21 TS10 hà nam 1718 HDG

Kẻ đường kính BE của đường tròn  O.. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn  O.. Đường thẳng AF cắt MO tại điểm.. N Gọi H là giao điểm của MO và AB.. Chứng minh

STT 23 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM

NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: a) Giải phương trình: x24x 3 0.

b) Giải hệ phương trình

2 3 8

3 1

x y

x y

 

�

�  

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P

có phương trình

2 2

x

y 

và đường thẳng

 d :y x m 

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol  P

biết điểm M có tung độ bằng 8.

b) Tìm m để đường thẳng  d

luôn cắt parabol  P

tại hai điểm phân biệt A, B với

 1; 1,

A x y B x y 2; 2

sao cho  1 1  2 2

33 4

Câu 3: 1 Rút gọn biểu thức A 12 75 3 7 4 3. 

2 Cho biểu thức

x B

��    ����� ��� với 0 � x 1

Rút gọn biểu thức B và tìm x nguyên dương khác 1 để

1 2

Câu 4: Cho đường tròn  O , từ một điểm M nằm ngoài đường tròn  O kẻ hai tiếp tuyến MA và

MB của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm) Kẻ đường kính BE của đường tròn  O Gọi

F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn  O

Đường thẳng AF cắt

MO tại điểm N Gọi H là giao điểm của MO và AB .

1 Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2 Chứng minh AE//MO.

3 Chứng minh MN2 NF NA. .

4 Chứng minh MN NH.

Câu 5: Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca   và 3 c a�

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2  2 2

P

STT 23 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM

NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: a) Giải phương trình: x24x 3 0.

b) Giải hệ phương trình

2 3 8

3 1

x y

x y

 

�

�  

Lời giải

a) Ta có

2 4 3 0

x1 x 3 0

�

1 0

3 0

x x

 

�

� � � 13

x x



�

� �� . Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1;3

b) Ta có

2 3 8

3 1

x y

x y

 

�

�  

�

7

2

x

x y



�

�

�� �     

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   x y;  7; 2 .

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P

có phương trình

2 2

x

y 

và đường thẳng

 d :y x m 

a) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol  P

biết điểm M có tung độ bằng 8.

b) Tìm m để đường thẳng  d luôn cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt A, B với

 1; 1,

A x y B x y 2; 2 sao cho  1 1  2 2

33 4

Lời giải

a) Với y 8

2 8 2

x

  

16

Vậy tìm được hai điểm M�4; 8  

b) Phương trình hoành độ giao điểm của  P và  d là:

2

2

x

x m

�

1 2m

�

   .

Để đường thẳng  d

luôn cắt parabol  P

tại hai điểm phân biệt

1

2

�

Theo định lý Viet ta có

1 2

1 2

2 2

x x

x x m

  

�

Lại có

1 1

2 2

y x m

y x m

 

�

�  

Từ  1 1  2 2

33 4

 1 1   2 2 

33 4

�

33

4

�

1 2 1 2

33

4

�

2 33

4

�

4

�

 

3

2

11

2

� 

�

� �



� 

Vậy

11 2

Câu 3: 1 Rút gọn biểu thức A 12 75 3 7 4 3. 

2 Cho biểu thức

x B

��    ����� ��� với 0 � x 1

Rút gọn biểu thức B và tìm x nguyên dương khác 1 để

1 2

Lời giải

1 Ta có A 12 75 3 7 4 3   2

2 3 5 3 3 2 3

     3 3 3 2   3

6. Vậy A 6.

2 Ta có

x B

��    ����� ���

B

x



B

x





2 1

B

x





1 2

2 1

x

۳

 � x1 4� ۣ x 3 x 9.

Vì x��, x 1 � �x 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 

Câu 4: Cho đường tròn  O

, từ một điểm M nằm ngoài đường tròn  O

kẻ hai tiếp tuyến MA và

MB của đường tròn (A, B là hai tiếp điểm) Kẻ đường kính BE của đường tròn  O

Gọi

F là giao điểm thứ hai của đường thẳng ME và đường tròn  O

Đường thẳng AF cắt

MO tại điểm N Gọi H là giao điểm của MO và AB .

1 Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.

2 Chứng minh AE//MO.

3 Chứng minh MN2 NF NA. .

4 Chứng minh MN NH.

Lời giải

1 Ta có MAO MBO� �  � �90 �MAO MBO� 180 � Mà hai góc đối nhau nên tứ giác

MAOB nội tiếp.

2 Ta có tam giác AOE cân tại O nên �AEO OAE � .  1

Ta lại có

2

Từ  1

và  2

suy ra �AEO�AOM � AE OM// .

3 Xét hao tam giác MNF và ANM có:

MNF  ANM

và FMN� �AEF MAN� (góc so le trong, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây dung)

MNF ANM

�

4 Ta có MA MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA OB R 

MO

� là đường trung trực của AB

AH MO

� và HA HB

MAF

 và MEA có:

�

AME chung

� �

1 1

A E

MAF MEA

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO , ta có MA2 HO MH. .

Do đó ME MF MH MO.  .

�

� ∽ (c.g.c)

� �

1 2

H E

�

Vì �BAE là góc vuông nội tiếp  O

nên E,O, B thẳng hàng

� �

2 2

E A

1

2sd EB

� �

1 2

H A

�

1 1 1 2 90

N H N A 

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA ta có NH2 NF NA.

Câu 5: Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab bc ca   và 3 c a�

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2  2 2

P

Lời giải

Cách 1: Theo đề bài ab bc ca   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có3.

3 2 2 2

3ab bc ac  �3 a b c abc 1,  1

Từ  1

và  2 �a b c  �3abc. Đặt

1

; 1

x

a





1

; 1

y b





1 1

z c



 �x y z, , 0; z x� 

2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

 2 2 2  

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của xy yz xz 

 1 1 1  1 1 1  1 1 1

xy yz xz

xy yz xz

�

3

a b c

a b c

xy yz xz

  

  

�

xy yz xz

P

Dấu bằng xảy ra khi x y z�a b c  1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của

3 2

P

Cách 2: Vì a c�   2  2  2  2  2  2 2

P

  2  2 2

P

Ta chứng minh đẳng thức với x y, không âm

  2 2

1



1  2 2  2   1 0

1xy x y 2xy2xy2x2y 2 xy x y  1 0

1xy x y  xy x y  1 xy x y  1 0

Luôn đúng, dấu " " xảy ra khi x y 1.

  2  2  2  2  2  2 2

P

  2  2  2  2 2

P

 �

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có

x y z 1 1 1 9

x y z

  �   ��

x y z x y z

 

P

 �

Vậy GTNN của

3 2

khi a b c   1.