Các dạng phương trình lượng giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGÔ THỊ THÚY ĐỀ TÀI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ K

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGÔ THỊ THÚY

ĐỀ TÀI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Định

HÀ NỘI - 2015

Mở đầu

Lượng giác là chuyên đề quan trọng trong chương trình toán phổ thông Các bàitoán lượng giác thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học,Cao đẳng

Việc giảng dạy lượng giác đã được đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung họcphổ thông, trong đó phần kiến thức về phương trình lượng giác chiếm vai trò trọngtâm Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thông, không nêu đượcđầy đủ chi tiết tất cả các dạng bài toán về phương trình lượng giác Vì vậy học sinhthường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán nâng cao về phương trình lượnggiác trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Mặc dù đã có nhiều tài liệutham khảo về lượng giác với các nội dung khác nhau, nhưng chưa có chuyên đềriêng khảo sát về phương trình lượng giác một cách hệ thống

Đặc biệt, nhiều dạng toán về đại số và lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khítvới nhau , không thể tách rời được Nhiều bài toán lượng giác cần có sự trợ giúpcủa đại số, giải tích và ngược lại, ta có thể dùng lượng giác để giải một số bài toán

về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong đại số thông qua cáchđặt ẩn phụ là những hàm lượng giác

Do đó, để đáp ứng nhu cầu về giảng dạy, học tập và góp phần nhỏ bé vào sự

nghiệp giáo dục, luận văn “ Các dạng phương trình lượng giác” nhằm hệ thống

các kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác, đồng thời kết hợp với các kiếnthức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương pháp giải

phương trình và xây dựng một số lớp bài toán mới

Luận văn được chia làm 2 chương

Chương I Các dạng phương trình lượng giác

- Hệ thống lại các dạng phương trình lượng giác cơ bản

- Đưa ra một số mẹo để giải phương trình lượng giác

- Đưa ra cách giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực

Chương II Ứng dụng

- Trình bày một số ứng dụng của lượng giác trong một số dạng toán đại số

- Nêu các ví dụ minh họa đối với từng dạng toán

- Nêu một số bài tập ứng dụng

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS Lê Đình Định,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN Từ đáy lòng mình, tôi xin được bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn nhiệttình, chu đáo của thầy trong suốt thời gian tôi thực hiện luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Cô giáo trong khoaToán – Cơ – Tin, phòng Sau Đào Tạo Trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên – ĐHQGHN,đặc biệt là những Thầy Cô giáo đã từng giảng dạy ở lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015.Cảm ơn Thầy Cô đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập tại khoa Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán PPTSC,khóa học 2013 - 2015 đã động viên, giúp tôi có cơ hội thảo luận và trình bày về một

số vấn đề trong luận văn của mình

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình và bạn bè đãluôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắcrằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được

sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015

Học viên

Ngô Thị Thúy

Mục lục

1.1 Các phương trình lượng giác cơ bản 5

1.1.1 Dạng phương trình 5

1.1.2 Cách giải và biện luận 5

1.1.3 Các công thức lượng giác 7

1.1.4 Các ví dụ 10

1.1.5 Bài tập 12

1.2 Phương trình hạ bậc bậc 2 13

1.2.1 Dạng phương trình 13

1.2.2 Cách giải và biện luận 13

1.2.3 Các ví dụ 13

1.2.4 Bài tập 15

1.3 Phương trình bậc nhất dạng a cos x + b sin x = c 17

1.3.1 Dạng phương trình 17

1.3.2 Cách giải và biện luận 17

1.3.3 Các ví dụ 17

1.3.4 Bài tập 21

1.4 Phương trình bậc hai dạng a(f (x))2 + bf (x) + c = 0 23

1.4.1 Dạng phương trình 23

1.4.2 Cách giải 23

1.4.3 Các ví dụ 23

1.4.4 Bài tập 25

1.5 Phương trình đẳng cấp theo sin x và cos x 27

1.5.1 Dạng phương trình 27

1.5.2 Cách giải 27

1.5.3 Các ví dụ 27

1.5.4 Bài tập 29

1.6 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x 31

1.6.1 Cách giải 31

1.6.2 Các kiến thức cần nhớ 31

1.6.3 Các ví dụ 31

1.6.4 Bài tập 33

1.7 Một số mẹo lượng giác 33

1.7.1 Đổi biến cos 2x = t hoặc sin 2x = t 33

1.7.2 Đổi biến t = sin x ± cos x 35

1.7.3 Đổi biến t = tanx 2 . 37

1.7.4 Bài tập 39

1.7.5 Đổi biến t = af (x) ± b f (x) với ab > 0, trong đó f (x) là hàm lượng giác hoặc biểu thức lượng giác 40

1.7.6 Bài tập 43

1.8 Phương trình lượng giác bậc cao 44

1.8.1 Dạng phương trình 44

1.8.2 Cách giải 44

1.8.3 Các ví dụ 44

1.8.4 Bài tập 47

1.9 Phương trình tích 49

1.9.1 Dạng phương trình 49

1.9.2 Cách giải 49

1.9.3 Các ví dụ 49

1.9.4 Bài tập 52

1.10 Các dạng phương trình không chính tắc 53

1.10.1 Phương pháp ước lượng 2 vế 53

1.10.2 Biến đổi vế trái của phương trình f (x) = 0 về tổng các hạng tử cùng dấu 56

1.10.3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình lượng giác 57

1.10.4 Dùng hàm số để giải phương trình lượng giác 61

2 ỨNG DỤNG 65 2.1 Ứng dụng lượng giác để chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức 65

2.1.1 Ví dụ 65

2.1.2 Bài tập 72

2.2 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình đại số, bất phương trình đại số 74 2.2.1 Ví dụ 75

2.2.2 Bài tập 81

2.3 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình 82

2.3.1 Ví dụ 82

2.3.2 Bài tập 85

2.4 Ứng dụng lượng giác trong bài toán cực trị 86

2.4.1 Ví dụ 86

2.4.2 Bài tập 88

2.5 Nhận dạng tam giác 90

2.5.1 Ví dụ 90

2.5.2 Bài tập 94

2.6 Cực trị tam giác 95

2.6.1 Ví dụ 95

2.6.2 Bài tập 100

sin x = m; cos x = m; tan x = m.

Phương trình cot x = m ↔ tan x = 1

m(m 6= 0) Nhưng vì phương trình hay gặp nên taviết luôn nghiệm của nó để tiện sử dụng

1.1.2 Cách giải và biện luận

1 Phương trình sin x = m

Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm là:

y = (π − arcsin m) + 2kπ (k ∈ Z)Hay gộp nghiệm ta được x = (−1)karcsin m + kπ, k ∈ Z

Trong đó arcsin m là cung α ∈h−π

2;

π2

Ví dụ 1 Giải phương trình: sin 3x = 1

2.Giải

x = 5π

18 +

2kπ3(k ∈ Z)

2 Phương trình cos x = m

• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm là x = ± arccos m + 2kπ(k ∈ Z).Trong đó arccos m là cung α ∈ [0; π] mà cos α = m

2 .Giải

3 Phương trình tan x = m (cos x 6= 0)

Phương trình có nghiệm x = arctan m + kπ Trong đó arctan m là cung α ∈ (−π

5 , (k ∈ Z)

4 Phương trình cot x = m (sin x 6= 0)

Phương trình có nghiệm x = arccot m + kπ Trong đó arccot m là cung α ∈ (0; π) màcot α = m

Ví dụ 4 Giải phương trình: cot 4x = 1

• Nếu sin x = sin a thì nghiệm là x = a + k2π hoặc x = (π − a) + k2π (k ∈ Z)

• Nếu cos x = cos a thì nghiệm là x = ±a + k2π (k ∈ Z)

• Nếu tan x = tan a thì nghiệm là x = a + kπ (k ∈ Z)

• Nếu cot x = cot a thì nghiệm là x = a + kπ (k ∈ Z)

Ví dụ 5 Giải phương trình cos 2x = sin 3x

2 + k2π

10+ k

2π5

2 − 2kπ (k ∈ Z)

1.1.3 Các công thức lượng giác

Giải phương trình lượng giác là dùng các công thức lượng giác để biến đổi tương đươngphương trình về dạng các phương trình cơ bản

Chú ý là trong lượng giác có 3 công thức cơ bản sau:

(1) sin2x + cos2x = 1∀x

(2) sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a và cos(a ± b) = cos a cos b ± sin a sin b

(3) tan x = sin x

cos x (cos x 6= 0).

Các công thức khác đều suy được từ 3 công thức trên Chẳng hạn nên lưu ý các côngthức sau:

(4) Công thức góc nhân đôi

Trong (2) cho a = b = x ta được:

sin 2x = 2 sin x cos xcos 2x = cos2x − sin2xLại lưu ý (1) và (3) ta được:

cos 2x = 2 cos2x − 1 = 1 − 2 sin2xtan 2x = sin 2x

cos 2x =

2 sin x cos xcos2x − sin2x = 2 tan x

1 − tan2x(chia cả tử số và mẫu số cho cos2x)

(5) Công thức chia đôi

2 tanx2

2(7) Công thức nhân ba

Trong (2), cho a = 2x, b = x và dùng công thức (4) ta được:

sin 3x = −4 sin3x + 3 sin xcos 3x = 4 cos3x − 3 cos x

(8) Biến đổi tổng thành tích

x − y2cos x + cos y = 2 cosx + y

x − y2cos x − cos y = −2 sinx + y

2 − x) = sin xtan(π

2 − x) = cot xcot(π

2 − x) = tan xsin(π

2 + x) = cos xcos(π

2 + x) = − sin xtan(π

2 + x) = − cot xcot(π

2 + x) = − tan xsin(x + 2π) = sin xcos(x + 2π) = cos xtan(x + π) = tan xcot(x + π) = cot xsin[x + (2k + 1)π] = − sin xcos[x + (2k + 1)π] = − cos xtan[x + (2k + 1)π] = tan xcot[x + (2k + 1)π] = cot x

1.1.4 Các ví dụ

Ví dụ 6 Giải phương trình:

8 sin x =

√3cos x +

1sin x (*)Giải

Điều kiện: cos x 6= 0

sin x 6= 0 ⇔ sin 2x 6= 0 ⇔ 2x 6= lπ ⇔ x 6= lπ

2, l ∈ Z (**)Với điều kiện (**) thì:

⇔ 8 sin2x cos x =√

3 sin x + cos x

⇔ 4(1 − cos 2x) cos x =√3 sin x + cos x

⇔ 3 cos x − 4 cos 2x cos x −√3 sin x = 0

⇔ 3 cos x − 2(cos 3x + cos x) −√3 sin x = 0

⇔ cos x −√3 sin x = 2 cos 3x

2cos x −

√3

Cả 2 nghiệm này đều thỏa mãn (**)

Kết luận: Vậy phương trình (*) có nghiệm là: x = π

3 sin x cos x + 2 cos2x − 1 = 2 cos x − 1

⇔2 cos x(√3 sin x + cos x − 1) = 0

⇔ cos x = 0 hoặc√3 sin x + cos x − 1 = 0

⇔ cos x = 0 hoặc

√3

2 sin x +

1

2cos x =

12

⇔ cos x = 0 hoặc cosx − π

3



= cosπ3

4 .Giải

Theo công thức ta có:

cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x

⇒ cos3x = cos 3x + 3 cos x

4Tương tự:

sin 3x = 3 sin x − 4 sin3x

⇒ sin3x = − sin 3x + 3 sin x

4Vậy phương trình đã cho có thể viết dưới dạng:

⇔ cos32x =

√24

⇔ cos 2x =

√22

⇒ 2x = ±π

4 + 2kπ

⇒ x = ±π

8 + kπ (k ∈ Z)

tan2x = 1 − cos |x|

1 − sin |x|.Bài 6

tan2x = 1 − cos

3x

1 − sin3x.Bài 7

cos34x = cos 3x cos3x + sin 3x sin3x

1.2 Phương trình hạ bậc bậc 2

1.2.1 Dạng phương trình

sin2 = a hoặc cos2 = a

1.2.2 Cách giải và biện luận

Dùng công thức hạ bậc ta đưa về các dạng phương trình cơ bản:

⇔ cos 2x = −

√32

cos2x = sin23x

⇔ 1 + cos 2x

1 − cos 6x2

⇔ cos 6x = − cos 2x

⇔ cos 6x = cos(2x + π)

⇔ 6x = ±(2x + π) + 2kπ

Nếu 6x = 2x + π + kπ thì ta được x = π

4 + k

π

2 (k ∈ Z) ta cần chọn k để sin 3x =sin 3π

Muốn vậy ta chọn k sao cho x biến thiên trên [0, 2π] mà sin 3x ≤ 0 Kết quả nhận được

ta cộng thêm 2nπ (một số nguyên chu kỳ)

Với k = 0, x = π

4 ⇒ sin 3x = sin3π

4 > 0 (loại)Với k = 1, x = 3π

4 ⇒ sin 3x = sin π

4 > 0 (loại)Với k = 2, x = 5π

4 ⇒ sin 3x = sin(−π

2) < 0 (thích hợp)Với k = 3, x = 7π

4 ⇒ sin 3x = sin(−3π

4 ) < 0 (thích hợp)Vậy trong trường hợp này phương trình có các nghiệm:

4(k ∈ Z) Tương tự trên ta cho

k = 0; 1; 2; 7 với k = 0; 2; 3; 5 thì thích hợp Vậy trong trường hợp này phương trình

(2m − 1)cos2x + 2msin2x + 3m − 2 = 0

⇔ (m − 1)cos2x = 2 − 4m (2)Nếu m = 1, thế vào phương trình (2) ta được:

0.cos2x = −1 (vô lý)Nếu m 6= 1, thế vào phương trình (2) ta được:

m > 1thì phương trình (3) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm

Phương trình đã cho tương đương với:

1 + cos 12x

cos 8x5

⇔ cos12x

5 = cos

8x5

x = kπ2

6) cot 2x = tan2x + 2 tan 2x+ 1

7) (ĐHQGHN/96): tan2x − 2 tan x tan 3x = 2

Bài 10 Giải hệ phương trình:

sin2x = cos x cos ycos2x = sin x sin yBài 11 (HVQHQT/1996) Tìm GTLN và GTNN của hàm số:

y = 4 sin2x +√

2 sin

2x + π4

.Bài 12 Cho phương trình:

2(5m − 1) sin22x + 3m cos 4x + m − 5 = 0a) Biện luận số nghiệm x ∈−π

6;

π2

icủa phương trình trên

b) Xác định m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x ∈



−π

3;

π12

.Bài 13 Giải phương trình sau:

5 cos2x + sin2x = 4

1.3 Phương trình bậc nhất dạng a cos x+b sin x = c

1.3.1 Dạng phương trình

a cos x + b sin x = c

1.3.2 Cách giải và biện luận

1) Nếu a2+ b2 = 0 ⇒ a = b = 0, phương trình trở thành:

0 cos(x) + 0 sin(x) = c ⇒ c 6= 0, vô nghiệm hoặc c = 0, nghiệm là ∀x

2) Nếu a2+ b2 > 0, chia 2 vế cho √

Ví dụ 13 Cho phương trình sin x + m cos x = 1

1) Giải phương trình trên với m = −√

3

2) Tìm m để phương trình trên vô nghiệm

3) Tìm m để mọi nghiệm của phương trình trên cũng là nghiệm của phương trình sau:

m sin x + cos x = m2

Giải1) m = −√

2 cos x =

12

⇔ sinx − π

3



= sinπ6

2) Phương trình đã cho tương đương với:

3) Gọi x0 là nghiệm chung của 2 phương trình trên Khi đó ta có hệ phương trình:

sin x0+ m cos x0 = 1(1)

m sin x0+ cos x0 = m2(2)

Từ (1) ⇒ sin(x0) = 1 − m cos(x0), thế vào (2) ta được:

m(1 − m cos x0) + cos x0 = m2

⇔ (m2 − 1) cos x0 = −m(m − 1)

• Với m = −1, ta được 0 = −1 (loại)

• Với m = 1, thì 2 phương trình ban đầu trùng nhau Vậy m = 1 thích hợp

• Với m 6= ±1, ta được cos x0 = − m

m + 1.Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi |− m

m + 1| ≤ 1, lại có sin x0 = 1−m cos x0 =

Kết luận: với m = 0 hay m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 14 (ĐHKD - 2007) Giải phương trình: (sinx

Phương trình đã cho tương đương với:

2 cos x =

12

⇔ sinx +π

3



= sinπ6

√3

GiảiĐiều kiện xác định:

( sin x 6= 1sin x 6= −1

2Phương trình đã cho tương đương với:

2 sin x =

1

2sin x +

√3

2 + k2π loại vì không thỏa mãn điều kiện xác định Nên nghiệm củaphương trình là:

⇔ 42+ 32 ≥ y2

⇔ 25 − y2 ≥ 0

⇔ −5 ≤ y ≤ 5

Vậy ymax = 5 và ymin = −5.

Ví dụ 17 Tìm GTNN, GTLN của hàm số sau:

y = sin x + cos x − 1sin x − cos x + 3Giải

Hàm số đã cho tương đương với:

y(sin x − cos x + 3) = sin x + cos x − 1

Ta có: 3 sin x + 4 cos y = 5 ≤√

32+ 42+√

sin2x + cos2x ⇔ 3 sin x + 4 cos x ≤ 5

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin x

cos x

4 ⇔ tan x = 3

4.Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ đã cho ta được:

3 sin x + 4 cos y + 3 sin y + 4 cos x = 10

⇔ (3 sin x + 4 cos x) + (3 sin y + 4 cos y) = 10

Vì (3 sin x + 4 cos x) + (3 sin y + 4 cos y) ≤ 5 + 5 = 10 nên phương trình trên tươngđương với hệ

4

⇔x = α + kπ

y = α + kπ (k ∈ Z)

với α = arctan3

Ví dụ 19 Giải phương trình:

25 sin2x − 33 sin x − 4 cos x + 14 = 0

GiảiPhương trình đã cho tương đương với:

3 sin x + 4 cos x = 25 sin2x − 30 sin x + 14

⇔ 3 sin x + 4 cos x = 5 + (5 sin x − 3)2

Nhận thấy: vế trái ≤ 5, vế phải ≥ 5

Vậy dấu = xảy ra khi

3) sin x + 2 sin 2x = 3 + sin 3x

Bài 15 Chứng tỏ rằng phương trình sau vô nghiệm:

sin x − 2 sin 2x − sin 3x = 2√

2

Bài 16 (ĐHKB-2009) Giải phương trình:

sin x + cos x sin 2x +√

3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3x).Bài 17 Tìm m để phương trình

2 sin x + m cos x = 1 − m có nghiệm thực h−π

2;

π2

i.Bài 18 (ĐHNNI-1995) Giải phương trình:

q

2 + cos 2x +√

3 sin 2x = sin x +√

3 cos x.Bài 19 (TN-1998) Giải phương trình:

2 cos2(π

2 cos

2

x) = 1 + cos(π sin 2x).Bài 20 Cho phương trình:

2(m − 1) sin x + 4m2cos x = 3

cos xtìm m để phương trình trên có đúng 2 nghiệm thuộc0;π

4

.Bài 21 Tìm GTNN, GTLN của các hàm số sau:

1) y = √ sin x

5 + cos x.

2) y = sin6x + cos6x + sin 4x

Bài 22 Giải phương trình sau:

√2| sin x + cos x| = tan x + cot x

1.4 Phương trình bậc hai dạng a(f (x))2 + bf (x) +

Ví dụ 20 Cho phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0

a, Giải phương trình với m = 3

2.

b, Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ π

2;

3π2

.Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

2 > 1 (loại), còn lại nghiệm:

thì cos x < 0 ⇒ −1 ≤ m < 0

Chia cả hai vế của phương trình cho sin2x 6= 0 ta được:

3cos

2xsin4x + 2

√

2 = (2 + 3√

2)cos xsin2xĐặt t = cos x

sin2x và chuyển vế ta được:

3t2− (2 + 3√2)t + 2√

2 = 0Xét ∆ = (2 + 3√

Nếu t = 2

3 thì:

cos xsin2x =

23

√2

Ví dụ 22 (ĐHTCKT-KA/2001) Giải phương trình:

sin2x + sin23x − 3 cos22x = 0

Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

⇔ 2 cos32x + 3 cos22x − cos 2x − 1 = 0

⇔ (2 cos 2x + 1)(cos22x + cos 2x − 1) = 0

⇔ 2 cos 2x + 1 = 0 hoặc cos22x + cos 2x − 1 = 0

sin 2x.Bài 24 Cho phương trình:

(m − 1) sin2x + 2(3m + 2) sin x − 4 = 01) Tìm m để phương trình trên có nghiệm

2) Xác định m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm x ∈hπ

6; π

i

Bài 25 Giải phương trình:

2 + cos x = 2 tanx

2.Bài 26 Giải phương trình

3 sin 2x − 2 sin x

sin 2x cos x = log7−x22.

b) cos 2x + 2 cos x + sin2x + 1 = 0

Bài 28 Cho phương trình:

1

2cos 4x +

4 tan x

1 + tan2x = ma) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình vô nghiệm

Bài 29 (ĐHNNHN-KD/2001) Giải phương trình:

cos 3x cos3x − sin 3x sin3x = cos34x + 1

4.

1.5 Phương trình đẳng cấp theo sin x và cos x

1.5.1 Dạng phương trình

1, Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sin x, cos x là phương trình có dạng:

a sin2x + b sin x cos x + c sin2x + d = 0

2, Phương trình đẳng cấp bậc 3 theo sin x, cos x là phương trình dạng:

a sin3x + b sin2x cos x + c sin x cos2x + d cos3x = 0

3, Phương trình đẳng cấp bậc n theo sin x, cos x là phương trình dạng:

ansinnx + an−1sinn−1x cos x + + a1sin x cosn−1x + a0cosnx = 0

Vậy sin2x 6= 0, chia cả 2 vế cho sin2x 6= 0, ta được:

mãn điều kiện x1+ x2 6= π

2 + kπ(k ∈ Z) Hãy tính cos 2(x1+ x2)

GiảiĐiều kiện: cos x 6= 0 Chia cả 2 vế của phương trình cho cos x và đặt t = tan x ta đượcphương trình:

Với t = 2 ⇒ tan x = 2 ⇒ x = arctan 2 + kπ(k ∈ Z)

2, Với m = 0 thì ta có: −1 = 0 (vô lý), suy ra m = 0 phương trình vô nghiệm

Với m 6= 0, để phương trình có nghiệm thì:

2 + kπ, k ∈ Z nên 1 − tan x1tan x2 6= 0

Vậy biểu thức tan(x1+ x2) = tan x1+ tan x2

1 − tan x1tan x2 có nghĩa.

Áp dụng định lý Viet cho phương trình: m tan2x − m tan x − 1 = 0

Với m ≤ −4 hoặc m > 0 ta được:

tan x1+ tan x2 = 1, tan x1tan x2 = −1

m ⇒ tan(x1+ x2) = 1

1 −



−1m

m + 1

2

1 +

m

sin3x −√

3 cos3x = sin x cos2x −√

3 sin2x cos x

GiảiNếu cos x = 0, thay vào phương trình ta được sin3x = 0 hay sin x = 0 (vô lý) (vìcos x = 0 ⇒ sin x = ±1) Vậy cos x 6= 0, chia cả 2 vế cho cos3x 6= 0 ta được:

= 5

2(sin 2x − cos 2x) −

52

= 5

√2

2 sin

2x −π4



− 52Vậy

ymax = 5

√2

2 xảy ra khi sin

2x −π4

2 xảy ra khi sin

2x −π4



= −1 ⇔ x = −π

8 + kπ (k ∈ Z)

1.5.4 Bài tập

Bài 30 Giải các phương trình sau

1, (ĐHDL Phương Đông /94) 25 sin x + 9 cos x = 9

cos x.

2, (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ/2000) cos2x −√

3 sin 2x = 1 + sin2x

Bài 31 Chứng minh rằng hàm số

y = sin2x − 14 sin x cos x − 5 cos2x + 3√3

33 chỉ nhận giá trị dương

Bài 32 Cho phương trình

(4 − 6m) sin3x + 3(2m − 1) sin x + 2(m − 2) sin2x cos x − (4m − 3) cos x = 0

a, Giải phương trình với m = 2

b, Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm x ∈h0;π

4

i.Bài 33 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1, y = 3 sin2x + 4 sin x cos x − 5 cos2x + 2

2, y = 5 sin2x + 3 sin x cos x + cos2x

3, y = sin2x + 2 sin y cos y + cos2y

4, y =√

a cos2x + b sin2x + c +√

a sin2x + b cos2x + ctrong đó a, b, c là 3 số dương cho trước



Bài 35 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

(m + 3) sin2x + (m + 3) sin x cos x + cos2x = 0

1.6 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x

2Các hằng đẳng thức:

Phương trình đã cho tương đương với:

(sin2x + cos2x)3− 3 sin2x cos2x(sin2x + cos2x) = 1

25.Suy ra ymin = 1

Ví dụ 30 Giải phương trình sau:

4(sin6x + cos6x) + 2(sin4x + cos4x) = 8 − 4 cos2x

GiảiPhương trình đã cho tương đương với:

x = −π

12+

kπ2(k ∈ Z)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ±π + kπ (k ∈ Z)

1.6.4 Bài tập

Bài 36 Giải các phương trình sau

1) sin8x + cos8x = 1

8.2) sin6x + cos6x = 1

7) sin

10x + cos10x

sin6x + cos6xsin22x + 4 cos22x.Bài 37 Tùy theo giá trị của m, hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số:

y = sin4x + cos4x + m sin x cos x

Bài 38 Xác định a để phương trình sau có nghiệm:

sin6x + cos6x = a| sin 2x|

Bài 39 Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm:

 cos x = a cos3ysin x = a sin3y

1.7 Một số mẹo lượng giác

Nên chú ý một số phép biến đổi lượng giác sau (gọi là mẹo lượng giác)

1.7.1 Đổi biến cos 2x = t hoặc sin 2x = t

• Nếu trong bài toán lượng giác chỉ có sin2x, cos2x và sin 2x thì đổi biến sin 2x =

(sin2x + cos2x)3− 3 sin2x cos2x(sin2x + cos2x) = 1

.Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

cos 2x(cos 2x + cos 4x) + m = 7 cos 2x

⇔ cos 2x(cos 2x + 2 cos22x − 1) + m = 7 cos 2x

⇔ 2 cos32x + cos22x − 8 cos 2x + m = 0Đặt t = cos 2x (−1 ≤ t ≤ 1), khi đó phương trình trở thành:

2t3+ t2− 8t + m = 0a) Với m = −7, phương trình trở thành:

2t3+ t2− 8t − 7 = 0

⇔ (t + 1)(2t2− t − 7) = 0

⇔ t = −1 (thỏa mãn) hoặc t = 1 +√74 (loại)

Với t = −1 ⇒ cos 2x = −1 ⇒ 2x = π + k2π ⇒ x = π

2 + kπ (k ∈ Z)b) Khi x ∈



−3π

8 ; −

π8

thì 2x ∈



−3π

4 ; −

π4

.Xét hàm f (t) = 2t3+ t2− 8t ⇒ f0(t) = 6t2+ 2t − 8

f0(t) = 0 ⇒ t = 1 hoặc t = −4

3.Đặt A = f

√2

 Ta nhận thấy f (t) = −m, để t ∈

thì

m ∈ [B; A] Ta lập bảng biến thiên:

nên không có giá trị nào của m thỏa mãn

1.7.2 Đổi biến t = sin x ± cos x

Vì t2 = (sin x + cos x)2 = sin2x + cos2x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x, nên nếu trong bàitoán lượng giác chỉ có sin x + cos x và sin 2x thì đặt sin x + cos x = t

Tương tự t2 = (sin x + cos x)2 = sin2x + cos2x + 2 sin x cos x = 1 − sin 2x, nên nếutrong bài toán lượng giác chỉ có sin x − cos x và sin 2x thì đặt sin x − cos x = t

Ví dụ 33 (ĐHDL Đông Đô/96) Cho phương trình

sin 2x + 4(cos x − sin x) = m

a, Giải phương trình với m = 4

b, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm

GiảiĐặt t = cos x − sin x (−√

a, Với m = 4 ta được phương trình:

sin x

cos x +

cos xsin x =

√2(sin x + cos x)(Điều kiện xác định: sin 2x 6= 0)

sin 2x =

√2(sin x + cos x)Đặt t = sin x + cos x (−√

2 ≤ t ≤√

2)

⇒ sin x cos x = t

2− 12

⇒ sin 2x = t2− 1

Thay vào phương trình ta được:

2

t2 − 1 =

√2t

2 6= 0 (x 6= (2k + 1)π, k ∈ Z)

Vì vậy, cần xét xem cosx

2 = 0 có là nghiệm của phương trình xuất phát hay không?

Ví dụ 35 Giải phương trình: sin 2x + tan x = 2

Giải

4 + kπ, k ∈ Z.

Ví dụ 36 Cho phương trình:

√3m sin x + (2m − 1) cos x = 3m + 1 (1)Xác định m để phương trình (1) có nghiệm x ∈

0;π2

.Giải

√3

⇒ −5 ≤ f (t) ≤ 2

−6 + 2√3

Do đó để (1) có nghiệm x ∈

h0;π2

thì (2) có nghiệm t ∈ (0; 1):



−3 +√3

thì thỏa mãn đề bài

2(m − 1) sin x + 4m2cos x = 3

cos x.Xác định m để phương trình trên có đúng 2 nghiệm x ∈

h0;π4

.Bài 42 Cho phương trình:

i

b, Gọi 2 nghiệm đó là x1, x2 Tính H = cos 2(x1− x2)

Bài 43 Xác định m để 2 phương trình sau là tương đương

của phương trình

(3m + 1) sin x + 2m cos x = 2m + 1.Bài 45 (Thái Nguyên/1998) Giải phương trình