160 bài tập GIỚI hạn dãy số + đáp án CHI TIẾT

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A... Chọn giá trị đúng của limu n trong các số ... Chọn giá trị đúng của limu trong các số n... Tính giới hạn của dãy số... Từ công thức truy h

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1 Kết quả đúng của

2

2 5lim



Bài 2 Kết quả đúng của

2 4

lim n  limn k  (k )limq n  (q1)

lim u n   lim 1 0

n

u 

n n

u v

n n

u v

0 n n 0

neáu a v neáu a v



00

neáu a neáu a



00





n n bằng:

Bài 7 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu n  , thì limu n   B Nếu limu n  , thì limu n  

C Nếu limu n 0, thì limu n 0 D Nếu limu n  a, thì limu n a

Bài 8 lim3 2

3

n n



 bằng

A

23

2 1

n n

4 5lim

u u

lim

n n an

 với a là tham số Khi đó

2

aa bằng

2 1lim

2 1

n n



4 1lim

3 1

n n



1lim

1

n n

4 5

n

n n u

3 5

n n n

1

n n  bằng:

1 1lim 3

n n

lim

n n A

2lim

3 1

n n B

Bài 43 Giá trị của Blim3n39n2 n bằng:

3 1lim

lim(3 1)

B

n bằng:

(2 1)

n C

4 1

n n D

2 sin 2 1lim

Bài 64 Giá trị của  

1lim

( 3 2 3 1)

n D

u u

  Chọn giá trị đúng của limu n trong các số



Bài 74 Giới hạn dãy số  u n với

43

4 5

n

n n u

n





 là:

 bằng

3 5

n n n

5 C  D.

n x n

n

x e

41

Bài 102 Giá trị của 1 0

a n a n a D

!lim

2

n B

n

k

k u

q q

1

q q



Bài 112 Tính giới hạn của dãy số 2

1

n n k

n u

lim

n n

1

n n k

u u

  Chọn giá trị đúng của limu trong các số n

Bài 120 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng 0; 2018 để có

Bài 122 Cho dãy số  x n xác định bởi x1 2, x n1 2x n , n Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?

A  x n là dãy số giảm B  x n là cấp số nhân

n

n n u

1 , 12

k

 Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

Bài 127 Cho dãy số  u n xác định bởi u10 và u n1 u n 4n3,  n 1 Biết

2 sin 2 1lim

!lim

2





n B

1lim

2lim( 1 2 )

Bài 136 Giá trị của bằng:





n

n n T

2 1







n n k

n u

Bài 147 Tính giới hạn của dãy số :

Bài 155 Tìm biết trong đó

Ta có:

3 2lim

3

n n





23lim

31

n n





3

lim

20183

n n







23

33

3 5

2 18

lim

2 14

n

n n n

8

2 1 44

2 1

n n

12

n n







12

2 13

4 5lim



u u





3.2 12.2 5







59

n  ;

12

n

n ;

111

2 3 2

n n n





1

5 3lim

46

n

n n

6

a b

11lim

;

5

m

44

n n

n





Bài 29

Chọn D

2 3 3

1 1lim 3

n n

1lim 3

1

n

n n

2lim

1 2 33

n n A

B

n n

Ta có: Dlim n22n n  lim 3n32n2 n

2 3

51

Chọn A

Ta có:

2 3

A 

Bài 53

Chọn C

49

B

Bài 54

Chọn C

14

n n A

C

Bài 64

Chọn C

2 33

2

2 2 2

n n

n n

n n

Từ đó lim lim lim 1 1

1

n

n u

344

n n

23

44

n A n

1

13

x x

 và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn)

Mà lim 2 0

xx  nên lim sin 1 0

x

x x



 

Bài 91

Chọn D

2 3 3

2 3 1

n I

2

2 3 lim

3 1 2

n

n n n

3 1 2

32

n n n n





2 02



n e

n n

n n

e e

5

n n

n n

n n

if 0

2 3

1

n n n

1lim

11

1lim

3

n n

Từ công thức truy hồi ta có: x n1 x n,  n 1, 2,

Nên dãy ( )x là dãy số tăng n

Giả sử dãy ( )x là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim n x n x

Với x là nghiệm của phương trình: xx2   x x 0 x1 (vô lí)

Do đó dãy ( )x không bị chặn, hay lim n x n  

5

n n

n n

n

n a

Giả sử  1 đúng với nk, k ,k2 Tức là 2 cos 1

n

u

n n

12017

2

n n

Ở phương án D, ta có thể chứng minh u n 1 với mọi n1 và  u n là dãy giảm nên  u n sẽ

có giới hạn Gọi limu n a

Khi đó từ 1  

1

1 , 12

n 

Bài 126

2018 2

a b c

2 2

5 5

n

n n

11

Từ công thức truy hồi ta có:

Nên dãy là dãy số tăng

Giả sử dãy là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại

Với là nghiệm của phương trình : vô lí

Do đó dãy không bị chặn, hay

1lim

11

1lim

Dễ dàng chứng minh được Từ đó tính được

Bài 159 Chọn C

Xét phương trình (1)

Gọi là một nghiệm nguyên dương của (1) Giả sử là một nghiệm nguyên dương khác

của (1)

Ta có suy ra do đó tồn tại nguyên dương sao cho

Do v là số nguyên dương nên (2)

Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số nguyên dương cộng

Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:

6lim

n

u

1 1 2lim lim 2 2

,3

n n

n