21 TS10 hà nam 1718 HDG

Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn O.. Đường thẳng AF cắt MO tại điểm N.. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.. Câu 4: Cho đường tròn O, từ một điểm

STT 23 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM

NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: a) Giải phương trình:

2

4 3 0

x − x+ =

b) Giải hệ phương trình

2 3 8

3 1

+ =



 + =



Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( )P

có phương trình

2 2

x

y= −

và đường thẳng

( )d :y x m= +

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol ( )P

biết điểm M có tung độ bằng −8.

b) Tìm m để đường thẳng ( )d

luôn cắt parabol ( )P

tại hai điểm phân biệt A, B với

( 1; 1),

A x y B x y( 2; 2)

sao cho

( 1 1) ( 2 2)

33 4

x +y x +y =

Câu 3: 1 Rút gọn biểu thức A= 12− 75 3 7 4 3.+ +

2 Cho biểu thức

x B

= + + − ÷ ÷÷

với 0< ≠x 1.

Rút gọn biểu thức B và tìm x nguyên dương khác 1 để

1 2

B≥

Câu 4: Cho đường tròn ( )O

, từ một điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O

kẻ hai tiếp tuyến MA và

MB

của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm) Kẻ đường kính BE của đường tròn ( )O

Gọi

F

là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn ( )O

Đường thẳng AF cắt

MO

tại điểm N. Gọi H là giao điểm của MO và AB.

1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

2. Chứng minh AE//MO.

3. Chứng minh

2

MN =NF NA

4. Chứng minh MN =NH.

Câu 5: Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca+ + =3

và c a≤ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) (2 ) (2 )2

P

STT 23 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM

NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: a) Giải phương trình:

2

4 3 0

x − x+ =

b) Giải hệ phương trình

2 3 8

3 1

+ =



 + =



Lời giải

a) Ta có

2

x − x+ =

(x 1) (x 3) 0

1 0

3 0

x x

− =



⇔  − = 13

x x

=



⇔  =

Vậy tập nghiệm của phương trình là S ={ }1;3

b) Ta có

2 3 8

3 1

+ =



 + =



7

2

x

x y

=





⇔ = − = − = −

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x y; ) (= 7; 2− )

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho parabol ( )P

có phương trình

2 2

x

y= −

và đường thẳng ( )d :y x m= +

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol ( )P

biết điểm M có tung độ bằng −8.

b) Tìm m để đường thẳng ( )d

luôn cắt parabol ( )P

tại hai điểm phân biệt

,

A B

với ( 1; 1),

A x y B x y( 2; 2)

sao cho

( 1 1) ( 2 2)

33 4

x +y x +y =

Lời giải

a) Với y= −8

2 8 2

x

−

16

x

⇔ = ⇔ = ±x 4

Vậy tìm được hai điểm M(± −4; 8 )

b) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P

và ( )d

là:

2

2

x

x m

x x m

1 2m

′

∆ = −

Để đường thẳng ( )d

luôn cắt parabol ( )P

tại hai điểm phân biệt 1

2

′

⇔ ∆ = − > ⇔ <

Theo định lý Viet ta có

1 2

1 2

2 2

+ = −





Lại có

1 1

2 2

= +



 = +



Từ

( 1 1) ( 2 2)

33 4

x +y x +y =

33 4

x x m x x m

33

4

x m x m

1 2 1 2

33

4

x x m x x m

2 33

4

m m m

4

( )

3 2 11 2

 =



⇔  −

 =



Vậy

11 2

m=−

Câu 3: 1 Rút gọn biểu thức A= 12− 75 3 7 4 3.+ +

2 Cho biểu thức

x B

= + + − ÷ ÷÷

với 0< ≠x 1.

Rút gọn biểu thức B và tìm x nguyên dương khác 1 để

1 2

B≥

Lời giải

1 Ta có A= 12− 75 3 7 4 3+ + ( )2

2 3 5 3 3 2 3

= − + + = −3 3 3 2+ ( + 3) =6.

Vậy A=6.

2 Ta có

x B

= + + − ÷ ÷÷

B

x

=

B

x

−

=

2 1

B

x

=

+ 1 2

B≥ 2 12

1

x

+ ⇔ x+ ≤1 4 ⇔ x≤3 ⇒ ≤x 9

Vì xÎ ¥, x>1 ⇒xÎ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }

Câu 4: Cho đường tròn ( )O

, từ một điểm M nằm ngoài đường tròn ( )O

kẻ hai tiếp tuyến MA và

MB

của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm) Kẻ đường kính BE của đường tròn ( )O

Gọi

F

là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn ( )O

Đường thẳng AF cắt

MO

tại điểm N. Gọi H là giao điểm của MO và AB.

1. Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn

2. Chứng minh AE//MO.

3. Chứng minh

2

MN =NF NA

4. Chứng minh MN =NH.

Lời giải

1 Ta có

Mà hai góc đối nhau nên tứ giác

MAOB

nội tiếp

2 Ta có tam giác AOE cân tại O nên

( )1

Ta lại có

2

AEO MAB= = sd AB =AOM ( )2

Từ ( )1

và ( )2

suy ra

3 Xét hao tam giác ∆MNF

và ∆ANM

có:

và

(góc so le trong, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây dung)

⇒ ∆ ∽∆

(g.g)

NA MN

MN NF

NM NF NA

4 Ta có MA MB=

(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA OB R= =

MO

⇒

là đường trung trực của AB

và HA HB= .

MAF

∆

và ∆MEA

có:

·AME

chung

µ µ

1 1

⇒ ∆ ∽∆

(g.g)

MA MF

ME MA

MA MF ME

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, ta có

2

MA =HO MH

Do đó ME MF MH MO. = .

ME MO

MH MF

⇒ ∆ ∽∆

(c.g.c)

¶ ¶

1 2

Vì ·BAE

là góc vuông nội tiếp ( )O

nên E, O, B thẳng hàng

¶ ¶

2 2

1

2sd EB

¶ ¶

1 2

¶ ¶ ¶ ¶

1 1 1 2 90

⇒ + = + = ° ⇒HF ⊥NA.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA ta có

2

NH =NF NA

NM NH

Câu 5: Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca+ + =3

và c a≤ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) (2 ) (2 )2

P

Lời giải

Cách 1: Theo đề bài ab bc ca+ + =3.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

3 2 2 2

a b c+ + ≥ ab bc ac+ + = ⇒ + + ≥a b c 3, ( )2

Từ ( )1

và ( )2 ⇒ + + ≥a b c 3abc.

Đặt

1

; 1

x a

= +

1

; 1

y b

= +

1 1

z c

= + (⇒x y z, , >0; z x≥ )

2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

P x y z xy yz xz

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy yz xz+ +

( 1) (1 1) ( 1) (1 1) ( 1) (1 1)

xy yz xz

xy yz xz

3

a b c

a b c

xy yz xz

abc a b c abc a b c

+ + + + + +

xy yz xz

abc a b c a b c a b c

3 3

4 2

P

Dấu bằng xảy ra khi x= = ⇒ = = =y z a b c 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của

3 2

P=

Cách 2: Vì a c≥ ( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2

P

( ) (2 ) (2 )2

P

Ta chứng minh đẳng thức với x y, không âm

( ) (2 )2

1

+

( ) ( 2 2 ) ( )2

1 xy x y 2 1 xy xy x y 1 xy x y 1 0

1 xy x y xy x y 1 xy x y 1 0

xy x y x y xy x y

1 0

xy x y xy

Luôn đúng, dấu " "=

xảy ra khi x= =y 1.

P

( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2

P

ab bc ac

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có

+ +  + + ÷≥

1 1 1 9

⇒ + + ≥

+ +

P

ab bc ac ab bc ac

Vậy GTNN của

3 2

P=

khi a b c= = =1.