Luận văn: Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học phương trình lượng giác ở THPT

MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.................................................................................. 2 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU......................................................................... 3 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU......................................................................... 3 4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU................................................................. 4 5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC........................................................................ 4 6. CẤU TRÚC LUẬN VĂN............................................................................. 4 CHƢƠNG 1: KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HS TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN............. 4 1.1. KĨ NĂNG VÀ KĨ NĂNG GIẢI TOÁN..................................................... 4 1.1.1. Kĩ năng................................................................................................ 4 1.1.2. Kĩ năng giải toán................................................................................ 4 1.1.3. Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS. .................................. 7 1.2. BÀI TẬP TOÁN VÀ DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN ...................... 11 1.2.1. Bài tập Toán ..................................................................................... 11 1.2.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học.............................. 12 1.2.3. Những yêu cầu của một lời giải bài Toán ........................................ 13 1.2.4. Dạy học phƣơng pháp chung để giải bài toán.................................. 15 1.3. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN CHƢƠNG ĐẠO HÀM LỚP 11 Ở TRƢỜNG THPT ....................................................... 20 1.3.1. Nội dung dạy học chƣơng đạo hàm lớp 11 ở trƣờng THPT (chƣơng trình nâng cao) và các dạng kĩ năng cơ bản của chƣơng ................................ 20 1.3.2. Thực trạng việc dạy học chƣơng đạo hàm ở lớp 11 ở trƣờng THPT (chƣơng trình nâng cao). ................................................................................. 22 1.4. KẾT LUẬN CHƢƠNG 1......................................................................... 24 CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHO HS LỚP 11 THPT ............................................................................... 25 2.1. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA................................................................................................. 25 2.1.1. Rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa....... 25 2.1.2. Rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của hàm số bằng công thức. ........ 32 2.1.2.1. Đạo hàm các hàm số đa thức , phân thức . .............................. 32 2.1.2.2. Đạo hàm các hàm số căn thức. ............................................... 35 2.1.2.3. Đạo hàm các hàm số lƣợng giác.............................................. 37 2.1.3. Bài tập tự giải: ................................................................................. 40 2.2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ................................................................................. 41 2.2.1. Bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số. .......................................................................... 44 2.2.2. Bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc của tiếp tuyến ......................................................................... 48 2.2.3. Bài toán viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi đi qua một điểm cho trƣớc............................................................................ 51 2.2.4. Các bài toán khác về phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số .... 54 2.2.5. Bài tập tự giải:: ................................................................................. 60 2.3. Rèn luyện kĩ năng tính vi phân và đạo hàm cấp cao của hàm số............. 62 2.3.1. Bài toán tính vi phân của hàm số..................................................... 62 2.3.2. Bài toán tính đạo hàm cấp cao của hàm số...................................... 63 2.3.3. Bài tập tự giải:.................................................................................. 69 2.4. Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán liên quan tới đạo hàm. .................... 70 2.4.1. Đạo hàm và các bài toán liên quan đến phƣơng trình. .................... 70 2.4.2. Đạo hàm và các bài toán liên quan đến bất phƣơng trình................ 74 2.4.3. Các bài toán về xét dấu đạo hàm .................................................... 77 2.4.4. Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số ................................ 78 2.4.5. Sử dụng đạo hàm trong giải toán tổ hợp.......................................... 79 2.4.6. Sử dụng đạo hàm để tính tổng hữu hạn. .......................................... 81 2.4.7. Các bài toán khác liên quan đến đạo hàm........................................ 83 2.4.8. Bài tập tự giải:.................................................................................. 84 2.5. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2......................................................................... 87 CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................... 88 3.1. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM.................. 88 3.1.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm....................................................... 88 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm...................................................... 88 3.2. KẾ HOẠCH, ĐỐI TƢỢNG, NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM......................................................................................................... 88 3.2.1. Kế hoạch và đối tƣợng thực nghiệm................................................ 88 3.2.2. Nội dung thực nghiệm. .................................................................... 89 3.2.3. Phƣơng pháp thực nghiệm............................................................. 106 3.3. Đánh giá các kết quả thực nghiệm. ........................................................ 106 3.3.1. Đánh giá định tính. ........................................................................ 106 3.3.2. Đánh giá định lƣợng ...................................................................... 107 3.4. KẾT LUẬN CHƢƠNG 3....................................................................... 108 KẾT LUẬN .................................................................................................. 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC

ë TR¦êNG THPT

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Hà Nội, 2014

2

MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Theo Luật giáo dục Việt Nam, mục tiêu giáo dục phổ thông của chúng

ta là: “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ

và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam Xã hội Chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ

tổ quốc” Để thực hiện được mục tiêu này về phương pháp dạy học cần phải

“phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với

đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem

lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Trong nhà trường phổ thông môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phát triển Môn Toán góp phần phát triển nhân cách HS Cùng với việc tạo điều kiện cho HS kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa ….Rèn luyện những đức tính, phẩm chất của con người lao động mới như tính cẩn thận, tính chính xác, kỷ luật, phê phán, sáng tạo bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là: trang bị tri thức cơ bản cần thiết cho

HS rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn, phát triển trí tuệ cho HS, bồi dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho HS, đảm bảo trình độ phổ thông, đồng thời chú trọng bồi dưỡng những HS có năng khiếu về toán

Việc giải các bài toán, xây dựng nên hệ thống các bài toán liên quan sẽ giúp học sinh phát triển trí thông minh, óc sáng tạo và thói quen làm việc một cách khoa học cho HS Bởi vì, khi giải các bài toán học sinh phải tập trung

Đã có những công trình khoa học giáo dục, nghiên cứu theo một số góc độ khác nhau liên quan đến chương đạo hàm lớp 11 Những nghiên cứu theo hướng hình thành và rèn luyện kĩ năng thì còn mới, chưa được khai thác Ở đây, tôi quan tâm đến việc rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán chương đạo hàm lớp 11 THPT Xuất phát từ những lí do trên, đề tài được chọn là:

“Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy học chương đạo hàm lớp 11 THPT”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Xây dựng hệ thống bài tập được phân thành từng dạng và đề xuất các biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán chương đạo hàm cho HS lớp 11 THPT

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

– Nghiên cứu lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán và biện pháp rèn luyện

kĩ năng trong dạy học môn Toán ở trường THPT

– Tìm hiểu thực trạng của việc dạy học giải bài tập toán chương đạo hàm lớp 11 THPT

– Vận dụng lí luận xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán chương đạo hàm cho HS

4

– Bước đầu thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong quá trình nghiên cứu các phương pháp sau đây được vận dụng:

 Phương pháp nghiên cứu lí luận

– Nghiên cứu những tài liệu lí luận về đổi mới phương pháp dạy học và những phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông

– Nghiên cứu SGK và sách tham khảo môn Toán ở trường THPT

 Phương pháp quan sát, điều tra

– Dự giờ để quan sát giờ học, giờ kiểm tra một số tiết học trong chương đạo hàm, tìm hiểu thực tiễn cách dạy, liều lượng các kiến thức được dạy để phát hiện và xác định vấn đề nghiên cứu

– Điều tra và xử lí số liệu điều tra

 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

– Tiến hành thực nghiệm sư phạm để xem xét tính thực tiễn ,khả thi và hiệu quả của đề tài

5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng được hệ thống các bài tập nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán, vận dụng các biện pháp đã đề xuất trong luận văn thì HS sẽ có kĩ năng tốt hơn để giải các bài tập toán chương đạo hàm, góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường phổ thông

6 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục, tài liệu tham khảo, luận văn gồm các phần sau:

Chương 1: Kĩ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho

HS trong dạy học môn toán

Chương 2: Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập về đạo hàm nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cho HS lớp 11 THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Có nhiều quan niệm khác nhau về kĩ năng

Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” ([17], Tr.149)

Theo từ điển Tiếng Việt thì : “ Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thức tế Trong đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc gì”.([21], Tr.462)

“ Kĩ năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt sáng tạo, phù hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau”[8]

Theo từ điển trên mạng Wikipedia: Kĩ năng là sự thành thạo, sự dễ dàng hoặc khéo léo có được thông qua đào tạo hoặc trải nghiệm Có ba thành tố cơ bản của kĩ năng là kết quả (effectivienss), sự chắc chắn/ ổn định (consistency)

và hiệu quả (efficency)

Từ những quan niệm trên có thể hiểu: Kĩ năng là sự thực hiện thành thạo và

có kết quả một hành động nào đó bằng cách vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với ngữ cảnh và điều kiện cụ thể

1.1.2 Kĩ năng giải toán

1.1.2.1 Khái niệm kĩ năng giải toán

Trong Toán học, “Kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận

được” Kĩ năng giải toán được hiểu là kĩ năng vận dụng các tri thức toán học

để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh,…)

Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp) Sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố kiến thức toán học thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa kiến thức toán học

Do sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ nên cần rèn luyện cho HS những kĩ năng trên những bình diện khác nhau: Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán; Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau; kĩ năng vận dung tri thức Toán học vào thực tiễn cuộc sống

- Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là một sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức Toán học Không thể hình dung một người hiểu những tri thức Toán học mà lại không biết vận dụng chúng để làm Toán

- Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi GV dạy Toán cần phải có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn

- Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn Toán Nó cũng cho thấy HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống

1.1.2.2 Con đường hình thành và các bước rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS

a) Các bước rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS

Để rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán học cho HS ta cần xác định từng

kĩ năng cụ thể trong mỗi dạng bài tập và mức độ yêu cầu tương ứng Một kĩ năng có thể gồm nhiều kĩ năng riêng lẻ Việc hình thành từng kĩ năng riêng lẻ

có thể chia thành các bước như sau:

Bước 1: GV yêu cầu HS nhắc lại các kiến thức, công thức liên quan đến

nội dung dạy học

Bước 2: Giải bài tập mẫu để HS nắm được các thao tác cơ bản (có thể

GV trình bày hoặc gợi ý để HS làm)

Bước 3: Luyện tập giải một số bài tập Toán học tương tự bài tập mẫu,

nhằm giúp HS thành thạo các thao tác cơ bản Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở nhà

Bước 4: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận

dụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải Toán Các bài tập dạng này thường được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và phát triển các kĩ năng ngày một tốt hơn

b) Con đường hình thành và rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS

Trên cơ sở các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS, các biện pháp rèn luyện rèn luyện kĩ năng thực hành cho HS nói chung, biện pháp rèn luyện

kĩ năng giải toán cho HS nhằm vào việc biến các kiến thức và kĩ năng cơ bản trong từng chương, từng mục thành kiến thức và kĩ năng tổng hợp, hoàn chỉnh, chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập và nghề nghiệp cho cả cuộc sống theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp và hướng nghiệp dạy nghề thông qua môn Toán ở trường phổ thông Trước hết, người GV cần xác định rõ con đường hình thành kĩ năng cho HS đồng thời xác định được nhiệm vụ của mình trong quá trình hình thành và phát triển kĩ năng cho HS Những nội dung căn bản đó được tóm lược trong sơ đồ sau:

Sơ đồ 1: Quy trình hình thành và phát triển kĩ năng giải toán cho HS

1.1.3 Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS

Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần có một giải pháp

đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:

a, Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng

Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập là đảm bảo cho HS nắm vững một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức quy định trong chương trình Căn cứ vào chương trình, người GV cần phải

Kiến thức giáo khoa

Hệ thống các bài toán gốc

Hoàn thiện quy trình giải

GV hướng dẫn HS

GV hướng dẫn HS phân tích các hoạt động

Tường minh quy tắc thực hiện (phương pháp)

Thực hiện áp dụng quy tắc vừa xây dựng ( Thực hành)

Khái quát hóa hoạt động

và chọn con đường tối ưu ( hoàn thiện quy trình giải)

Quy trình giải

Các bài tập ứng dụng, bài

tập nâng cao

Kĩ năng

 Thầy giáo có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn giúp

đỡ HS vượt qua những khó khăn bằng cách phân tích một hoạt động thành những phần đơn giản hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phương pháp

và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sự phân bậc hoạt động

 Thầy giáo giúp học trò xác nhận những kiến thức đã đạt được trong quá trình hoạt động, đưa ra những bình luận cần thiết để học trò hiểu kiến thức đó một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn

b, Trang bị các kiến thức về phương pháp giải toán cho HS

Trước hết, chúng ta cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy trình 4 bước của Polya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải toán theo quy trình này

1 Tìm hiểu nội dung bài toán ;

2 Xây dựng chương trình giải toán;

3 Thực hiện chương trình giải toán ;

4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với những tri thức phương pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thể tìm tòi, khám phá để tìm đến lời giải bài toán Có một số trường hợp đặc biệt:

Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào yêu cầu chung của chương trình cũng như tình hình thực tế để hoặc thông báo tường minh tri thức thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập ăn khớp với tri thức phương pháp đó

Đối với những bài toán chưa hoặc không có thuật giải: GV cần hướng dẫn HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về phương pháp giải toán Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể mà dần dần cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán, hình thành phương pháp giải một lớp các bài toán

có dạng quen thuộc Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại bài toán đó

c, Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố

Việc củng cố tri thức, kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có một ý nghĩa to lớn trong dạy học Toán Điều đó trước hết là do cấu tạo của những giáo trình Toán ở trường phổ thông theo cách là mỗi lĩnh vực nội dung mới đều dựa vào những lĩnh vực nội dung đã được học trước kia Củng cố cần được thực hiện đối với tất cả các thành phần của nhân cách đã được phát biểu thành mục tiêu trong chương trình, tức là không phải chỉ đối với tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ

Với HS, nhu cầu củng cố, bồi dưỡng nâng cao kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải toán là tất yếu Muốn thỏa mãn được nhu cầu đó, các em phải được thực hành nhiều, phải tham gia vào các hoạt động củng cố: Luyện tập, đào sâu, ứng dụng, ôn

Củng cố trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo Trong môn

Toán, củng cố diễn ra dưới các hình thức luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn Trong thực tế dạy học, ít khi xảy ra các trường hợp chỉ xuất hiện một hình thức củng cố Hơn nữa một biện pháp nâng cao hiệu quả củng cố là thầy giáo biết lựa chọn và phối hợp nhiều hình thức củng cố đồng thời Cụ thể:

 Luyện tập trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo Luyện tập

không phải chỉ đối với việc dựng hình, vẽ đồ thị hàm số, giải phương trình và

hệ phương trình, giải bất phương trình và hệ bất phương trình, sử dụng thước, compa, bảng số, máy tính,…

 Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết

những vấn đề của tri thức, bổ sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức thường là: nghiên cứu sự tồn tại

và duy nhất, xem xét những trường hợp mở rộng, những trường hợp đặc biệt hoặc suy biến, nghiên cứu những mối liên hệ và phụ thuộc, lật ngược vấn đề, thay đổi hình thức phát biểu

Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức là: nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất

 Ứng dụng: Ứng dụng được hiểu là vận dụng những tri thức và kĩ năng

đã lĩnh hội vào việc giải quyết những vấn đề mới trong nội bộ môn Toán cũng như trong thực tiễn Trong khâu ứng dụng, cần rèn luyện cho HS năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, lựa chọn bộ phận tri thức và kĩ năng thích hợp, tìm kiếm con đường giải quyết, lí giải và trình bày lời giải, kiểm tra đánh giá kết quả và sắp xếp kiến thức đạt được vào hệ thống tri thức đã có

 Hệ thống hóa: Nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đã đạt

được, nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ những mối quan hệ giữa chúng Nhờ đó người học đạt được không chỉ những tri thức riêng lẻ mà còn cả hệ thống tri thức

 Ôn: Ôn tức là nhắc lại tri thức, luyện lại kĩ năng đã có Ôn giữ một vị

trí đặc biệt so với bốn hình thức khác của củng cố, bởi vì nó thường được kết hợp với các hình thức đó, thậm chí đan kết, hòa nhập vào các hình thức đó

Ôn lại không phải chỉ là những gì lĩnh hội được trong bài lí thuyết mà khi cần thiết có thể nhắc lại cả tri thức đạt được trong các khâu của củng cố

Sau đây là VD về rèn luyện kĩ năng giải toán đạo hàm thông qua củng

cố Một trong những ứng dụng của đạo hàm là sử dụng đạo hàm trong giải toán tổ hợp

Dạy Toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động Toán học để rèn luyện

kĩ năng và tư duy Toán Kĩ năng này được hình thành, phát triển và trở nên có

ý nghĩa thông qua hoạt động giải Toán của HS Tham khảo tài liệu [11], có thể nhận thấy những khái niệm cơ bản về bài tập Toán: Theo nghĩa rộng, bài tập (bài Toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải Toán tức là tìm ra phương tiện đó Tuy nhiên cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài Toán Để giải bài tập, chỉ yêu cầu áp dụng theo khuôn mẫu các kiến thức, quy tắc hay thuật Toán đã học Nhưng đối với bài

Toán, để giải được, phải tìm tòi giữa các kiến thức có thể sử dụng và áp dụng

để xử lí tình huống còn có khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lí thích hợp Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống Bài tập Toán học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập môn Toán

ở trường phổ thông Giải bài tập Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lí, quy tắc – PP, hoạt động phức hợp, hoạt động trí tuệ chung, hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học Giải bài tập Toán giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và năng lực ứng dụng Toán học vào thực tiễn

1.2.2 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

Trong thực tiễn dạy học môn Toán, bài tập được sử dụng với các dụng ý

khác nhau về chức năng dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ

làm việc với nội dung mới, củng cố kiến thức, ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của HS, giúp GV nắm bắt được thông tin hai chiều trong quá trình

dạy và học Trong cuốn “PP dạy học môn Toán”([11], Tr.388), tác giả Nguyễn Bá Kim viết: Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của HS Vai trò của bài tập thể hiện trên ba bình diện:

- Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập Toán học ở trường phổ thông

là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Bài tập Toán học góp phần: Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở nhưng giai đoạn khác nhau trong quá trình dạy học, kể

cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn ; Phát triển năng lực trí tuệ (rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ; Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết

Trên bình diện PP dạy học, bài tập Toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho

HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của HS,…

1.2.3 Những yêu cầu của một lời giải bài Toán

Để phát huy tác dụng của bài tập Toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng, phải tối ưu Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học

và đánh giá HS, cần thiết phải cụ thể hóa yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết

- Lời giải phải cho kết quả đúng, kể cả các bước trung gian Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,…thỏa mãn các yêu cầu đề ra Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính Toán, hình vẽ, biến đổi biểu thức

- Lập luận giải Toán phải chặt chẽ Một chứng minh bao gồm ba bộ phận: Luận đề, luận chứng và luận cứ Luận đề là một mệnh đề cần chứng minh, yêu cầu phải nhất quán, nghĩa là không được đánh tráo Luận cứ là những tiền đề, những định nghĩa và những định lí đã biết, yêu cầu phải đúng

Có một HS giải bài toán trên như sau:

Các điểm thuộc Oy có dạng: A   0; b

Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, do vậy một đường thẳng   d1 với hệ số góc k qua A tiếp xúc với (C) thì đường thẳng   d2 qua

A với hệ số góc –k cũng tiếp xúc với (C)

Vì vậy để qua A kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) thì tiếp tuyến với

hệ số góc bằng 0 (tiếp tuyến song song với Ox) cũng qua A A là giao điểm của tiếp tuyến của (C) song song với Ox và Oy

Đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với Ox là: y   2 và y   1

Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, do vậy một đường thẳng   d1 với hệ số góc k qua A tiếp xúc với (C) thì đường thẳng   d2 qua

A với hệ số góc –k cũng tiếp xúc với (C)

Vì vậy để qua A kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) thì tiếp tuyến với

hệ số góc bằng 0 (tiếp tuyến song song với Ox) cũng qua A A là giao điểm của tiếp tuyến của (C) song song với Ox và Oy

Đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với Ox là: y   2 và y   1

 Xét tiếp tuyến y    2 A  0; 2   Thử lại:

- Phương trình đường thẳng đi qua A  0; 2   có dạng:   d : y  kx  2

- Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

Thay (2) vào (1) được x     1 k 0, không thỏa mãn có ba tiếp tuyến

 Xét tiếp tuyến y    1 A  0; 1   Thử lại:

- Phương trình đường thẳng đi qua A  0; 2   có dạng:   d : y  kx  1

- Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

Vậy qua A  0; 1   kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị

1.2.4 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán

1.2.4.1 Phương pháp chung để giải bài toán

Theo Nguyễn Bá Kim ([11], Tr.389), phương pháp tìm lời giải cho bài

toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

 Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán

 Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

 Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,…

 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn cách giải hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương

trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

 Nghiên cứu những bài giải tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.2.4.2 Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán

Theo Nguyễn Bá Kim ([11], Tr.396) cách thức dạy học sinh phương

pháp chung để giải bài toán như sau:

 Thông qua giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để HS nắm được phương pháp chung bốn bước và có ý thức vận dụng bốn bước này trong quá trình giải toán

 Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho HS những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để HS dần dần biết sử dụng những câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán Những câu hỏi này lúc đầu

do GV nêu ra để hỗ trợ cho HS nhưng dần dần biến thành vũ khí của bản thân

HS, được HS nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán

Như vậy, quá trình HS học phương pháp chung giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người HS, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo

“Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh” (Pôlya 1975)

VD3: Cho

 3 

x y

x





 .Viết PTTT (d) tại M sao cho tiếp tuyến cắt

hai trục tọa độ tại hai điểm A , B và đường trung trực của AB qua O

Bước 1: Tìm hiểu đề bài

(?) Bài toán đã cho biết dữ kiện gì?

(!) Cho đồ thị hàm số

 3 

x y

x





 và tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa

độ tại hai điểm A , B và đường trung trực của AB qua O

(?) Bài toán đưa ra yêu cầu gì?

(!) Viết phương trình tiếp tuyến tại M

Bước 2: Tìm lời giải:

GV đưa ra các câu hỏi:

(?) Bạn đã gặp bài toán này bao giời chưa? Bạn có biết thuật giải của

nó không?

Vì HS mới chỉ được học viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tọa độ tiếp điểm nên HS sẽ thấy rằng phương trình này chưa gặp bao giờ và cũng không biết được thuật giải của nó

(?) Vậy làm thế nào để viết được phương trình tiếp tuyến tại M?

Do chưa có thuật giải nên để viết được phương trình tiếp tuyến tại M ta cần tìm tọa độ tiếp điểm M rồi áp dụng định lí phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị để viết phương trình

(?) Từ giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm M?

Bước 3: Trình bày lời giải:

GV yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán hoàn chỉnh

Bước 4: Đào sâu, khai thác

GV yêu cầu HS kiểm tra kết quả, lời giải của mình, tìm ra sai lầm (nếu có) trong bài toán và hướng dẫn khắc phục

- Tìm một lời giải khác:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M x y  0; 0  x0   1  có dạng:

0 2

0

3 1

 Phương trình này vô nghiệm

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán:

3 2

y    x và 5

2

y    x

- Đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa:

Bài toán: Cho

 3 

x y

x





 .Viết PTTT (d) tại M sao cho tiếp tuyến

cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A , B sao cho:

a) Mục đích, yêu cầu của chương đạo hàm

Việc dạy chương đạo hàm lớp 11 THPT nhằm đạt các mục đích và yêu cầu sau:

+ Về kiến thức:

Giúp HS nắm vững

– Biết định nghĩa đạo hàm (tại một điểm , trên một khoảng)

– Biết quy tắc tính đạo hàm của tổng, tích, thương các hàm số, hàm hợp

và đạo hàm của hàm hợp

– Biết đạo hàm của hàm số lượng giác

– Biết công thức tính gần đúng f x  0   x  theo f x  0 và ' 

0

f x

– Biết công thức tìm vi phân

– Biết định nghĩa đạo hàm cấp hai trở lên

+ Về phương pháp:

GV cần phải tổ chức cho HS được học trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo Chú trọng cho HS biết cách khai thác các phương pháp khác nhau, lựa chọn các ưu điểm của phương pháp dạy học đàm thoại, phát hiện, phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề, phương pháp dạy học khám phá, phương pháp dạy học tự học… để giải các dạng bài toán chương đạo hàm bằng con đường tổng hợp

+ Về việc phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ cho HS

Việc dạy học chương đạo hàm nhằm đạt được mục đích, yêu cầu rèn luyện kĩ năng chứng minh suy diễn, khả năng lập luận có căn cứ, rút ra các kết luận từ những định lí, quy tắc

b) Một số kĩ năng cơ bản thuộc nội dung chương đạo hàm:

+ Kĩ năng tính đạo hàm bằng định nghĩa

+ Kĩ năng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số

+ Kĩ năng tính đạo hàm bằng công thức

+ Kĩ năng tính vi phân và đạo hàm cấp hai

- Đa số các thầy cô đều coi việc rèn luyện kĩ năng là cần thiết và 2 lí do

cơ bản đó là:

Thứ 1: Việc rèn luyện kĩ năng này giúp cho HS nhìn bài Toán dưới nhiều góc độ khác nhau: Có thói quen, tìm lời giải tối ưu cho các bài Toán Thứ 2: Có kĩ năng để giải các bài toán liên quan đến đạo hàm mà nội dung này sẽ được học nhiều trong chương trình Đại Số và giải tích lớp 12

- Việc rèn luyện kĩ năng giải Toán nói chung và chương đạo hàm nói riêng hiện hay ở trường phổ thông chưa được chú trọng đúng mức Hơn nửa

số thầy cô được hỏi đã không chú trọng rèn luyện kĩ năng này cho HS trong thời gian gần đây Đa số các thầy cô cho rằng có quá ít thời gian trong phân phối chương trình Toán ở trường phổ thông vì hoạt động rèn luyện kĩ năng cho HS luôn đòi hỏi nhiều thời gian và rất kiên trì Ngoài ra, tài liệu tham khảo về chương đạo hàm rất ít, việc lựa chọn hệ thống bài tập như thế nào cho phù hợp với điều kiện thời gian, trình độ của HS và đảm bảo tính hệ thống còn là vấn đề tương đối khó khăn, đặc biệt là những GV trẻ

- Về PP dạy học:

+ Trong giờ lí thuyết: Hầu hết GV đã truyền thụ tương đối đầy đủ các kiến thức về chương đạo hàm như trong SGK, song chủ yếu vẫn theo phương pháp thuyết trình, giảng giải , theo khuôn mẫu, chưa sáng tạo GV chỉ mới cung cấp quy tắc giải có sẵn và làm một vài bài tập, sau đó cho HS vận dụng

GV chưa chủ động xác định những kĩ năng cần rèn luyện cho HS

HS mà thiên về các phép tính biến đổi toán học và tính toán cụ thể trong các tiết luyện tập và giải bài tập.Chỉ có một số ít GV phân tích những sai lầm và chú ý sửa chữa cho HS

+ Trong giờ kiểm tra, GV thường ra đề chung cho cả lớp, chưa có những câu phân loại theo các mức độ khác nhau, nên không phát huy được tính độc lập sáng tạo của HS khi giải toán

b) Về HS

Từ trực tiếp giảng dạy, theo dõi và dự giờ, trò chuyện với HS và xem vở ghi chép cũng như vở bài tập của họ cho thấy: Khá đông HS không nắm vững kiến thức trong SGK, không giải được bài tập ra về nhà hay có chăng nữa thì

đó cũng là việc sao chép máy móc lời giải trong sách giải nhằm đối phó với việc kiểm tra của GV, không tích cực theo dõi quá trình giải bài tập trên bảng của thầy và bạn mà chủ yếu ghi chép một cách thụ động vào vở những phép tính toán cụ thể và kết quả cuối cùng

Từ thực tế dạy học về bài tập chương đạo hàm đã nói ở trên, chúng tôi nhận thấy rằng: Để khắc phục những khó khăn, sửa chữa những sai lầm của HS trong việc giải bài tập và giúp GV dễ dàng lựa chọn, sử dụng được các bài tập một cách có hiệu quả trong quá trình dạy học chương đạo hàm nhằm phát triển năng lực tư duy độc lập, và nâng cao hiệu quả tự học của HS, rất cần thiết xây dựng hệ

thống bài tập chương này dựa trên những căn cứ xác đáng của cơ sở khoa học,

đồng thời vạch ra được cách sử dụng trong từng bước lên lớp ở mỗi tiết học

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Môn Toán là môn học có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện óc tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ Vấn đề khó khăn nhất HS khi đứng trước bài toán, đặc biệt là những bài toán chương đạo hàm là đường lối giải Nhiều HS không biết bắt đầu từ đâu

để đi đến kết quả của bài toán Trên cơ sở tìm hiểu kĩ năng, đặc điểm kĩ năng, các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng, kĩ năng giải toán cho thấy rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán là một biện pháp tích cực góp phần khắc phục khó khăn trong học tập của HS và nâng cao chất lượng học Việc rèn luyện kĩ năng giải toán chương đạo hàm như thế nào? Trong chương hai, tôi

sẽ giải đáp những vấn đề đó

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VỀ ĐẠO HÀM NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN

CHO HS LỚP 11 THPT Quy trình rèn luyện kĩ năng giải toán chương đạo hàm cho HS lớp 11

Bước 1: GV yêu cầu HS nhắc lại các kiến thức, công thức liên quan đến

nội dung dạy học

Bước 2: GV minh họa qua các VD, chỉ rõ từng bước thực hiện, những

lưu ý cần thiết để tránh những sai lầm

Bước 3: Cho HS luyện tập qua một hệ thống các bài toán và bài tập từ

dễ đến khó, đủ các dạng, chú ý sửa các sai lầm HS có thể mắc phải

Bước 4: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho HS vận

dụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải Toán Các bài tập dạng này thường được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp HS hình thành và phát triển các kĩ năng ngày một tốt hơn

2.1 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA

2.1.1 Rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

2.1.1.1 Kiến thức liên quan:

1 Khái niệm đạo hàm Cho hàm số y  f x   xác định trên khoảng   a b ;

và điểm x0 thuộc khoảng đó Khi đó giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số

2 Quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa:

 Bước 1: Cho x0 một số gia  xvà tính số gia  y

b) Cách 1:

Bước 1: Cho x0 một số gia  xsao cho  0 

7 2

x

y x

2.1.1.3 Luyện tập giải các bài toán:

Bài toán 1: Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm đã chỉ ra

1 sin

= lim lim

2

2 2

x x

x

L L

t

t L

Vậy hàm số có đạo hàm tại điểm x  0

Bài toán 3: Cho hàm số:  

; khi 0

1 ; khi = 0 2

x

x x

   do đó hàm số không liên tục tại x  0 nên

hàm số gián đoạn tại x  0

* Nhận xét: Nhƣ vậy để chứng minh một hàm số không có đạo hàm tại

một điểm ta chỉ cần chứng minh hàm số đó không liên tục tại điểm đó hoặc

giới hạn bên trái và bên phải của    

0

0 0

2.1.2 Rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của hàm số bằng công thức

2.1.2.1 Đạo hàm các hàm số đa thức , phân thức

a) Kiến thức liên quan

c) Luyện tập giải các bài toán:

Bài toán 6: Tính đạo hàm các hàm số sau:

5 2

cx d







c) Luyện tập giải các bài toán:

Bài toán 9: Tính đạo hàm các hàm số sau:

2 1 1

2.1.2.3 Đạo hàm các hàm số lượng giác

a) Kiến thức liên quan:

tan

2 cos 1 '

cot

2 sin

x

x x

' '

tan

2 cos ' '

cot

2 sin

u u

u u u

y  u với u  1  x2 Vì vậy mà khi tính đạo hàm của hàm số trên HS

đó đã không vận dụng công thức đạo hàm của hàm hợp để tính

Lời giải đúng:

Đặt u  1  x2 ta đƣợc : ' , y sin

2 1

c) Luyện tập giải các bài toán:

Bài toán 11: Tính đạo hàm các hàm số sau:

b) Ta có:  '

2 '

1 '

2

sin

x y

x x