Các chuyên đề đại số 8

Thật vậy nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tích của chúng chia hết cho 3, nếu cả hai số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 d 2 tự chứn

chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức và bẩy hằng

c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 với a = -0,2

d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = 1

2Bài 3 Thực hiện phép tính sau:

a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;

b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);

c) 2p p2 -(p3 - 1) + (p + 3) 2p2 - 3p5;

d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a)

Bài 4 Đơn giản các biểu tức:

2); d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100)

Bài 5 Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);

b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);

Bài 6 Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0;

a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);

b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x)

a) 356 - 355 chia hết cho 34 b) 434 + 435 chia hết cho 44

Bài 9 Cho a và b là các số nguyên Chứng minh rằng:

a) nếu 2a + b M 13 và 5a - 4b M 13 thì a - 6bM 13;

b) nếu 100a + b M 7 thì a + 4b M 7;

c) nếu 3a + 4b M 11 thì a + 5b M 11;

II) Nhân đa thức với đa thức.

1 Kiến thức cơ bản: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;

2 Bài tập áp dụng:

e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4).

Bài 4 Viết các biểu thức sau dới dạng đa thức:

a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);

b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);

c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);

d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);

Bài 5 Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y:

a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

Bài 8 Cho a + b + c = 0 Chứng minh M = N = P với :

M = a(a + b)(a + c);

N = b(b + c)(b + a);

P = c(c + a)(c + b);

Bài 9 Số 350 + 1 có là tích của hai số tự nhiên liên tiếp không ?

HD: Trớc hết chứng minh tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho 3 thì d 0 hoặc 2 Thật vậy nêu trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 thì tích của chúng chia hết cho 3, nếu cả hai

số đều không chia hết cho 3 thì tích của chúng chia cho 3 d 2 ( tự chứng minh) Số 350 + 1 chia cho 3 d 1nên không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Bài 10 Cho A = 29 + 299 Chứng minh rằng AM 100

c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b); d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).

Bài 6 Tính giá trị biểu thức:

Bài 7 Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:

a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) với x = - 5, y = -3;

b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b) với a = -4, b = 4

Bài 8 Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:

a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);

Các bài toán nâng cao

Bài 12 Chứng minh các hằng đẳng thức sau:

X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;

Bài 13 Hãy viết các biểu thức dới dạng tổng của ba bình phong:

(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2

Bài 14 Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2) Chứng minh rằng a = b

Bài 15 Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Chứng minh rằng a = b =c

Bài 16 Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) Chứng minh rằng a = b = c

Bài 17 Cho a + b + c = 0 (1)

a2 + b2 + c2 = 2(2)

Bài 24 a) cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy.

b) cho x - y = 1 Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy

Bài 25 Cho a + b = 1 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) nếu n là tổng hai số chính phơng thì 2n cũng là tổng của hai số chính phơng

b) nếu 2n là tổng hai số chính phơng thì n cũng là tổng của hai số chính phơng

c) nếu n là tổng của hai số chính phơng thì n2 cũng là tổng của hai số chính phơng

Bài 31 a) Cho a = 11…1(n chữ số 1), b = 100…05(n - 1 chữ số 0) Chứng minh rằng: ab + 1 là số chính phơng

b) Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là các số tạo thành bằng cách viết chèn

số 15 vào chính giữa số hạng liền trớc :

16, 1156, 111556, …

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phơng

Bài 32 Chứng minh rằng ab + 1 là số chính phơng với a = 11…12(n chữ số 1),

chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử I) Phơng pháp đặt nhân tử chung: A(B + C ) =A.B +A.C

*) Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử

*) Bài 1: Phân tích thành nhân tử

t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b )

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

b)21x y 12xy ;c)x x 2x;

d)3x x 1 7x x 1 ;e)x y z xy z x yz;

f )2x x 1 2 x 1 ;g)4x x 2y 8y 2y xBài 4: Tính giá trị của biểu thức a) 15.91,5+ 150.0,85

5x (2z x)tại x=1999; y=2000; z= -1Bài 4: Tìm x, biết

a) 5x(x-2)-(2-x)= 0b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1)

1 2c) x(2x-1)+ x 0

3 3d)x(x 4) (x 4) 0e)x 5x 0;

b) Bình phương của một số lẻ chia cho 8 thì dư 1

Bài 6: chứng minh rằng:

n n 1 2n n 1luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

II) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dung hằng đẳng thức:

1) Phơng pháp: Biến đổi các đa thức thành dạng tích nhờ sử dụng hằng đẳng thức

g) 25a2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a2 + 100b2

i)9x2 -24xy + 16y2 j) 9x2 - xy + 1

36y2

a) 70a - 84b - 20ab - 24b2; b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y;

c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b; d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a

Bµi 9 Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a)

Bµi 10 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

Bài 4 a) Số 717 + 17 3 - 1 chia hết cho 9 Hỏi số 718 + 18.3 - 1 có chia hết cho 9 không?

b) Biến đổi thành tích các biểu thức:

Bài 10 Tổng các số nguyên a1, a2, a3, …, an chia hết cho 3 Chứng minh rằng

1.2) Đa thức từ bậc ba trở lên ngời ta dùng phơng pháp tìm nghiệm của đa thức

a) Chú ý: nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a.

Trong đó a là ớc số của a n, , với f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + …+ a n-1 + a n

b) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 - 4

Lần lợt kiểm tra với x = ±1, ±2, ±4, ta thấy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0

Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thừa số x - 2

2) Phơng pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm “

giảm bậc” của đa thức để phân tích

2.1) Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.

HD: a) Đặt y = x2 + x + 1, khi đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4)

Thay ngợc trở lại y = x2 + x + 1 vào đa thức f(x) ta đợc:

4) Phơng pháp xét giá trị riêng: Trớc hết ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức, rồi

gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

a) Ví dụ: Phân tích thành thừa số:

P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)

Giải:

Thử thay x bởi y thì P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0 Nh vậy P chứa thừa số x = y

nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không đổi Do đó P chứa thừa số có dạng (x - y),

Các bài tập áp dụng của các dạng trên.

Bài 1: Phân tích ra thừa số nguyên tố

Bài 9 Phân tích đa thức thành nhân tử:

x8 + 98x2 + 1

Bài 10 Phân tích đa thức thành nhân tử ( Dùng phơng pháp xét giá trị dơng)

a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc với 2m = a + b + c

chuyên đề chia đa thức cho đa thức I) Chia đơn thức cho đơn thức (trờng hợp đơn thức A chia hết cho đơn thức B).

1) Phơng pháp:

- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B

- Chia từng luỹ thừa của từng biến trong A cho luỹ thừa của biến đó có trong B

- Nhân các kết quả tìm đợc với nhau

2(a - b)

5 : 1

2(b - a)

2;n) (x + y)2 : (x + y); m)(x - y)5 : (y - x)4;

Bài 4 Thực hiện phép chia:

II) Chia đa thức cho đơn thức.

1) Phơng pháp: Chia đa thức A cho đơn thức B

- Chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B

- Cộng các kết quả lại với nhau

b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;

d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3

e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3

Bài 5 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x = -2

- Lặp lại quá trình trên cho đến khi:

+) nếu d cuối cùng bằng 0 thì phép chia có d bằng 0 và đợc gọi là phép chia hết

+) nếu d cuối cùng khác 0 và bậc của đa thức d thấp hơn bậc của đa thức chia thì phép chia đó

đ-ợc gọi là phép chia có d

2) Ký hiệu:

A(x) là đa thức bị chia;

B(x) là đa thức chia;

Q(x) là đa thức thơng;

R(x) là đa thức d;

Ta luôn có: A(x) = B(x) Q(x) + R(x);

- Nếu R(x) = 0 thì A(x) = B(x) Q(x) gọi là phép chia hết

- Nếu R(x) ≠0 thì A(x) = B(x) Q(x) + R(x),( bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x)) gọi là phép chia có d.3) Bài tập áp dụng:

Bài 3 Không thực hiện phép chia, hãy xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức

d trong trờng hợp không chia hết;

b) Ta thấy ngay thơng trong bớc thứ nhất của phép chia là 3x và do đó đa thức d thứ nhất là 2x -

1 Vì 2x - 1 có bậc nhỏ hơn 3x2 - 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia đợc nữa Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức d là 2x - 1

Bài 4 Không thực hiện phép chia, xét xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức

d trong trờng hợp không chia hết

b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a);

c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1);

Để chia hết, đa thức d phải đồng nhất băng 0, nên :

- Nếu hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau với mọi giá trị của biến số x thì ngời ta goi là hai đa thức hằng

đẳng hoặc hai đa thức đồng nhất Kí hiệu f(x) ≡ g(x)

- Hai đa thức (đã viết dới dạng thu gọn) đợc gọi là đồng nhất (hằng đẳng) khi và chỉ khi các hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau

Với a = -3; b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x - 2 và thơng là x - 1

4.4) Phơng pháp vận dụng vào định lý Bơdu

a) Định lý: Số d trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x

= a.(Nghĩa là r = f(a))

b) Chú ý: Đa thức f(x) chia hết cho x - a khi và chỉ khi f(a) = 0

Các bài tập áp dụng cho các ph ơng pháp trên.

Bài 1 Xác định a và b để đa thức x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phơng của một đa thức

HD: sử dụng phơng pháp hệ số bất định, ta có ha đáp số

x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2

x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2Bài 2 Xác định a và b để đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2

HD: sử dụng phơng pháp giá trị riêng, ta đợc kết quả a = 2; b = - 4

Bài 3 Xác định các hệ số a và b sao cho:

a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 + x + 1;

b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d -6, chia cho x - 1 d 21

HD: ta có kết quả

a) a = 1; b = 1;

b) a = 3; b = -1.

Bài 4 Tìm các giá trị nguyên của x để:

a) Giá trị của biểu thức x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hết cho giá trị của biểu thức x + 1;

b) Giá trị của biểu thức 2x2 + x - 7 chia hết cho giá trị của biểu thức x - 2

HDa) Thực hiện phép chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d là -3

+) Tìm hạng tử bậc cao nhất a2x3 : x = a2x2, hạng tử bậc thấp nhất -2a : 1 = -2a

+) Biểu diễn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng phơng pháp đồng nhất để tìm ra a = -2; a

x x

−

4

x x

+

và 2 25

2 3

x x

x x

+

41

x

x+ và

31

x x

3( 1)( 1)

x x

x x

x x

a)1

x và

23

x x

- Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó

c)

2 2

5 102(2 )

1

x x x

−

2 2

1

3 2 3

64

12

a

a a

++ víi a = 0,1;

x y

−+ víi 3x - 9y = 1.

Bµi 5 Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a b

IV) Quy đồng mẫu thức.

1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức:

a) Chia đa thức B lần lợt cho các mẫu của hai phân thức đã cho.

b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho

Bài 7 Cho hai phân thức: 2 1 , 2 2

1) Cộng hai phân thức cùng mẫu: Cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu

2) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau:

111

x x

= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)

Từ (1) và (3) suy ra biểu thức trên bằng 0, tồn tại một trong ba thừa số a - 1, b - 1, c - 1 bằng 0, do đó tồntại một trong ba số a, b, c bằng 1

Bài 11 Cho 3y - x = 6 Tính giá trị của biểu thức : A = 2 3

−+

y y

Tõ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3)

Tõ gi¶ thiÕt suy ra : ab + bc + ca = 0