skkn 2013 2014 về các dạng phương trình vô tỷ ở môn toán 9

IV.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Ở THCS 1. PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế của phương trình lên luỹ thừa n. Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả vế của phương trình không âm. Rất nhiều bài toán phù hợp với kiểu nâng lên lũy thừa,khử bớt dấu căn để từ đó ta đưa ra cách giải phù hợp.Sau đây là một số dạng 1.1 Dạng 1: Phương pháp giải: Ví dụ 1 Giải phương trình: .a. Giải phương trình: x=27 1.b. Giải phương trình: (1) HD:ĐK: (1) (1) x=6(Thỏa mản ĐK) Vậy x=6 1.2 Dạng 2: Phương pháp giải  Ví dụ 2. Giải phương trình: a. Giải phương trình: (1) (Đề thi HSG Huyện 20062007) Giải: (1)  Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 b. Giải phương trình: (1) Nhận xét: Trước hết ta chuyển vị trí các số hạng trong phương trình một cách hợp lý và tìm ra mối liên hệ giữa biểu thức ngoài căn và biểu thức trong căn, từ đó suy ra cách giải. Lời giải: ĐKXĐ: (1) Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 c Giải phương trình:. Nhận xét: Khi bình phương lên sẽ gặp phương trình bậc cao.Ta sẽ vận dụng các phương pháp giải phương trình bậc cao để giải,chú ‎‎ y cách giải đoán nghiệm và phann tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng tích Giải:ĐK x 2 Bài tập tự giải 1. = x 2 2. = x+ 1 1.3Dạng 3: (1) Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình: f(x) > 0 g(x) > 0 (2) h (x) > 0 Với điều kiện V (2) hai vế của phương trình (1) không âm nên bình phương vế của phương trình (1) rồi rút gọn ta được: (3) Phương trình (3) có dạng 1 nên giải theo phương pháp của dạng 2. Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện rồi kết luận nghiệm. Ngoài ra một số phương trình tương tự như dạng 3(Có cách giải giống nhau): Phương trình Phương trình :

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hìnhứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoahọc lí thuyết và khoa học ứng dụng Vì vậy, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh làmột vấn đề quan trọng trong dạy học, nó phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên,liên tục và có hệ thống qua tất cả các lớp học, cấp học

Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bàitập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phươngpháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo đểdần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách

Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giảitoán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối vớinhững học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán

Trong chương trình Toán bậc THCS, chuyên đề về phương trình là một trong nhữngchuyên đề xuyên suốt 4 năm học của học sinh Trong những vấn đề về phương trình,phương trình vô tỉ lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡngàng và bối rối khi giải các loại phương trình này Trong khi đó giáo viên khi dạy phươngtrình vô tỉ thì ít khai thác phân tích đề bài, mở rộng bài toán mới,hệ thống bài tập ở SGKnghèo nàn dẫn đến học sinh khi gặp bài toán về giải phương trình vô tỉ là lúng túng hoặcchưa biết cách giải hoặc giải được nhưng chưa chặt chẽ Thực ra, đây cũng là một trongnhững vấn đề khó Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi thì đây làmột trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua

Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, bản thân đã được bồi dưỡng đội tuyểnhọc sinh giỏi Toán tham dự kì thi cấp Huyện, tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này Vấn đề đặt

ra là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các loại phương trình vô tỉ? Vàkhi gặp bất cứ một dạng toán nào về phương trình vô tỉ các em cũng có thể tìm ra cách giảimột cách tốt nhất?

Với tất cả những lí do nêu trên Tôi quyết định chọn đề tài “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ” trong khuôn khổ chương trình bậc THCS

Nhằm góp phần cùng đồng nghiệp để rèn luyện kỷ năng giải toán cho học sinh, phát triển

tư duy sáng tạo và tính linh hoạt trong quá trình giải bài tập toán.với mục đích:

Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thứcđã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp giảng dạy phầnnày có hiệu quả

+ Trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phương trình vô tỉ nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phương trình vô tỉ.

II.PHẠM VI-ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu:

a Các tài liệu từ đồng nghiệp,từ mạng internet,các chuyên đề của Phòng,trường,

b Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Hợp Thành(Chủ yếu ở Khối 9)

Trong đề tài được đưa ra một số phương trình vô tỉ cơ bản phù hợp với trình độ của họcsinh THCS

Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản áp dụng để làmbài tập

Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơbản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phộp biến đổi đại số Học sinhbiết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp Rút

ra một số chú ý khi làm từngphương pháp Chọn lọc một số bài tập hay gặp phù hợpcho từng phương pháp giải, cách biến đổi Vận dụng giải các bài toán có liên quan

đến phương trình vô tỉ “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong

giải toán.Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho họcsinh

hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu.

Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiết thực,giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạthiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi vàgiáo viên giỏi ở các trường THCS

III TÌNH HÌNH THỰC TẾ

1.Kết quả tình trạng khi chưa thực hiện đề tài:

Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 40 học sinh ở mức độ đề vừa phải tôi thấy kết quả tiếp thu về giải phương trình vô tỉ như sau:

2 Nguyên nhân của thực tế trên:

Đây là dạng toán tương đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh chưa đượctrang bị các phương pháp giải, nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không cólối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các em càngkhó giải quyết

IV.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Ở THCS

1 PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA

Để làm mất căn bậc n thì ta nâng cả 2 vế của phương trình lên luỹ thừa n Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện được khi cả vế của phương trình không âm

Rất nhiều bài toán phù hợp với kiểu nâng lên lũy thừa,khử bớt dấu căn để từ đó ta đưa ra cách giải phù hợp.Sau đây là một số dạng

1.1 Dạng 1: f x( )  g x( )

Phương pháp giải:

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

Khi bình phương lên sẽ gặp phương trình bậc cao.Ta sẽ vận dụng các phương pháp giảiphương trình bậc cao để giải,chú y cách giải đoán nghiệm và phann tích đa thức thànhnhân tử để đưa phương trình về dạng tích

2

) ( ) ( )]

( [ ) ( ).

(

2 f x g x x

h x g x

Phương trình (3) có dạng 1 nên giải theo phương pháp của dạng 2.

Đối chiếu nghiệm tìm được của (3) với điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Ngoài ra một số phương trình tương tự như dạng 3(Có cách giải giống nhau):

- Phương trình f x( )  g x( )  h x( )

- Phương trình : f (x)  g(x)  h(x)  k(x)

Ví dụ 3

a Giải phương trình: x 5 1    x 2  (Đề thi HSG huyện năm 2012-2013)

Nhận xét: Hai vế là số dương,ta bình phương 2 vế

x 5 1    x 2   x 5 1 x 2 2 x 2        x 2 1    x  1

2 1 0 (2 1) 2 3 1

x x

x x

0 2

0 10

0 1

x x

)(

1

(x x = 1- x

Điều kiện ở đây là x  -1 (4)

Ta chỉ việc kết hợp giữa (2) và (4)

x x

 x = 1 là nghiệm duy nhầt của phương trình (1)

Muốn để khử căn bậc ba, ta lập phương hai vế để được phương trình tương đương,dựa vào cấu trúc bài toán để đưa ra phương pháp giải phù hợp

6

Do phép biến đổi từ (1) sang (2) là phép biến đổi hệ quả nên ta phải thử lại để tìm nghiệmđúng của phương trình.

Ta thấy x = 0 không thoả (1) còn x = 7

3

4 4

3

x x

x x

 





 0 2

x x

Với x = 2 hoặc x = 0 đều là nghiệm của phương trình (đều thoả mãn x  4 )

c Cho phương trình 1 3

4

x  x x a  ( a là tham số)

- 1.Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa

- 2.Tìm a để phương trình có nghiệm.Tìm x theo a

34

Phương trình tương đương: x 2 + x 4 = 5

 (x - 5)2 = 0  x = 5 giá trị này thoả mãn x  2 nên là nghiệm

- Nếu 1  x < 2 thì phương trình tương đương với:

2 = x 3

2

  x = 1 thoả mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và x =1

Trong trường hợp này phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

3.PHƯƠNG PHÁP 3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.

Phương pháp đặt ẩn phụ giúp chúng ta đưa phương trình phức tạp,chứa căn,lũy thừa bậc cao về dạng phương trình,hệ phương trình đơn giản hơn mà ta đã có phương pháp giải.Có nhiều cách đặt ẩn phụ ,mỗi dạng toán có thể có một cách đặt khác nhau,nhưng để đơn gianvà dễ nhận biết ta có thể phân loại các cách đặt ẩn phụ như sau

-Nhận xét:+ ở phương trình này nếu bình phương 2 vế sẽ đưa về một phương trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó

+ Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan:x2  3x2

x t

Vậy nghiệm của phương trình là: x1  1;x2,3   1 2 2

Nhận xét: Nếu phương trình có dạng:

Khi đó phương trình trở thành: t n  t a b  0

Đến đây có nhiều cách hạ bậc, phân tích thành phương trình tích

0 1

x x

x x

 -1 = x = 3 Đặt x 1 + 3  x = t  0  t2 = 4 + 2 (x 1 )( 3  x)

0

t t

+ Với t = 0 phương trình vô nghiệm

+Với t = 2 thay vào (2) ta có: (x 1 )( 3  x) = 0  x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn)Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = 3

Nhận xét:3 ví dụ trên tuy khác nhau nhưng cách giải vẫn có nhiều nét giống nhau,thông qua đó tự định hình cách giải khi gặp bài toán tương tự nhé

3.1.2 Biến đổi phương trình ,tìm mối liên hệ của biểu thức để đặt ẩn phụ

Bình phương hai vế, chuyển vế, rút gọn ta được:

Đối chiếu ĐKXĐ, thì x = 9 và x = -2 là hai nghiệm của phương trình

3.1.3Biến đổi ẩn chính qua ẩn phụ,đưa về phương trình tích với ẩn phụ

0 4 4 2 2

t

t  



 1 5

0 1

u u

+ Nếu:u 1  0  u 1 ( thoả mãn)  x 1  1  x 0 (Thoả mãn ĐK)

5 4 1 0

) 1 2 ( 2

0 1

2

) 1 ( 2 1 2

2 2

u

u

u u

Giải ra: u1   1 (loại);

25

24 1 5

1 5

Vậy x  0 ;x  2425 là nghiệm của (5)

Do u3 + 2u2 + 3u + 18 > 0, u  0 nên phương trình (2) có nghiệm duy nhất u = 2

Khi u = 2  x 1 = 2  x = 3 (thoả mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3

Thay vào phương trình (1) ta được: 2(u2 + v2) = 5uv (3)

Đây là phương trình thuần nhất 2 ẩn

Giải phương trình (3) ta được 2

2

v u

3.3.ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phải tìm được mối liên hệ giữa các biểu thức trong phương trình để đặt ẩn cho phù hợp sao cho ẩn chính trong mỗi phương trình đều bị khử

Ví dụ 12: a.Trở lại với ví dụ 2a x 1 + 3  x - (x 1 )( 3  x) = 2 (1)

Ta có cách giải sau

0 1

x x

x x

 -1 = x = 3Nhận xét: Ta thấy:x+1 +3-x=4.Vậy Đặt u  x1 và v 3 x Ta có u2 v2 4

Khi đó PT (2) tương đương với hệ:

22

+ Với v 0 ; u 2

Ta có: 3 x  0 x3, 1x  2 x3

+ Với v =2 ; u = 0

Ta có: 3 x  2 x1 , 1x  0 x1

Vậy PT đã cho có hai nghiệm là: x = -1 và x = 3

b.Trở lại với ví dụ 4.a Giải phương trình: 3 x 1  3 7  x  2 (1)

Ta có cách giải sau

Với u=0, v = 2ta được x = -1

Với u=2, v =0 ta được x=7

+ Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 2  xx 1  1 (hằng số)

+ Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đưa về hệ 2 phương trình không chứa căn và giải

Giải: ĐK: x 1 Đặt:

3 2 x u; x 1 v   

Ta có hệ phương trình:

3 3

v u

v

u

giải ra u1  0 ;u2  1 ;u3   2

Từ đó: x1  1 ;x2  2 ;x3  10 (thoả mãn điều kiệnt)

Vậy phương trình (7) có 3 nghiệm: x1  1 ;x2  2 ;x3  10

u v

3.4 Đặt nhiều ẩn phụ

Ví dụ 13:: Giải phương trình:

2 3

2 2 2 3 1

) 3 2 2 ( ) 2 3 (

t z v u

t z v u

Từ đó suy ra: 2 2 1 2 2 3

(Phương pháp này tôi thấy hay và độc đáo P, từ đó GV có thể đặt nhiều đề toán đẹp)

4 PHƯƠNG PHÁP 4 : ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH:

4.1 Biến đổi tương đương

Phân tích các biểu thức trong phương trình,dùng các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử để đưa phương trình về dạng tích

0 1

1

x x

1 1

x x

Phương trình (1) có dạng: (x 3 )(x 7 )- 3 x 3 + 2 x 7 +6 = 0

0 3 7

x x

 





 1 2

x x

(1)  (4x-1) y = 2y2 + 2x -1 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0

 ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0  (y- 2x+1) (2y- 1) = 0

Giải phương trình này ta tìm được x = 0 ; x =

A2 + B2 = 0  A = B = 0 ;

A.B =0 Khi A=0 hoặc B =0

Ví dụ15:

a Giải phương trình: x2 - 4x - 3 = x 5 (1)

Nhận xét: + Sử dụng các phương pháp 1, 2, 3 đều khó giải

+ Biến đổi đưa về dạng A2-B2 = 0

Với điều kiện trên: (1) <=> x2 – 3x + 49 = x + 5 + x 5 + 14



2 2

2

1 5 2

Đến đây tiếp tục giải theo phơng pháp 1

c Giải phương trình:.x2  2x 4  2x 1 (1) (Đề thi HSG Huyện năm 2012-2013)

Nhận xét: + Sử dụng các phương pháp 1, 2, 3 đều khó giải

+ Biến đổi đưa về dạng A2 + B2 = 0

<=>

Giải: Điều kiện:x 1

2

0

1

0 ) 1 3 2 ( )

1

(

0 ) 1 3 2 2 3 2 ( ) 1 2 (

0 3 2 2 5 4

2 2

x x

x x

x x

0 1 1 ) 1 2 ( 0 1

1 2 ) 1 ( ) 1 2

x x

x x

x x

Giải ra: x=-24/25 (TMĐKT)

HD: Nhận xét x 3  ( 4x 1 ) 2  ( 3x 2 ) 2 Từ đó biến đổi đưa về dạng:A.B =0

Bài tập tương tự: Giải phương trình

3

1

x x

6 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

6.1 Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm

+ Biến đổi pt về dạng f (x)=g(x) mà f (x) a;g(x) a  với a là hằng số thì phương trình

vô nghiệm

Ví dụ 16

a Giải phương trình x 1   5x 1   3x 2 

điều kiện x ≥ 1

Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1   5x 1   vế trái luôn âm

Vế phải: 3x 2  ≥ 1  vế phải luôn dương

Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm

 Vế phải của phơng trình đã cho lớn hơn vế trái

Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm

6.2 Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế

+ Biến đổi pt về dạng h (x) =m (m là hằng sốm) mà ta luôn có h (x) m và h(x) m thì nghiệm của pt là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra

+ Biến đổi pt về dạng f (x)=g(x) mà f(x) a;g(x) a với a là hằng số Nghiệm của pt là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f (x)= a và g(x) = a

Ví dụ 17

a Giải phương trình 4x2 8x 20 3 2x x    2 (1)

(Đề thi HSG Huyện năm 2012-2013)

Nhận xét: Ta nhận thấy VT có giá trị nhỏ nhât,vế phải có giá trị lớn nhất.Kiểm tra xem 2 giá trị này có trùng nhau không?

x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2  2 với mọi x và vế trái của (1)

( x 4  6 x )2 2( (x 1) 2 ( 6 x ) 2 =1 hay x 4 + 6  x  2Vì vậy phơng trình (1) có nghiệm khi dấu”=’’ xãy ra ,hay x=5

4

(*) 2 27

10

2

x x

x

x

Giải phơng trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**)

Vậy x =5 là nghiệm của phơng trình (1)

c.Giải phương trình x 4x 1 2

x 4x 1

Áp dụng bất đẳng thức côsy:

Với điều kiện x 1 x 4x 1 0

4

    Nên:

2 x

2 2

x x

2 2

Dự đoán nghiệm: x = 1

Với x = 1 ta có: Vế trái 3 2 1  1  3 1  1  1  0  1

=> vế trái = vế phải = 1 => x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

Ta thấy x = 5 là nghiệm của phương trình và là nghiệm duy nhất

=> vế trái > 1 = vế phải (loại

=> vế trái < 1 = vế phải (loại)

- Nếu x < 5, tương tự có:

7.PHƯƠNG PHÁP: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích x x A x 0    0 ta có thể giải phương trình A x   0 hoặc chứng minh A x   0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình

để ta có thể đánh gía A x   0 vô nghiệm

Giải (4) ta tìm được x

b.Giải phương trình sau: x2  12 5 3   x x2  5