2-CHUYEN DE 2 - SO PHUC (GIAI CHI TIET-CT)

2-CHUYEN DE 2 - SO PHUC (GIAI CHI TIET-CT)

CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ PHỨC

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

I Khái niệm và các phép toán

1 Phần thực và phần ảo của số phức, số phức liên hợp.

3 Biểu diễn hình học của số phức, mô đun của số phức.

a) Biễu diễn hình học của số phức.

+ Số phức z a bi a b R   ,  được biểu diễn bởi điểm M a b ; 

trong mặtphẳng tọa độ

+ zvà z được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox

* Chú ý: Một số chú ý trong giải bài toán tìm tập hợp điểm

a b  thì tập hợp điểm là đường Elip với hai tiêu điểm

a  b  thì tập hợp điểm là đường Hypabol

b) Mô đun của số phức.

+ Mô đun của số phức z là

2 2

z OM  a b

+ z  z z. ; z z

4 Phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia hai số phức.

Cho hai số phức z1 a1b i1 , z2 a1 b i1 a a b b1, , ,2 2 2R

Khi đó:

+ z1±z2=(a1±a2) (+ b1±b i2)

.+ z z1 2 =(a1+b i a1)( 2+b i2) (= a a1 2- b b1 2) (+ a b1 2+a b i2 1) .

z



II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Cho phương trình bậc hai ax2bx c 0a b c, , ;a0 Xét  b2 4ac, ta có

(1)  0 :phương trình có nghiệm thực 2

b x a



(2)   : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: 0 1,2 2

b x

b i x

 Có thể dùng biệt thức   b2 ac (với b2b) Khi đó nghiệm của phương trình bậc hai đã cho

được xác định bởi công thức: 1,2

| |

b i x

     luôn có n nghiệm phức (không nhất

thiết phân biệt)

 Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai

Câu 5. Thu gọn số phức z i (2 4 ) (3 2 ) i   i , ta được:

A z 5 3i B z 1 2i C z 1 2i D z 1 i.

Câu 6. Cho hai số phức z  1 2, w 2 3i Tổng của hai số phức là

A 3 5i B 3 i C 3 i D 3 5i .

Câu 7. Hỏi điểm M3; 1 

là điểm biểu diễn số phức nào sau đây?



3.10

i



11.10

i



Câu 12 Môđun của số phức 3 2i bằng

2.29

Câu 16 Môđun của số phức z2 3 i 2 3 i



B Phần thực:

1715

, phần ảo:

73.15

C Phần thực:

7315

, phần ảo:

17

17

15, phần ảo:

17.15

Câu 23 Nội dung Cho số phức thỏa mãn z1 2 i z  2 4 i

Tìm mô đun của wz2 z ?

Câu 27. Cho số phức z a bi a b R  ,( ,  ) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Modun của số phức z là z  a2 ( ) bi 2 B. Modun của số phức z là z  a2 b2.

C. Số phức liên hợp của số phức z là z a bi . D. Số phức liên hợp của số phức z là z a bi .

Câu 28 Tìm modun của số phức z(3 2 ) (2 i  i).

Câu 33. Số phứcz= +x yi x y R, ,( Î ) thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu

diễn là phần gạch chéo của hình vẽ ?

z

x y

ì £ïï

z

x y

ì £ïï

Câu 35. Trong C, biết z z là nghiệm của phương trình 1, 2 z2 6z34 0 Khi đó, tích của hai

nghiệm có giá trị bằng:

Câu 36. Trong C, biết z z là nghiệm của phương trình 1, 2 z2 3z  Khi đó, tổng bình phương1 0

của hai nghiệm có giá trị bằng:

Câu 40 Tìm phần ảo của số phức z thỏa z (2 3 ) (4 i   i)(2i).

A. Phần ảo bằng 1 B. Phần ảo bằng 1 C. Phần ảo bằng 2 D. Phần ảo bằng 2

Câu 41. Trong , nghiệm của phương trình z 2 5 0 là:

55

D.

1(2; )

, m nguyên dương. B. i4m2 1, m nguyên dương.

C. i4m1i , m nguyên dương. D. i4m1 i , m nguyên dương.

3



C

34z

Do z z là nghiệm của phương trình nên 1, 2 z1  5 2 ;i z2  5 2i

a a

b b



P 

14

Ta có :

1 2

2

3 112

3 112

i z

Ta có 2 2

15

33

Câu 25. Trong mặt phẳng phức, điểm M1; 2 

biểu diễn số phức z Môđun của số phức w iz z  2bằng:

Lời giải

Chọn A

Ta có

 2  2 12

Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn z i  Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 1 w z  2i là

một đường tròn Tâm của đường tròn đó là:

3  1 2 3 2 1 2  32 1

.Vậy tập hợp các số phức w z  2i là đường tròn tâm I0; 3 

Câu 28. Cho các số phức z thỏa mãn z 3 5 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

Câu 30. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng D như hình vẽ Số phức z có môđun nhỏ

Theo bài ra ta có điểm (I t;1 - t)

là điểm biểu diễn số phức z t= + -(1 t i)

Câu 31. Gọi a và b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z biết z  (1 )i 3(2 i)(2 3 ). i Hỏi

giá trị 2(a b ) là bao nhiêu?

m m

Câu 34. Trong mặt phẳng Oxy , gọi A B C, , lần lượt là ba điểm biểu diễn cho các số phức

1 2 , 2 5, 3 4 7

z   i z  z   i Trong các khẳng định sau khẳng định nào SAI?

A. M ( 1;3) là trung điểm AC B. Tam giác ABC đều.

C. Tam giác ABC vuông tại B D.

  là trọng tâm tam giác ABC

Câu 35. Tính giá trị của biểu thức A 1 i2020

z   i z3   Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Hỏi G là điểm biểu diễn số phức5 i

nào trong các số phức sau:

Câu 38. Kí hiệu z là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình 0 z22z10 0

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w i2020z0?

0

wi z   i( 1 3 )i  3 i Suy ra : Điểm M   3; 1

biểu diễn số phức w

Câu 39. Trong tập các số phức, cho phương trình z2 6z m 0,m R (1) Gọi m là một giá trị của 0 m

để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z z thỏa mãn 1, 2 z z1 1z z2 2 Hỏi trong khoảng

0;20 có bao nhiêu giá trị m   ?0

Hướng dẫn giải Chọn D

Điều kiện để phương trình  1

có hai nghiệm phân biệt là:   9 m 0 m9.Phương trình có hai nghiệm phân biệt z , 1 z thỏa mãn 2 z z1 1 z z2 2 thì  1

phải có nghiệm phức Suy ra

   

Vậy trong khoảng 0;20

có 10 số m 0

Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn của số phức z 1 2i, B là điểm thuộc

đường thẳng y 2 sao cho tam giác OAB cân tại O Tìm số z biểu diễn B

Câu 42. Gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z 1 ; ' 2 3i z   i Tìm số phức  có điểm

biểu diễn là Qsao cho MN3MQ0.

3 3i

  

C.

2 1

3 3i

  

D.

2 1

Câu 43. Trên mặt phẳng phức, gọi A,B lần lượt là các điểm biểu diễn hai nghiệm của phương trình

Câu 1.Cho số phức z a bi  ( ,a b  ) thoả mãn z  2 i | | (1 ) 0z i  và | | 1z  Tính P a b 

Câu 2.Xét các số phức zthỏa mãn z  2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số

phức

4w

1

iz z

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34

Câu 3.Cho số phức z thỏa mãn z+ =3 5 và z- 2i = - -z 2 2i Tính z

ê - ë

Thế a =1vào (*) ta được 16+b2=25Þ b2=9Þ z = 12+ =9 10.

Câu 4.Cho số phức z có phần ảo gấp hai phần thực và z+ =1 2 5

5 Khi đó mô đun của z là:

Do đó z=- 1 2- iÞ z = 5

Câu 5.Cho số phức z có phần ảo khác 0 thỏa mãn z- (2+ =i) 10

và .z z= 25 Tìm mô đun của số

Phân tích: Vì z đang còn rất phức tạp, đặc biệt là dưới mẫu do đó chúng ta nghĩ ra việc làm đơn

giản nó về dạng chuẩn z= +a bi a b( , Î ¡ ) sau đó tìm được z và thay vào biểu thức z z

m

m

é =ê

ê =ë

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

z2+ =4 z z+2i Û z2- 2i 2 = z z+2i Û z- 2i z+2i = z z+2i

( )( )

z i

é + =ê

bằng 0

Câu 8.Cho số phức z thỏa mãn hệ thức 2z i+ = 2z- 3 1i+

Tìm các điểm M biểu diễn số phức z để

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn z2  z 2 8 Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm M biểu

diễn cho số phức z thỏa mãn:

 max

Câu 15. Cho 2 số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1z2  8 6i và z1 z2  Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 2

1 2

Pz  z ?

A Pmax  5 3 5 B Pmax 2 26 C Pmax 4 6 D Pmax 34 3 2

Lời giải Chọn B

Dấu đẳng thức xảy ra khi z1 z2

Câu 16. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa

2 42

Đặt z x yi x y( ,  ) Với z 2, ta có:

có tâm I0; 2

, bán kính R 2 2

Câu 17. Cho số phức zthỏa mãn z 2 i  z 4 7 i 8 2

Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số phức z

là một elip Khi đó phương trình elip là

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z.

Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn z3i  z 3i 10 Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức

z thỏa mãn điều kiện trên và có môđun lớn nhất và nhỏ nhất Gọi M a b( ; ) là trung điểm của đoạn

AB và là điểm biểu diễn cho số phức w Khi đó S a  b bằng

Câu 19. Cho các số phức a b c, , thỏa mãn a b c   và 0 a b c  Gọi 1 A B C, , lần lượt là điểm

biểu diễn cho các số phức a b, và c Tính diện tích S của tam giác ABC

S 

3 34

S 

3 32

S 

Bài giải

Cách 1: (Tự luận)

+ Trước hết ta chứng minh tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính bằng 1 Thực vậy: từ

giả thiết a b c  1 A B C, , đều thuộc đường tròn ( ;O R 1)

+ Ta chứng minh tam giác ABC đều Để chứng minh được điều này trước hết ta dễ chứng minh

được a b AB (học sinh tự chứng minh)

+ Từ a b c   0 a b c b c  và 1 c a  a b  Mặt khác theo hằng đẳng thức 1hình bình hành ta có

nên ta có được2

Tương tự ta tính được BC CA  3 Do đó tam

giác ABC đều với cạnh bằng 3 nên có diện tích bằng

, từ đó ta tìm được diện tích của tam giác ABC

Câu 20. Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i 3 và z  1 5 Gọi z ;z1 2 lần lượt là các sốT

z z

Gọi  z x yi x y;  

.2

Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P với

+ Từ trên ta được max 1;1  P P( 1) 2; min 1;1  P P(0) 2

Ta có z1 3i5  2 2iz1 6 10i 4 1

; iz2 1 2i  4 3z2 6 3 i 12 2

.Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2iz , 1 B là điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ  1

và  2

suy ra điểm

A nằm trên đường tròn tâm I  1 6; 10

và bán kính R  ; điểm 1 4 B nằm trên đường tròn tâm I26;3

Bài toán trở thành: tìm điểm M thuộc đường tròn   C : x12y2 2

sao cho T MA MB  đạt giá trị lớn nhất

Gọi , ,A B M lần lượt là các điểm diễn hình học của số phức z z z1, ,2 .

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn đường kính

CD , với C D, lần lượt là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc CMD trong tam giác MCD

Gọi I là trung điểm ,

2

CD

CD R 

.Suy ra, z OM OI R   3 2 2

.Giá trị lớn nhất của z

là 3 2 2

Câu 30. Cho 2z 1 3  i  2 Tìm giá trị lớn nhất của P z 1 3 z 1 2   i ?

Lời giải Chọn A