝑚 𝑢 𝑛 +𝑙𝑖𝑚 𝑣 𝑛=𝑎+𝑏
② 𝑙𝑖𝑚 ( 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛) = 𝑎− 𝑏
③ 𝑙𝑖𝑚 (𝑢 𝑛 𝑣 𝑛)= 𝑎 𝑏
④ 𝑙𝑖𝑚 𝑢 𝑛
𝑣 𝑛 =
𝑎
𝑏 ( 𝑏 ≠ 0 )
b) Nếu và Thì
c) và
Trang 7
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
Bài giải
Ví dụ 1
Tìm
Ta thấy:
𝑛
VÍ DỤ MINH HOẠ
d
Trang 8
GIỚI HẠN DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
VÍ DỤ MINH HOẠ
d
Bài giải
Ví dụ 2 Tìm
Chia cả tử và mẫu số cho ta được:
𝑙𝑖𝑚 3 𝑛
2
− 𝑛
1 +𝑛2 =𝑙𝑖𝑚
3 − 1
𝑛
1
𝑛2 +1
Trang 9
GIỚI HẠN DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
VÍ DỤ MINH HOẠ
d
Bài giải
Ví dụ 3
Chia cả tử và mẫu số cho ta được:
𝑙𝑖𝑚 √1 + 4 𝑛2
1 − 2 𝑛 =𝑙𝑖𝑚 √ 1 + 4 𝑛2
𝑛2
1
𝑛 − 2
Tìm
1
𝑛 − 2
¿ √ 4
−2 = − 1
Trang 10
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Bài giải
Ví dụ 1
Dạng khai triển của là: ; ; ; ; ;
Dãy số trên là một cấp số nhân vô hạn có công bội mà trong đó
Nhận xét:
Cho dãy số với Hãy viết dãy dưới dạng khai triển và nhận xét về công bội của nó.
Ta thấy càng ngày càng giảm
Ta gọi trên là cấp số nhân lùi vô hạn
Định nghĩa
Cấp số nhân vô hạn có công bội với được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn
Trang 11
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Vì nên Nên
Vậy:
Công thức
𝑆 = 𝑢 1
1 − 𝑞
Ta đã bi ế t : 𝑆 𝑛=𝑢1+𝑢2+ +𝑢 𝑛= 𝑢1 (1− 𝑞 𝑛 )
1− 𝑞
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un).
Trang 12GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Đại số
LỚP
11 Chương IV BÀI 1
III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Bài giải
Ví dụ 3
b) Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô
hạn với
a) Cấp số nhân có
a) Tính tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn với
𝑆= 1
3 +
1
9 +
1
27 + +
1
3𝑛 +
𝑢1= 1
3 ; 𝑞= 1
3
b) Tính tổng:
dưới dạng phân số
¿ 𝑢1
1− 𝑞
1 3
1− 1
3
= 1
2
;
Vậy
¿ 1
1− (− 1
2 ) =
2 3
c) Ta có:
¿ 1
10 +
1
100 +
1
1000 +
Các số hạng của tổng lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với
𝑢1= 1
10
Khi đó
Trang 13
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
GIẢI TÍCH
LỚP
11 Chương 4BÀI 1
GIỚI HẠN DÃY SỐ (Tiết 1)
GIỚI HẠN DÃY SỐ (Tiết 1)
Định lí về giới hạn hữu hạn
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Định nghĩa