Đại 12 chuyên đề 4 số phức

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.. Xác định phần thực - phần ảo của số phức Phương pháp giải... b Tính chất của phép cộng số phức

4

SỐ PHỨC

BÀI 1 SỐ PHỨC

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Định nghĩa số phức

Định nghĩa 1 Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i2 = −1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi

Tập hợp các số phức được kí hiệu là C

Ví dụ 1 Các số sau là những số phức:

3 − 5i ; −√

3 + 5i ; 2 + (−4) i

2 Số phức bằng nhau

Định nghĩa 2 Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d

Ví dụ 2 Tìm các số thực x, y, biết

(3x − y) + (2y − 1) i = (x + 1) + (y + 2) i

Lời giải

Từ định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta có







3x − y = x + 1 2y − 1 = y + 2

⇔







x = 2

y = 3

Vậy x = 2 và y = 3 

4! 1 Mỗi số thực a được gọi là một số phức với phần ảo bằng 0, tức là a = a + 0i

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức Ta có R ⊂ C

2 Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi, tức là bi = 0 + bi

Toán

3 Biểu diễn hình học số phức

Định nghĩa 3

Điểm M (a; b) trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi

là điểm biểu diễn số phức z = a + bi

y b

a M

4 Môđun của số phức

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M (a; b) trên mặt phẳng tọa độ

Định nghĩa 4

Độ dài của véc-tơ # »

OM được gọi là mô-đun của số phức z và kí hiệu là

|z|

Từ định nghĩa, suy ra |z| =

# »

OM hay |a + bi| =

# »

OM Khi đó

|a + bi| =√a2+ b2

O x

y b

a M

5 Số phức liên hợp

Định nghĩa 5

Cho số phức z = a + bi Ta gọi a− bi là số phức liên hợp của z và kí

hiệu là z = a− bi Tức là

a + bi = a− bi

y b

a

z = a + bi

−b

z = a− bi Tính chất 1 z = z

Tính chất 2 |z| = |z|

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 2 Xác định mô-đun của số phức

Phương pháp giải Mô-đun của số phức z = a + bi là |z| =√

a2+ b2

Ví dụ 4 Tìm mô-đun của các số phức sau:

1 z = 1 + 2i

2 z = 3 − 5i

3 z = −5 + 4i

4 z = −4i

5 z = 2

{ DẠNG 3 Hai số phức bằng nhau

Phương pháp giải Hai số phức z = a + bi, z0 = a0+ b0i được gọi là bằng nhau nếu

(

a = a0

b = b0

Ví dụ 1 Tìm các số thực x, y biết:

1 x + 2y + 3i = 4x − 5y + (6 − y)i

2 −3x + 6y − (8 + 4y)i = 3x − 4 + (4x − y)i

Ví dụ 2 Cho z = (3a + 2) + (b − 4)i Tìm các số a, b để

1 z là số thực 2 z là số thuần ảo

{ DẠNG 1 Xác định phần thực - phần ảo của số phức

Phương pháp giải

Số phức z = a + bi, a, b ∈ R có a là phần thực, b là phần ảo

Ví dụ 3 Xác định phần thực, phần ảo của các số phức:

1 z = 2 + 3i

2 z = 2i − 4

3 z = 3

4 z = 15i

{ DẠNG 5 Số phức liên hợp

Phương pháp giải

Số z = a − bi được gọi là số phức liên hợp của z = a + bi

Ví dụ 6 Tìm z, biết:

a z = 3 − i√

2;

b z = −√

2 + i√

3;

c z = 3;

d z = −5i

{ DẠNG 4 Tìm tập hợp điểm biểu diễn

Phương pháp giải

Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M (a; b)

Ví dụ 3 Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 4 − 3i, 3 + 2i, −5, 5i

Ví dụ 4 Biết A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn theo thứ tự các số: −1 + i,

−1 − i, 2i, 2 − 2i

Tìm các số z1, z2, z3, z4 theo thứ tự biểu diễn các vec-tơ # »

AC,# »

AD,# »

BC,# » BD

Ví dụ 5 Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện:

a Phần thực của z bằng 3;

b Phần ảo của z bằng −5;

c Phần thực thuộc khoảng (−2; 3);

d Phần ảo thuộc đoạn [−3; 6]

BÀI 2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Phép cộng và phép trừ hai số phức

a) Tổng của hai số phức

Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di (a, b, c, d ∈ R) Khi đó ta có

(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i

b) Tính chất của phép cộng số phức

Phép cộng số phức có tất cả các tính chất của phép cộng số thực

 Tính chất kết hợp

(x + y) + z = x + (y + z), ∀ x, y, z ∈ C

Do đó ta kí hiệu chung các số (x + y) + z và x + (y + z) là x + y + z

Nếu z1 = a1+ b1i, z2 = a2+ b2i, , zn = an+ bni (ai, bi ∈ R, i = 1, 2, , n) thì

z1+ z2+ · · · + zn= (a1+ a2+ · · · + an) + (b1 + b2+ · · · + bn)i

 Tính chất giao hoán

x + y = y + z, ∀ x, y ∈ C

 Cộng với 0

z + 0 = 0 + z = z, ∀ z ∈ C

 Với mỗi số phức z = a + bi (a, b ∈ R), nếu kí hiệu số phức −a − bi là −z thì ta có

z + (−z) = (−z) + z = 0

Số −z được gọi là số đối của số phức z Điểm biểu diễn số phức z và điểm biểu diễn số đối của

nó đối xứng qua gốc tọa độ

 Với mọi số phức z và w ta có

z + w = z + w

c) Phép trừ hai số phức Hiệu của hai số phức z và w là tổng của z với −w, tức là

z − w = z + (−w)

Nếu z = a + bi và w = c + di (a, b, c, d ∈ R) thì

z − w = (a − c) + (b − d)i

d) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức

Nếu z = a + bi, w = c + di (a, b, c, d ∈ R) lần lượt được biểu diễn bởi các

véc-tơ #»u , #»v thì z + w được biểu diễn bởi #»u + #»v , z − w được biểu diễn

bởi #»u − #»v

x

y

O

z

w

z + w

2 Phép nhân hai số phức

a) Tích của hai số phức Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di (a, b, c, d ∈ R) Khi đó ta có

zw = (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Nhận xét Với mọi số thực k ta có kz = ka + kbi Đặc biệt 0z = 0

b) Tính chất của phép nhân số phức Phép nhân số phức có tất cả các tính chất của phép nhân

số thực

 Tính chất kết hợp

(xy)z = x(yz), ∀ x, y, z ∈ C

Do đó ta kí hiệu các số phức (xy)z và x(yz) là xyz

Đặc biệt ta kí hiệu zn = z · z · z · · · z

| {z }

n số phức z

(n ∈ N∗)

 Tính chất giao hoán

xy = yx, ∀ x, y ∈ C

 Nhân với 1

1 · z = z · 1 = z, ∀ z ∈ C

 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

x(y + z) = xy + xz, ∀ x, y, z ∈ C

 Với mọi số phức z, w ta đều có

zw = z · w,

zz = |z|2

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1 Cộng trừ hai số phức

Phương pháp giải

1 Phép cộng hai số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z0 = a0+ b0i:

z + z0 = (a + a0) + (b + b0)i

Tính chất:

- Kết hợp: (z + z0) + z00 = z + (z0+ z00)

- Giao hoán: z + z0 = z0+ z

- Số đối của z = a + bi là số −z = −a − bi

2 Phép trừ hai số phức

z − z0 = (a − a0) + (b − b0)i

Ví dụ 1 Thực hiện phép tính

1 (2 + 3i) + (5 − 3i)

2 (−5 + 2i) + (3i)

3 (2 − 3i) − (5 − 4i)

Ví dụ 2 Tìm phần thực phần ảo của các số phức sau:

1 (4 − i) + (2 + 3i) − (5 + i)

2

Å

3 − 1

3i

ã +

Å

−3

2+ 2i

ã

−1

2i

Ví dụ 3 Giải phương trình sau: z + 2¯z = 2 − 4i

Ví dụ 4 Tìm tập hợp điểm M thỏa: |z + ¯z + 3| = 4

Ví dụ 5 Số phức z = a + bi và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M0 Số phức

z0 = (4a − 3b) + (3a + 4b)i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N và N0 Biết rằng

M , M0, N , N0 là bốn đỉnh của một hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của |z + 4i − 5|

{ DẠNG 2 Phép nhân hai số phức

Phương pháp giải • Thực hiện phép nhân tương tự như nhân hai đa thức với chú ý i2 = −1:

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

• (1 + i)2 = 2i, (1 − i)2 = −2i

• ∀n ∈ N∗ ta có: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = −1; i4n+3 = −i ⇒ in∈ {±1; ±i}

Ví dụ 6 Thực hiện phép tính

1 (1 + 2i)(−3 + 5i)

2 −i(2 − 3i)

3 (−3 + 2i)2

Ví dụ 7 Tìm phần thực, phần ảo, mô-đun và tọa độ điểm biểu diễn hình học của số phức z biết

z = 5 + 3i − (2 + i)(1 − 4i)

Ví dụ 8 Tìm số phức z biết

1 z = i2017

2 z = (1 + i)2018

Ví dụ 9 Tìm số phức z thỏa mãn z + (2 + i)z = 3 + 5i

Ví dụ 10 Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |zi − 2 − i| = 2

BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC

A LÝ THUYẾT CƠ BẢN

Tính chất 1 Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó

Tính chất 2 Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó

Định nghĩa 1 Nếu c + di = (a + bi)z thì số phức z được gọi là thương của phép chia c + di cho a + bi khác 0

4! Để tính thương c + di = (a + bi)z ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

{ DẠNG 1 Phép chia số phức đơn giản

Phương pháp giải Cho hai số phức z1 = a + bi, z2 = c + di trong đó z2 6= 0 Khi đó thương của phép chia z1 cho z2 được xác định như sau:

z1

z2 =

a + bi

c + di =

(a + bi)(c − di)

c2+ d2 = (ac + bd) − (ad + bc)i

c2 + d2

Ví dụ 1 Tìm nghịch đảo 1

z của số phức z = 2 − 3i.

Ví dụ 2 Thực hiện phép chia 2 + i cho 1 + 2i

Ví dụ 3 Thực hiện phép chia √

2 + 2i cho √

2 − 2i

Ví dụ 4 Tìm số phức z thỏa mãn (2 − i)z = 4 + 3i

{ DẠNG 2 Các bài toán tìm phần thực và phần ảo của số phức

Phương pháp giải Để tìm phần thực và phần ảo của số phức z, ta cần đưa z về dạng z = x + iy với x, y ∈ R Khi đó phần thực của z là x và phần ảo của z là y Để thực hiện được ta cần nắm vững một số kiến thức cơ bản đã học:

1) z1

z2 =

z1· z2

|z2|2 với z1, z2 ∈ C

2) (1 + i)2 = 2i và (1 − i)2 = −2i với i là đơn vị ảo

3) Công thức Nhị thức Newton: Cho z = a + bi ∈ C với a, b ∈ R và n ∈ N Khi đó ta có:

zn = (a + bi)n =

n

X

k=0

Cknan−k(bi)k =

n

X

k=0

Cknan−kbkik

Để viết được kết quả dưới dạng đại số thông thường, chỉ còn phải áp dụng các công thức:

i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1 Từ đó, một cách tổng quát ta có:

in =















1 nếu n = 4k

i nếu n = 4k + 1

−1 nếu n = 4k + 2

−i nếu n = 4k + 3

(k ∈ N)

Ví dụ 5 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =

√

3 − i

1 + i −

√

2 − i

i .

Ví dụ 6 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z nếu như ta có

(1 + i)2(2 − i)z = 8 + i + (1 + 2i)z

Ví dụ 7 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =

Ç

1 + i√

3

1 + i

å3

Ví dụ 8 Tính tổng của phần thực và phần ảo của số phức z =Å 1 − i

1 + i

ã2018

Ví dụ 9 Cho số phức z thỏa z = (1 − 2i)

5

2 + i Viết z dưới dạng z = a + ib với a, b ∈ R Tính

S = a + 2b

{ DẠNG 3 Một số bài toán xác định môđun của số phức

Phương pháp giải Môđun số phức z được kí hiệu là |z|

1) Môđun số phức z = a + bi (a, b ∈ R) là |z| =√a2+ b2

2) |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0

3) |z| = |z|

4) |z1z2| = |z1| |z2|,

z1

z2

= |z1|

|z2| với z1, z2 ∈ C

Ví dụ 10 Tìm môđun của số phức z biết z = √ 1

3 + i.

Ví dụ 11 Tìm môđun của số phức z biết z = 2 + i

3 − 5i.

Ví dụ 12 Tìm môđun của số phức z biết z =Å 1 + i

1 − i

ã2018

Ví dụ 13 Cho số phức z thỏa mãn z =

Ä

1 −√ 3iä3

1 − i Tìm môđun của số phức z + iz.

Ví dụ 14 Tìm môđun của số phức z biết (2z − 1) (1 + i) + (z + 1) (1 − i) = 2 − 2i

{ DẠNG 4 Tìm tập hợp điểm-GTNN-GTLN

Phương pháp giải Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức

z = x + yi thỏa mãn điều kiện K cho trước

Bước 1 Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức: z = x + yi, (x, y ∈ R)

Bước 2 Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa x, y và kết luận

Khi thực hiện bước 2 ta cần lưu ý các tính chất sau:

1 z = z

2 z · z = |z|2

3 z−1 = (z)−1, ∀z 6= 0

4 z1+ z2 = z1+ z2

5 z1· z2 = z1· z2

6 Å z1

z2

ã

= z1

z2

, z2 6= 0

Ví dụ 15 Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z = 5

3 − 4i.

Ví dụ 16 Tìm tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thoả mãn

z + 1 − 2i

5 − iz

= 1

Ví dụ 17 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)|z| =

√ 10

z + 1 − 2i Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w = (3 − 4i)z − 1 + 2i là đường tròn tâm I, bán kính R Tìm tọa độ điểm I và bán kính R

BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Căn bậc hai của số thực âm

Các căn bậc hai của số thực a âm là ±ip|a|

2 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 với a, b, c ∈ R, a 6= 0 Xét biệt thức ∆ = b2− 4ac của phương trình Khi đó:

 Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực x = − b

2a.

 Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 = −b ±√∆

2a .

 Khi ∆ < 0, phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = −b ± ip|∆|

2a . Định lí 1 (Định lý Vi-et) Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 với a, b, c ∈

R, a 6= 0 thì







x1+ x2 = −b

a

x1x2 = c

a

{ DẠNG 1 Giải phương trình bậc hai hệ số thực

Phương pháp giải Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai đã biết

4! Với phương trình trùng phương ax4+ bx2+ c = 0, a 6= 0 ta có thể đặt t = x2 để đưa về phương trình bậc hai và lưu ý rằng trong tập số phức thì không cần điều kiện t ≥ 0

Ví dụ 1 Giải phương trình x2+ 4x + 5 = 0 trên tập số phức

Ví dụ 2 Giải phương trình z2− 3z + 10 = 0 trên tập số phức

Ví dụ 3 Giải phương trình z4+ 5z2+ 4 = 0 (?) trên tập số phức

Ví dụ 4 Gọi z1và z2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình z2−2z +5 = 0 Tính F = |z1|+|z2|

Ví dụ 5 Gọi z1, z2, z3, z4 là bốn nghiệm phức của phương trình 2z4 − 3z2 − 2 = 0 Tính tổng

T =z1

2

+z2

2

+z3

2

+z4

2

{ DẠNG 2 Phương trình bậc cao với hệ số thực.

Phương pháp giải Phương pháp giải:

 Phân tích thành nhân tử để đưa về phương trình tích

 Đặt ẩn phụ

Ví dụ 1 Giải phương trình z4− 2z2− 8 = 0 trên tập số phức

Ví dụ 2 Giải phương trình z3− 27 = 0 trên tập số phức

Ví dụ 3 Giải phương trình z3+ 4z2+ 6z + 3 = 0 trên tập số phức

Ví dụ 4 Giải phương trình sau trên tập số phức

z4+ 2z3− z2 + 2z + 1 = 0

Ví dụ 5 Giải phương trình sau trên tập số phức 2z4− 7z3+ 9z2− 7z + 2 = 0

Ví dụ 6 Giải phương trình sau trên tập số phức

25 5z2+ 2
2

+ 4 (25z + 6)2 = 0

Ví dụ 7 Kí hiệu z1, z2, z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4+ z2− 12 = 0 Tính tổng

T = |z1| + |z2| + |z3| + |z4|

 Với số phức z = a + bi (a, b ∈ R), kí hiệu số phức −a − bi −z ta có

z + (−z) = (−z) + z =

Số −z gọi số đối số phức z Điểm biểu diễn số phức z điểm biểu diễn số đối

nó... PHÉP CHIA SỐ PHỨC

A LÝ THUYẾT CƠ BẢN

Tính chất Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức

Tính chất Tích số phức với số phức liên hợp... − 4i

Ví dụ Tìm tập hợp điểm M thỏa: |z + ¯z + 3| =

Ví dụ Số phức z = a + bi số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M0 Số phức

z0 = (4a − 3b) + (3a + 4b)i