Các dạng toán phương trình lượng giác

Lượng giác là một trong những dạng tương đối khó đối với học sinh phổ thông. Bài viết này tổng hợp các dạng bài về phương trình lượng giác một cách đầy đủ và khoa học giúp học sinh dễ dàng học tập và ôn thi được thuận tiện hơn.

a/kiến thức cần nhớ và phân loại bài toán

dạng 1 Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số l -ợng giác

Đặt hàm số lượng giỏc theo t với sinx , cosx có điều kiện t �1

Giải phơng trình theo t

Nhận t thoả mãn điều kiện

Sau đú giải Pt lợng giác cơ bản

Giải phơng trình:

1/ ��2cos2x- 4cosx=1 sinx 0�

� 2/ 4sin3x+3 2sin2x=8sinx 3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/ ��1-5sinx+2cosx=0cosx�0

� 5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2

x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2)

Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx=1

3) 6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+cot x3 -2 = 0 b / 2

4

cos x

+tanx=7

c* /sin6x+cos4x=cos2x

8/sin(2 5

2

x 

)-3cos( 7

2

x 

)=1+2sinx 9/ sin 2x 2sinx  2 2sinx 1 10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/ sin 22 4 cos 24 1 0

2sin cos

x x

13/ sinx  1 cosx 0 14/ cos2x+3cosx+2=0

15/4sin 22 6sin4 9 3cos 2 0

cos

x

    16/ 2cosx- sin x =1

dạng 2: Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx :

asinx+bcosx=c

Cách 1: asinx+bcosx=c

Đặt cosx= 2a 2

a b ; sinx=

2 2

b

a b

2 2 sin( )

a b x  c

�

Cách : 2 a sinx bcosx c

a

Đặt b tan asinx cos tanx  c

sin(x ) ccos

a

�

Cách 3: Đặt tan

2

x

t  ta có sin 2 2;cos 1 22



2

(b c t )  2at b c   0

�

Đăc biệt :

1 sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )

x x x  x

2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

x� x x�  xm

3 sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )

x x x   x

Điều kiện Pt có nghiệm : a2 b2 �c2

giải ph ơng trình :

1/ 2sin15x+ 3cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0 2/ a : 3 sin cos 1

cos

x

4sin 3cos 1

c: 3 sin cos 3 1

3 sin cos 1

  3/ cos 7x 3 sin 7x 2  0 *tìm nghiệm (2 ;6 )

x�  

4/( cos2x- 3sin2x)- 3sinx-cosx+4=0 5/

2

1 cos cos 2 cos 3 2

(3 3 sin ) 2cos cos 1 3

x

x x

6/ cos 22sin cos 3

Dạng 3 Phơng trình đẳng cấp đối với sin x và cosx

Giải ph ơng trình

1/a/ 3sin2x- 3sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3

sinxcosx-2cos2x=4

c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2

sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3)cos2x-5- 3=0

2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

x 4 k

+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 �(cosx- sinx) (2sinxcosx+2sin2x+1)=0

3/ tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0

6/ 2 cos3x= sin3x 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx 8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 9/sin3(x-/4)= 2sinx

Dang 4 Ph ơng trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx

* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx

2

t �

� at + b 2 1

2

t  =c �bt2+2at-2c-b=0

Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0

Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx�0 Chia 2 vế cho cos2x ta

đ-ợc:

atan2x+btanx

+c=d(tan2x+1)

Cách2: áp dụng công thức hạ bậc

Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc

asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0

Xét cos3x=0 và cosx�0 Chia 2 vế cho cos2x ta đợc Pt

bậc 3 đối với tanx

* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx

2

t �

� at + b1 2

2

t

 =c �bt2 -2at+2c-b=0

Giải ph ơng trình

1/ a/1+tanx=2sinx + 1

cos x b/ sin x+cosx= 1

tan x- 1

cot x 2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x

4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2sin2x(sin x+cosx)=2

6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2(sin x+cosx)=tanx+cotx 8/1+sin3 2x+cos32x=3

2sin 4x 9/* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2

9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0

10/ sinx cosx  4sin 2x 1 11/ cosx+ 1

cos x+sinx+sin x1 =103 12/ sinxcosx+ sinx cosx =1

dang 5 Giải phơng trình bằng phơng pháp hạ bậc

Công thức hạ bậc 2

cos2x= 1 cos 2

2

x



; sin2x=

1 cos 2

2

x



Công thức hạ bậc 3 cos3x= 3cos cos3

4

; sin3x=

3sin sin 3

4

Giải ph ơng trình

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/

cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0

4/ cos3x+ sin7x=2sin2( 5

x

  )-2cos2 9

2

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x vớix� (0; ) 

6/sin24x-cos26x=sin(10,5  10x) với (0; )

2

x�  7/ cos4x-5sin4x=1

8/4sin3x-1=3- 3cos3x 9/ sin22x+ sin24x= sin26x

10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ (sin22x+cos42x-1):

sin cosx x=0

12/ 4sin 3 xcos3x+4cos 3 x sin3x+3 3 cos4x=3 ;

24 2 8 2

x � �       � �

� 13/ 2cos 2 2x+ cos2x=4 sin 2 2xcos 2 x

14/ cos4xsinx- sin 2 2x=4sin 2 (

4 2

x

  )-7/2 với 1x <3

15/ 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0

16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 17/ * 8cos3(x+

3



)=cos3x

18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x

19/ sin 5

5sin

x

x =1

20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 21/ sin2x+ sin22x+

sin23x=3/2

22/ 3cos4x-2 cos23x=1

Dang 6 : Ph ơng trình l ượng giỏc giải bằng các hằng đẳng thức

* a3 �b3=(a�b)(a2 mab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2

a4b4

* a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6 �b6=( a2 �b2)( a4

ma 2b2+b4)

Giải ph ơng trình

1/ sin4

2

x

+cos4

2

x

=1-2sinx 2/ cos3x-sin3x=cos2 x-sin2x

3/ cos3x+ sin3x= cos2x 4/ sin4 cos4 1(tan cot )

x

nghiệm

5/cos6x-sin6x=13

8 cos22x 6/sin4x+cos4x=

7

cot( ) cot( )

7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8/cos3x+sin3x=cosx-sinx

9/ cos6x+sin6x=cos4x 10/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=

cosx+cos2x+cos3x+cos4x

11/ cos8x+sin8x= 1

8 12/ (sinx+3)sin4

2

x

-(sinx+3) sin2

2

x

+1=0

Dang 7 : Ph ơng trình l ượng giỏc biến đổi về tích bằng 0

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 3

2 sin2x+ 2cos2x+ 6

cosx=0

7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3 sin 5

 9/ 2cos2x-8cosx+7=cos x1 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+5

4

cos2x

11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx) +3

14/ 2sin3x-sin x1 =2cos3x+cos x1 15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0

16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1

cos x)=0 18/sin2x=1+ 2cosx+cos2x 19/1+cot2x=1 cos 22

sin 2

x x



20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1

sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0

22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx 24/ 2 2 sin( )

4

x

sinx cosx 25/ 2tanx+cotx= 3 2

sin 2x

26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

Dang 8 : Ph ơng trình l ượng giỏc phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc

cos2x= cos2x- sin2x =2cos2

x-1=1-2sin2x

sin2x=2sinxcosx

tan2x= 2 tan2

1 tan

x x



sinx = 2 2

1

t t

 ; cosx=1 22

1

t t



 tanx= 2 2

1

t t



Giải ph ơng trình

1/ sin3xcosx=1

4+ cos3xsinx 2/

cosxcos2xcos4xcos8x=1/16

3/tanx+2cot2x=sin2x

4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x

5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/

sin2x+cos2x+tanx=2

8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x

10/a* tan2x+sin2x=3

2cotx b* (1+sinx)2= cosx

Dang 9 : Ph ơng trình l ượng giỏc phải thực hiện phép biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

Giải ph ơng trình

1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x

2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

3/sin 3 sin sin 2 cos 2

1 cos 2

x

5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 6/ 3 cos 2 cot 2 

7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x-

cos3x+1=2sinxsin2x

Dang 10 : Ph ơng trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B

Giải ph ơng trình

1/ sin(3

10 2

x

  )=1

2sin( 3

10 2

x

  ) 3 2 ;4 2 ;14 2

5 15 15

x �� k  k  k��

4

x )=sin2x sin(

4

x )

4 2

x  k

3/(cos4x/3 – cos2x): 1 tan x 2 =0 x k 3  4/ cosx-2sin(3

2 2

x

  )=3 x k 4

5/ cos(2 7

2

x 

k

x � �  k  ��

� 6/3cot 2 x+2 2 sin 2 x=(2+3 2 )cosx

2 ; 2

x � � �  k �  k� �

�

7/2cot2x+ 22

cos x+5tanx+5cotx+4=0 x  4 k 8/ cos2x+ 2

1

1

cos x x k 

9/sinx- cos2x+sin x1 +2 2

1

2 ; 2 ; 2

x � �  k    k   k� �

1 sin 2

x x



 +21 tan1 tan x x=3

x k  k  

Dang 11 : Ph ơng trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp

Giải ph ơng trình

1/ 3 4 6 (16 3 8 2) cos    x  4 cosx 3 2

4

x�k  2/cos 3 9 2 16 80



 21; 3 

x  

6

x   k 

4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 x�3k

5/2 sin tan 

2cos 2 tan sin

x





2 2 3

x�k 6/sin 3 x+cos 3 x+ sin 3 xcotx+cos 3 xtanx=

4

x  k 

7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x k4

x 

3

k

x��   k ��

� 9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k  10/

2

sinx sinx  1 sin x cosx ;sin 5 1

2

11/cos2 sin 2 cos 2 



4

x  x

4

x   k 

x  ��  k  k  k��

�

Dang 12 : Ph ơng trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 l -ợng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm

Giải ph ơng trình

1/ cos3x+ 2 cos 3x 2 =2(1+sin 2 2x) x k  2/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2

+2sinxcos28x x 4 k

3/ cos 2 4x+cos 2 6x=sin 2 12x+sin 2 16x+2 với x �0; 4/ 8cos4xcos 22x+ 1 cos3x +1=0

2

2

3

x � �  k � �

�

5/ sin

cos

x

x

  x 0 6/ 5-4sin 2 x-8cos 2 x/2 =3k tìm k �Z * để hệ có nghiệm 7/ 1- 2

2

x =cosx 8/( cos2x-cos4x) 2 =6+2sin3x

2

1 cos 1 cos cos 2 sin 4

2

4

x�k