Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CE K là ; hình chiếu vuông góc của A lên CE Chứng minh BE song song với KH và MN là đường.. trung trực của đoạn thẳng KH.. Gọi L là giao đi
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN (Toán chung) Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 10/7/2017
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức 2 2 2 3 6
x B
−
− − , với x ≥ 0 và x ≠ 9 .
Rút gọn B và tìm x để 5
6
B =
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: 2 3 1
3
x y
+ =
− =
b) Cho parabol ( ): P y = 2 x2và đường thẳng ( ): d y m = ( m là tham số) Tìm giá trị của m
để ( ) d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2.
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình 2 x4− 3 x2− = 2 0
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2− 2 mx m + 2− 3 m + = 2 0 có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 1 2
2 1
16
x + x = .
Câu 4 (3,5 điểm).
Cho đường tròn ( ) O đường kính AB = 2 a , H là trung điểm của đoạn thẳng OA Đường
thẳng d vuông góc với OA tại H và cắt đường tròn ( ) O tại hai điểm , C D
a) Tính độ dài đoạn thẳng CD theo a
b) Lấy điểm E trên cung nhỏ BD của đường tròn ( ) O sao cho ba điểm , , C O E không
thẳng hàng ( E khác B , E khác D ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CE K là ;
hình chiếu vuông góc của A lên CE Chứng minh BE song song với KH và MN là đường trung trực của đoạn thẳng KH
c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD Đường tròn đường kính AI cắt các đoạn thẳng HB, AJ, HD lần lượt tại P, F, Q ( F khác A) Gọi L là giao điểm của IF và PQ Chứng minh JL vuông góc với BD.
Câu 5 (0,5 điểm).
Cho ba số thực dương , , x y z thỏa mãn x y z + + = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 2
2
y yz
P = xy + xz + + .
HẾT
-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2017-2018
(Bản hướng dẫn này gồm 03 trang)
Câu 1
b) Cho biểu thức 3 21 2
x B
−
− − , với x≥0 và x≠9. Rút gọn B và tìm x để 5
6
B= .
1,25
B
=
− + ( chỉ cần phân tích được x− =9 ( x−3)( x+3)) 0,25
x
−
=
5
3
x
=
x
Đối chiếu điều kiện, x= 9 không thỏa Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn yêu cầu. 0,25
Câu 2
(2,0) a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: 2x y x+ =3y3 (2)1 (1)
− =
* Cách 1:
Từ (2) suy ra: x= + 3 y (3) Biến đổi hệ số của một phương trình * Cách 2: 0,25
Thay (3) vào (1) ta được:
2(3 + + = ⇔ = −y) 3y 1 y 1. Cộng (trừ), tìm đúng giá trị một ẩn 0,25
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
b) Cho parabol ( ) :P y= 2x2 và đường thẳng ( ) :d y m= (m là tham số) Tìm giá trị của m
để ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB= 2 1,0 Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2x2 =m (1) 0,25 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, tức là m> 0 0,25 Với m> 0, (1) ⇔ = ±x m/ 2 Suy ra A( − m/ 2; ), (m B m/ 2; )m 0,25
AB= ⇔ m = ⇔ m= ⇔ =m (thỏa m> 0) Vậy m= 2 là giá trị cần tìm 0,25
Câu 3
Phương trình (1) trở thành 2t2 − − = 3t 2 0 (2) 0,25 Giải phương trình (2) được: t= − 1/ 2 (loại) hoặc t= 2 0,25
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2 − 2mx m+ 2 − 3m+ = 2 0 có 1,0
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi ∆ > ⇔ > ' 0 m 2 / 3 0,25
Trang 3Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 là:m> 2 / 3 và m2 − 3m+ ≠ 2 0(1)
Theo định lý Viet: x1+x2= 2 ;m x x1 2=m2− 3m+ 2.
1 2 12 22 1 2 1 2 2 1 2
x x
x x x x x x x x
(2 )m 18(m 3m 2) 0 7m 27m 18 0
7
m= (thỏa (1)).
Vậy m= 3 hoặc m= 6 / 7.
(nếu học sinh không có 2 điều kiện của (1) – trừ 0,25 và chấm tiếp)
0,25
Câu 4
(3,5)
Hình vẽ phục vụ câu a: 0,25, câu b: 0,25
(không có hình không chấm)
a
a 2
=
=
\ /
K M
N
E C
D
O
A
Hình vẽ câu c
L
P J I
D
C
0,5
HD =OD −OH .
+Tam giác OAD có OA = OD +Vì H là trung điểm OA và DH⊥OA nên
DA = DO
0,25
2 2 3 2
a
= − ÷ =
3
3 2
a
2
a
HD= ⇒CD a= 0,25 b) Chứng minh BE song song với KH và MN là đường trung trực của đoạn thẳng KH. 1,5
Tứ giác AHKC nội tiếp trong đường tròn nên HKE=CAB· · 0,25
Do đó BE//KH (so le trong, B và H nằm về hai phía KE) 0,25
Mặt khác MH = MK nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng KH 0,25
+ IJ//CD và H là trung điểm của CD Suy ra P là trung điểm của IJ.
Ta có: PIL=PAF=PAI=PQI· · · · và LPI=IPQ· · Suy ra hai tam giác PIL và PQI đồng dạng.
Do đó: PI =PL
PQ PI Mà PI = PJ nên PJ =PL
PQ PJ Lại có LPJ=JPQ· · nên hai tam giác PJL và PQJ đồng dạng (1).
0,25
ABD=ACD=APQ ⇒ PQ//BD (đồng vị, tia PQ không nằm trong góc ·BPJ)
Mà J là trung điểm của BD nên P là trung điểm của HB Suy ra Q là trung điểm của HD
Do đó JP ⊥ JQ hay tam giác PQJ vuông tại J (2).
Từ (1) và (2) suy ra tam giác PJL vuông tại L Mà PQ//BD nên JL vuông góc với BD.
0,25
Trang 4Câu 5
, ,
x y z thỏa mãn x y z+ + = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 2
2
y yz
+ Áp dụng: a b, ≥ 0 ta có
2
a b
ab≤ +
, dấu bằng xảy ra khi a b= .
2
y y z
P= x y+ z + + 1 1
2 x y z 2 y y z
1 4. ( 3 ) 1 2. ( )
x+ y+ z y+ y z+
Suy ra P≤ 3.
0,25
2
3
x y z
y y z
x y z
x y z
= +
= ⇔ + + = ⇔ = = =
> > >
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 khi x y z= = = 1.
0,25
* Lưu ý:
+ Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
+ Không chấm những phần liên quan đến phần sai đứng trước.