Đại 12 chuyên đề 1 ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số bản 2

1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Tính đơn điệu của hàm số Định nghĩa 1.. Để xét sự đồng biến, nghịch bi

1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên K (K ⊂ R là một khoảng) Ta nói

• Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộcK mà x1 nhỏ hơn x2 thì

f (x1) nhỏ hơn f (xx), tức là x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)

• Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2thì f (x1) lớn hơn f (xx), tức là x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)

Định lí 1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K

 Nếu f0(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

 Nếu f0(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Định lí 2 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K Nếu f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0) với mọi x thuộc K

và f0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f (x) đồng biến (nghịch biến) trên K

2 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

 Tìm tập xác định

 Tính đạo hàm f0(x) Tìm các điểm xi(i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xácđịnh

 Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1 Xét sự đồng biến - nghịch biến của hàm số

Phương pháp giải Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f (x) ta thực hiện các bướcgiải như sau:

 Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số

 Bước 2: Tính y0 Tìm các điểm thuộc D mà tại đó y0 = 0 hoặc y0 không xác định

 Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

 Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Ví dụ 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x3+ 6x2− 9x + 4

Ví dụ 2 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = −x4+ 4x2− 3

Ví dụ 3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x4 − 6x2+ 8x + 1

Ví dụ 4 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 3 − 2x

{ DẠNG 2 Điều kiện của tham số để một hàm số đơn điệu trên mọi khoảng xác định

Lưu ý: khi đã chắc chắn a 6= 0, hai công thức trên đây mới được sử dụng

Ví dụ 7 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = x3− 3x2+ 3(m + 2)x + 3m − 1 đồng biếntrên R

Ví dụ 8 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = 1

3(3 − m)x

3− (m + 3)x2+ (m + 2)x − 3đồng biến trên R

Ví dụ 9 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = mx + m − 7

5x − m + 3 đồng biến trên mọi khoảngcủa tập xác định

{ DẠNG 3 Tìm các khoảng đơn điệu; chứng minh hàm số đơn điệu trên tập K

Phương pháp giải Phương pháp

 Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số hoặc xét hàm số trên tập K

Ví dụ 11 Xét chiều biến thiên của hàm số y = 2x − 1 −√

3x − 5

Ví dụ 12 Chứng minh rằng hàm số y =√

4x − x2 đồng biến trên đoạn [0; 2]

Ví dụ 13 Chứng minh hàm số y =√

x2− 1 nghịch biến trên nửa khoảng (−∞; −1]

Ví dụ 14 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = cos 2x + 4 cos x trên đoạn [0; 2π]

{ DẠNG 4 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

Phương pháp giải Có hai phương pháp chính để giải các bài toán

 Phương pháp 1: Cô lập tham số, lập bảng biến thiên, từ đó rút ra điều kiện của tham số

 Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên trực tiếp để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đórút ra kết luận

{ DẠNG 5 Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có khoảng đơn điệu có độ dàicho trước

Phương pháp giải Để hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d có độ dài khoảng đồng biến (a < 0); nghịchbiến (a > 0) (x1; x2) bằng l

 Bước 3: Biến đổi |x2− x1| = l (2) thành (x1+ x2)2− 4x1· x2 = l2

 Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số

 Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết quả thỏa mãn

Ví dụ 19 Tìm a để hàm số y = x3 + 3x2+ ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

X Nếu f0(x) < 0, ∀x ∈ (a, x0) và f0(x) > 0, ∀x ∈ (x0; b) thì f (x) đạt cực tiểu tại x0.

X Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ (a, x0) và f0(x) < 0, ∀x ∈ (x0; b) thì f (x) đạt cực đại tại x0

Tức là, nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M (x0, yCT)

Nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x1

Ta nói đồ thị hàm số có điểm cực đại là M (x0; yCĐ).

Chú ý: Không cần xét hàm số y = f (x) có hay không đạo hàm tại x0

Nên hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 0

Định lí 3 Hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) chứa x0 mà f0(x0) = 0 và y = f (x) có đạohàm cấp hai khác không tại x0 Khi đó,

X Nếu f00(x0) > 0 thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0

X Nếu f00(x0) < 0 thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0

Từ đây, ta có phương pháp tìm cực trị của hàm số

X Tính đạo hàm y0, tìm những điểm mà tại đó y0 = 0 hoặc y0 không xác định

X Xét dấu y0 dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, cực tiểu

Hoặc xét dấu y00(x0) (x0 là nghiệm của y0) dựa vào định lí 3 để kết luận

Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên

 Hàm số có cực trị ⇔ có cực đại ⇔ có cực tiểu ⇔ có cả cực đại và cực tiểu ⇔ có hai cực trị ⇔phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

 Hàm số không có cực trị ⇔ phương trình y0 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0

4! Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau:

X Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: y = ax3+ bx2+ cx + d cho y0 = 3ax2+ 2bx + c được thương

là q (x) và phần dư là r (x) = mx + n, ta được:

y = y0· q (x) + r (x)

X Bước 2: Chứng minh đường thẳng (d) : y = r (x) = mx + n là đường thẳng đi qua hai điểm cựctrị.

Giả sử hai điểm cực trị là M (x1; y1), N (x2, y2), trong đó x1, x2 là nghiệm của phương trình y0 = 0nên y0(x1) = y0(x2) = 0

Khi đó, vì M , N thuộc (C) nên

y1 = y0(x1) · q (x1) + r (x1) = r (x1) ⇒ y1 = mx1+ n ⇒ M ∈ (d)

y2 = y0(x2) · q (x2) + r (x2) = r (x2) ⇒ y2 = mx2+ n ⇒ N ∈ (d) Tức là (d) là đường thẳng đi qua hai cực trị

4 Bài toán cực trị với hàm bậc 4 trùng phương

Cho hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4+ bx2+ c (a 6= 0) có y0 = 4ax3+ 2bx = 2x(2ax2+ b)

å, C

Ç

−

…

− b2a; y2

åthì:

 y1 = y2

 B và C đối xứng nhau qua trục Oy, điểm A nằm trên trục Oy Do đó tam giác ABC cân tại A

x − m đạt cực đại tại điểm x = 3;

2 Hàm số y = −x4− mx2− 2m2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1

Ví dụ 10 Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số

f (x) = −x3+ ax2+ bx + cđạt cực trị bằng 4 tại x = 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm M (1; 2)

BÀI 3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Định nghĩa

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D

1 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tập D nếu

f (x) = −3 tại x = 1 Không có giá trị lớn nhất của f (x) trên khoảng (0; +∞) 

2 Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Định lí 1 Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Nhận xét Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồngbiến hoặc nghịch biến trên cả đoạn Do đó, f (x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các

đầu mút của đoạn.

Quy tắc Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau:

 Tìm f0(x) và tìm các điểm x1, x2, , xn trên khoảng [a; b] mà tại đó f0(x) = 0 hoặc f0(x) khôngxác định

 Xem y = f (x) là phương trình đối với ẩn số x và y là tham số;

 Tìm điều kiện của y để phương trình y = f (x) có nghiệm;

 Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng m ≤ y ≤ M Xét dấu “=” xảy ra và kết luận

2 Phương pháp đạo hàm

 Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f (x);

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

3 Phương pháp dùng bất đẳng thức

 Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh f (x) ≤ M hoặc f (x) ≥ m

 Phải chỉ ra tồn tại x1, x2 ∈D sao cho f(x1) = M , f (x2) = m Khi đó

Ví dụ 6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1

x trên đoạn

ï 1

2; 2

ò

Ví dụ 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = √

x2− 4x + 5 trên đoạn[−2; 3]

Ví dụ 8 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = √x + 1

x2+ 1 trên khoảng (−∞; +∞).

Ví dụ 9 Cho bất phương trình (x + 2)(x + 4)(x2+ 6x + 10) ≥ m, với m là tham số Tìm các giátrị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R

Ví dụ 10 Cho một tấm nhôm hình vuông có chu vi là 36 cm Người ta cắt ở bốn góc của tấmnhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cáihộp không nắp Khi đó, khối hộp nhận được có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Phương pháp giải Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f (x)trên đoạn [a; b] ta thực hiện như sau:

 Tìm các điểm xi ∈ (a; b) mà tại đó f0(x) bằng 0 hoặc không xác định

Ví dụ 12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4− 2x2 trên đoạn [−2; 3]

Ví dụ 13 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x

Ví dụ 16 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + 2 − sin2x.

Ví dụ 17 Cho hàm số f (x) = 4x2− 4ax + a2− 2a với a là tham số thực Tìm a để min

[−2;0]f (x) = 2

{ DẠNG 2 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

Phương pháp giải Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên khoảng(a; b) ta lập bảng biến thiên của hàm số f (x) trên khoảng (a; b)

Ví dụ 18 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3− 2x2+ x − 6 trên khoảng (−1; 1)

Ví dụ 19 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x3(1 − x)2 trên nửa khoảng

{ DẠNG 3 Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương trình, hệ phươngtrình

Phương pháp giải Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) Khi đó:

1 Phương trình f (x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a; b] ⇔ min

i

2 .

Ví dụ 31 Cho

(2y ≥ x2

y ≤ −2x2+ 3x

Chứng minh rằng x2+ y2 ≤ 2

{ DẠNG 5 Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số vào bài toán thực tế

Phương pháp giải Để giải quyết được các bài toán ở dạng này, ta cần thực hiện các bước sau:Bước 1: Phân tích giả thiết và gọi biến (chẳng hạn x) có liên quan

Bước 2: Tìm điều kiện của x

Bước 3: Lập hàm f (x) theo giả thiết

Bước 4: Tìm max, min của f (x) và kết luận

Ví dụ 32 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đóbốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình

vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được thể tích lớn nhất

Ví dụ 33 Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy

là hình chữ nhật chiều dài d (m) và chiều rộng r (m) với d = 2r Chiều cao bể nước là h (m) vàthể tích bể là 2 m3 Hỏi chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất?

Ví dụ 34 Một đại lý xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ có đáy hình tròn bằng thép

có thể tích 49π (m3) và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng Hỏi giá tiền thấp nhất mà đại

lý phải trả gần đúng với số tiền nào nhất?

Ví dụ 35 Một khách sạn có 50 phòng Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng mộtngày thì toàn bộ phòng được thuê hết Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì cóthêm 2 phòng trống Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạntrong ngày là lớn nhất?

Ví dụ 36 Một doanh nghiệp bán xe gắn máy trong đó có loại xe A bán ế nhất với giá mua vàomỗi chiếc xe là 26 triệu VNĐ và bán ra 30 triệu VNĐ, với giá bán này thì số lượng bán một năm

là 600 chiếc Cửa hàng cần đẩy mạnh việc bán được loại xe này nên đã đưa ra chiến lược kinhdoanh giảm giá bán và theo tính toán của CEO nếu giảm 1 triệu VNĐ mỗi chiếc thì số lượng xebán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc Hỏi cửa hàng định giá bán loại xe đó bao nhiêu

BÀI TẬP TỔNG HỢP DẠNG ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN

{ DẠNG 6 Một số ứng dụng sự biến thiên của hàm số

Phương pháp giải Ứng dụng sự biến thiên của hàm số ta có thể xác định số nghiệm của phươngtrình trong một số trường hợp, hỗ trợ giải phương trình, bất phương trình và chứng minh bấtđẳng thức

1 Xác định số nghiệm của phương trình: trước hết ta đưa phương trình về dạng f (x) = c với

c là hằng số; sau đó lập bảng biến thiên, để ý các giá trị cực trị của hàm số trong khoảngcho trước để xác định số nghiệm phương trình

2 Giải phương trình: trước hết ta cần đoán được các nghiệm của phương trình; sau đó dùngtính chất biến thiên để xác nhận đủ nghiệm đối với phương trình đã cho

3 Giải bất phương trình: trước hết ta cũng đưa về dạng f (x) > c (tương tự với các dấu bấtphương trình khác) với c là hằng số; sau đó dựa vào bảng biến thiên để đánh giá và lấy tậpnghiệm của bất phương trình

4 Chứng minh bất đẳng thức: chẳng hạn f (x) > 0, ứng dụng cách làm bài giá trị lớn nhất,nhỏ nhất để xác định giá trị nhỏ nhất của f (x) trên khoảng đã cho và chứng tỏ giá trị nhỏnhất đó lớn hơn 0

Ví dụ 37 Tìm m để phương trình x3− 6x2− 4m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 38 Giải phương trình x = sin x

Ví dụ 39 Giải bất phương trình 2x + cos2x ≥ 1

Ví dụ 40 Chứng minh bất đẳng thức cos x > 1 − x

2

2 (x 6= 0).

BÀI 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (a; +∞),(−∞; b) hoặc (−∞; +∞)) Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồthị hàm số y = f (x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

é −

2x2+ x + 12x − 3 = −∞) nên đường thẳng x =

Ta thấy rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 0) ⇒ tiệm cận ngang y = 0 cắt đồ

thị tại điểm A(0; 0)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số

 Đồ thị

Đồ thị cắt trục Oy tại (0; 1).

Đồ thị đi qua các điểm (2; −3), (−1; −3), (3; 1)

Đồ thị nhận điểm I(1; −1) làm tâm đối xứng

Ví dụ 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3− 3x2+ 4x − 2

Ví dụ 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −x

3

Ví dụ 4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −x3− 3x2+ 2

2 Sử dụng đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình −x3− 3x2+ 2 = m

{ DẠNG 2 Khảo sát hàm số bậc 4 trùng phương và các bài toán liên quan

Ví dụ 6 Khảo sát hàm số y = x4− 2x2− 3

+ Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = 2

Hàm số không có điểm cực tiểu

+ Giới hạn tại vô cực lim

{ DẠNG 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho

2 Tìm các tiếp tuyến của (H) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆ : 3x + y = 0

x→2 −y = −∞ nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng

 Sự biến thiên của hàm số

Hàm số không có cực trị

 Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(−1; 0), B

Å0;−12ã

2 Đường thẳng ∆ viết lại là y = −3x.

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với ∆ là nghiệm phương trình

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Chứng minh rằng đường thẳng d : y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

Ví dụ 11 Cho hàm số y = x − 1

x + 1.

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Chứng minh rằng: Tích các khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) bết kì thuộc (C) đến hai tiệmcận của (C) là một hằng số

Xác định m để đoạn AB là nhỏ nhất