Đại 12 chuyên đề 1 ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số

Xét sự đồng biến - nghịch biến của hàm số Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f x ta thực hiện các bước giải như sau: Bước 1: Tìm tập xác địnhD của hàm số.. Điều kiện của th

CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO

SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f (x) xác định trênK (K ⊂ R là một khoảng) Ta nói

• Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì

f (x1) nhỏ hơn f (xx), tức là x1< x2⇒ f (x1) < f (x2)

• Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trênK nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì

f (x1) lớn hơn f (xx), tức là x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)

Định lí 1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K

 Nếu f0(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

 Nếu f0(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Định lí 2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K Nếu f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) với mọi x thuộc K và

f0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f (x) đồng biến (nghịch biến) trên K

2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

 Tìm tập xác định

 Tính đạo hàm f0(x) Tìm các điểm xi(i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xácđịnh

 Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

B CÁC DẠNG TOÁN

} DẠNG 1.1 Xét sự đồng biến - nghịch biến của hàm số

Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f (x) ta thực hiện các bước giải như sau:

 Bước 1: Tìm tập xác địnhD của hàm số

 Bước 2: Tính y0 Tìm các điểm thuộc D mà tại đó y0 = 0 hoặc y0 không xác định

 Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

 Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

1 Ví dụ

VÍ DỤ 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x3+ 6x2− 9x + 4

VÍ DỤ 2 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x4+ 4x2− 3

VÍ DỤ 3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4− 6x2+ 8x + 1

VÍ DỤ 4 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 3 − 2x

BÀI 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −2x4+ 4x2

BÀI 2 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4− 2x2− 3

BÀI 3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4+ 4x3− 1

BÀI 4 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4+ 4x + 6

BÀI 5 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x3− x2− x + 1

BÀI 6 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = x3+ 3x2+ 3x + 2

BÀI 7 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =√x2− 2x

BÀI 8 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 3x + 1

1 − x.BÀI 9 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x

2+ 2x − 1

x + 2 .BÀI 10 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = √ x + 2

x2− x + 3.BÀI 11 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = (4 − 3x)√6x2+ 1

BÀI 12 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = |x2− 2x − 3|

BÀI 13

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R Hàm số y = f0(x) có đồ thị như hình

bên Hãy xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f (2 − x)

}DẠNG 1.2 Điều kiện của tham số để một hàm số đơn điệu trên mọi khoảng xác định

A Lý thuyết chung

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên K (một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) đồng thời phương trình

f0(x) vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K Khi đó

VÍ DỤ 1 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x3− 3x2+ 3(m + 2)x + 3m − 1 đồng biến trên R

VÍ DỤ 2 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = 1

3(3 − m)x

3− (m + 3)x2+ (m + 2)x − 3 đồngbiến trên R

VÍ DỤ 3 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = mx + m − 7

5x − m + 3 đồng biến trên mọi khoảng của tậpxác định

BÀI 7 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = 1

3(m

2− 1)x3+ (m + 1)x2+ 3x luôn đồng biến trên R

} DẠNG 1.3 Tìm các khoảng đơn điệu; chứng minh hàm số đơn điệu trên tập K

VÍ DỤ 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =√x + 1 +√5 − x

VÍ DỤ 2 Xét chiều biến thiên của hàm số y = 2x − 1 −√3x − 5

VÍ DỤ 3 Chứng minh rằng hàm số y =√4x − x2 đồng biến trên đoạn [0; 2]

VÍ DỤ 4 Chứng minh hàm số y =√x2− 1 nghịch biến trên nửa khoảng (−∞; −1]

VÍ DỤ 5 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = cos 2x + 4 cos x trên đoạn [0; 2π]

2 Bài tập rèn luyện

BÀI 1 Xét chiều biến thiên của hàm số y =√x + 2 +√2 − x

BÀI 2 Xét chiều biến thiên của hàm số y = x +√1 − x2

BÀI 3 Chứng minh hàm số y =√x2− 25 đồng biến trên khoảng (5; +∞)

BÀI 4 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x

2 + cos x trên đoạn [0; π].

} DẠNG 1.4 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

Có hai phương pháp chính để giải các bài toán

 Phương pháp 1: Cô lập tham số, lập bảng biến thiên, từ đó rút ra điều kiện của tham số

 Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên trực tiếp để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kếtluận

} DẠNG 1.5 Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có khoảng đơn điệu có độ dài cho trước

Để hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d có độ dài khoảng đồng biến (a < 0); nghịch biến (a > 0) (x1; x2) bằng l

 Bước 3: Biến đổi |x2− x1| = l (2) thành (x1+ x2)2− 4x1· x2 = l2

 Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số

 Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết quả thỏa mãn

X Nếu f0(x) < 0, ∀x ∈ (a, x0) và f0(x) > 0, ∀x ∈ (x0; b) thì f (x) đạt cực tiểu tại x0.

X Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ (a, x0) và f0(x) < 0, ∀x ∈ (x0; b) thì f (x) đạt cực đại tại x0

Tức là, nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M (x0, yCT)

Nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x1

Ta nói đồ thị hàm số có điểm cực đại là M (x0; yCĐ).

Chú ý: Không cần xét hàm số y = f (x) có hay không đạo hàm tại x0

Định lí 3 Hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) chứa x0 mà f0(x0) = 0 và y = f (x) có đạohàm cấp hai khác không tại x0 Khi đó,

X Nếu f00(x0) > 0 thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0

X Nếu f00(x0) < 0 thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0

Từ đây, ta có phương pháp tìm cực trị của hàm số

X Tính đạo hàm y0, tìm những điểm mà tại đó y0 = 0 hoặc y0 không xác định

X Xét dấu y0 dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, cực tiểu

Hoặc xét dấu y00(x0) (x0 là nghiệm của y0) dựa vào định lí 3 để kết luận

Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên

 Hàm số có cực trị ⇔ có cực đại ⇔ có cực tiểu ⇔ có cả cực đại và cực tiểu ⇔ có hai cực trị ⇔ phươngtrình y0= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

 Hàm số không có cực trị ⇔ phương trình y0= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0

4! Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau:

X Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: y = ax3+ bx2+ cx + d cho y0 = 3ax2+ 2bx + c được thương

là q (x) và phần dư là r (x) = mx + n, ta được:

y = y0· q (x) + r (x)

X Bước 2: Chứng minh đường thẳng (d) : y = r (x) = mx + n là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Giả sử hai điểm cực trị là M (x1; y1), N (x2, y2), trong đó x1, x2 là nghiệm của phương trình y0 = 0 nên

y0(x1) = y0(x2) = 0

Khi đó, vì M , N thuộc (C) nên

y1= y0(x1) · q (x1) + r (x1) = r (x1) ⇒ y1= mx1+ n ⇒ M ∈ (d)

y2 = y0(x2) · q (x2) + r (x2) = r (x2) ⇒ y2 = mx2+ n ⇒ N ∈ (d) Tức là (d) là đường thẳng đi qua hai cực trị

4 Bài toán cực trị với hàm bậc 4 trùng phương

Cho hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4+ bx2+ c (a 6= 0) có y0= 4ax3+ 2bx = 2x(2ax2+ b)

å, C

Ç

−

…

− b2a; y2

åthì:

 y1 = y2

 B và C đối xứng nhau qua trục Oy, điểm A nằm trên trục Oy Do đó tam giác ABC cân tại A

x − m đạt cực đại tại điểm x = 3;

2 Hàm số y = −x4− mx2− 2m2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1

VÍ DỤ 4 Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số

f (x) = −x3+ ax2+ bx + cđạt cực trị bằng 4 tại x = 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm M (1; 2)

4! Đối với bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x), ta tiếnhành như sau:

 Cách 1 Tìm tọa độ hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số y = f (x) Sau đó viết phương trình đườngthẳng đi qua hai điểm A, B

 Cách 2 Tọa độ (x; y) của điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ phương trình

 Cách 2 có ưu điểm là không cần tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị.

 Dù trong đề bài không yêu cầu, nhưng ta vẫn phải tìm điều kiện để hàm số có cực trị

 Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0; y0), nhận #»n = (A; B) làm vectơ pháp tuyến, có phương trình tổng quát:

∆ : A(x − x0) + B(y − y0) = 0

BÀI 3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Định nghĩa

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên tậpD

1 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tậpD nếu

2 Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Định lí 1 Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Nhận xét Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biếnhoặc nghịch biến trên cả đoạn Do đó, f (x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mútcủa đoạn

Quy tắc Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau:

 Tìm f0(x) và tìm các điểm x1, x2, , xn trên khoảng [a; b] mà tại đó f0(x) = 0 hoặc f0(x) khôngxác định

1 Phương pháp miền giá trị

 Xem y = f (x) là phương trình đối với ẩn số x và y là tham số;

 Tìm điều kiện của y để phương trình y = f (x) có nghiệm;

 Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng m ≤ y ≤ M Xét dấu “=” xảy ra và kết luận

2 Phương pháp đạo hàm

 Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f (x);

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

3 Phương pháp dùng bất đẳng thức

 Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh f (x) ≤ M hoặc f (x) ≥ m

 Phải chỉ ra tồn tại x1, x2∈D sao cho f(x1) = M , f (x2) = m Khi đó

M = max

D f (x); m = minD f (x).

3 Ví dụ áp dụng

VÍ DỤ 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x4− 18x2+ 2 trên đoạn [−1; 4]

VÍ DỤ 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x6− 3x4+9

VÍ DỤ 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) =√x2− 4x + 5 trên đoạn [−2; 3]

VÍ DỤ 5 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = √x + 1

x2+ 1 trên khoảng (−∞; +∞).

VÍ DỤ 6 Cho bất phương trình (x + 2)(x + 4)(x2+ 6x + 10) ≥ m, với m là tham số Tìm các giá trị của

m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R

VÍ DỤ 7 Cho một tấm nhôm hình vuông có chu vi là 36 cm Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đóbốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp.Khi đó, khối hộp nhận được có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

B CÁC DẠNG TOÁN

} DẠNG 3.1 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] ta thựchiện như sau:

 Tìm các điểm xi∈ (a; b) mà tại đó f0(x) bằng 0 hoặc không xác định

VÍ DỤ 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3+ 3x2− 12x + 2 trên đoạn [−1; 2]

VÍ DỤ 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4− 2x2 trên đoạn [−2; 3]

VÍ DỤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x

VÍ DỤ 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x +p2 − sin2x

VÍ DỤ 7 Cho hàm số f (x) = 4x2− 4ax + a2− 2a với a là tham số thực Tìm a để min

[−2;0]f (x) = 2

2 Bài tập rèn luyện

BÀI 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3− 3x + 1 trên đoạn [−1; 2]

BÀI 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x +√4 − x2 trên tập xác địnhD của nó.BÀI 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x6+ 4 1 − x2
3

trên đoạn [−1; 1]

BÀI 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 (cos x − 1)

cos 2x + 2 cos x + 5.BÀI 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2 sin6x +3

} DẠNG 3.2 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên khoảng (a; b) ta lập bảng biến thiên củahàm số f (x) trên khoảng (a; b)

VÍ DỤ 1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3− 2x2+ x − 6 trên khoảng (−1; 1)

VÍ DỤ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3(1 − x)2 trên nửa khoảngï 1

2; +∞

ã

VÍ DỤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x

4 + x2 trên R

VÍ DỤ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2√x + 1 −√x − 2 trên tập xác định của nó

VÍ DỤ 5 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

x2+ y2+ 6z3

1 Bài tập rèn luyện

BÀI 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x4− 4x3+ 1 trên tập xác định của nó

BÀI 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x2+2

x trên khoảng (0; +∞).

BÀI 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = √6x − 1

x2+ 1 trên nửa khoảng [2; +∞).

BÀI 4 Cho các số thực x, y thỏa mãn x2+ 2xy + 3y2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = (x − y)2

} DẠNG 3.3 Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) Khi đó:

1 Phương trình f (x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a; b] ⇔ min

VÍ DỤ 2 a) Tìm m để phương trình x +√2x2+ 1 = m có nghiệm.

b) Tìm m để x +√2x2+ 1 > m, ∀x ∈ R

VÍ DỤ 3 Tìm nghiệm x ∈

0;π2

của phương trình π2x − 16

i

2 .

VÍ DỤ 2 Cho

(2y ≥ x2

y ≤ −2x2+ 3x Chứng minh rằng x

2+ y2 ≤ 2

VÍ DỤ 2 Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hìnhchữ nhật chiều dài d (m) và chiều rộng r (m) với d = 2r Chiều cao bể nước là h (m) và thể tích bể là 2

m3 Hỏi chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất?

VÍ DỤ 3 Một đại lý xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ có đáy hình tròn bằng thép có thểtích 49π (m3) và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng Hỏi giá tiền thấp nhất mà đại lý phải trả gầnđúng với số tiền nào nhất?

VÍ DỤ 4 Một khách sạn có 50 phòng Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thìtoàn bộ phòng được thuê hết Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2 phòng trống.Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất?

VÍ DỤ 5 Một doanh nghiệp bán xe gắn máy trong đó có loại xe A bán ế nhất với giá mua vào mỗi chiếc

xe là 26 triệu VNĐ và bán ra 30 triệu VNĐ, với giá bán này thì số lượng bán một năm là 600 chiếc Cửahàng cần đẩy mạnh việc bán được loại xe này nên đã đưa ra chiến lược kinh doanh giảm giá bán và theotính toán của CEO nếu giảm 1 triệu VNĐ mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm

200 chiếc Hỏi cửa hàng định giá bán loại xe đó bao nhiêu thì doanh thu loại xe đó của cửa hàng đạt lớnnhất?

} DẠNG 3.5 Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế

Để giải quyết được các bài toán ở dạng này, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích giả thiết và gọi biến (chẳng hạn x) có liên quan

Bước 2: Tìm điều kiện của x

Bước 3: Lập hàm f (x) theo giả thiết

Bước 4: Tìm max, min của f (x) và kết luận

1 Ví dụ

VÍ DỤ 1 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hìnhvuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây đểđược một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được thể tích lớn nhất

BÀI TẬP TỔNG HỢP DẠNG ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN

} DẠNG 3.6 Một số ứng dụng sự biến thiên của hàm số

Ứng dụng sự biến thiên của hàm số ta có thể xác định số nghiệm của phương trình trong một số trườnghợp, hỗ trợ giải phương trình, bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức

1 Xác định số nghiệm của phương trình: trước hết ta đưa phương trình về dạng f (x) = c với c là hằngsố; sau đó lập bảng biến thiên, để ý các giá trị cực trị của hàm số trong khoảng cho trước để xác định

4 Chứng minh bất đẳng thức: chẳng hạn f (x) > 0, ứng dụng cách làm bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đểxác định giá trị nhỏ nhất của f (x) trên khoảng đã cho và chứng tỏ giá trị nhỏ nhất đó lớn hơn 0

VÍ DỤ 1 Tìm m để phương trình x3− 6x2− 4m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

VÍ DỤ 2 Giải phương trình x = sin x

VÍ DỤ 3 Giải bất phương trình 2x + cos2x ≥ 1

VÍ DỤ 4 Chứng minh bất đẳng thức cos x > 1 − x

2

2 (x 6= 0).