Đề hay số 8

Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1 B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300.. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009 LB8

Mụn thi : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề

Câu I (2 điểm) Cho hàm số = 2 ++21

x

x

y có đồ thị là (C)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân

biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Câu II (2 điểm)

1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

2 Tớnh tớch phõn:

3 2 0

1

x

+ −

=

+

Câu III (2 điểm)

1.Giải bất phương trỡnh: 2x+10≥ 5x+10− x−2

2.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có

mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.

Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1 B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA1 và B1C1 theo a.

II PHẦN RIấNG (3.0 điểm)

Câu Va

1.(2 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = 9

và đờng thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ

đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.

2.(1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số

luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.

Câu Vb

1 (2 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d

có phơng trình

3

1 1

2

x

Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ

d tới (P) là lớn nhất.

2.(1 điểm) Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2009 + b2009 + c2009 = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a4 + b4 + c4

………Hết………

HƯỚNG DẨN GIẢI

I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

CõuI: )(2 điểm)

1.(học sinh tự khảo sỏt hàm số)

2)Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm của phơng trình







=−

+

−+

−≠

⇔+

−=

+

+

)1(

0 21 ) 4(

2 2

1

2

x

x m

x

x

x

Do (1) có∆ =m2 + 1 > 0 va ( − 2 ) 2 + ( 4 −m).( − 2 ) + 1 − 2m= − 3 ≠ 0 ∀m nên đờng thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B

Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy ra AB ngắn nhất

 AB2 nhỏ nhất  m = 0 Khi đó AB= 24

Cõu II:)(2 điểm)

1)(1 điểm).Phơng trình đã cho tơng đơng với

9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8  6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0

 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0  (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0

 





=

− +

=

−

) ( 0 7 sin 2 cos

6

0 sin

1

VN x

x

x

 π 2π

x= +

2) (1 điểm).Tớnh:

3 2 0

1

x

+ −

=

+

∫ Đặt x+ = ⇔ = −1 t x t2 1 => dx=2tdt; khi x=0=>t=1,x=3=>t=2

1

t

Câu III (2 điểm)

1(1 điểm) BG:Giải bất phương trỡnh: 2x+10≥ 5x+10− x−2(1)

*Điều kiện: x≥2

( )1 ⇔ 2x+10+ x− ≥2 5x+10 ⇔ 2x2+6x−20≥ +x 1(2)

Khi x≥2 => x+1>0 bỡnh phương 2 vế phương trỡnh (2)

(2)⇔2x +6x−20≥x +2x+1 ⇔x +4x− ≥11 0 ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞x ; 7 3;

Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của bất phương trỡnh là: x≥3

2 (1 điểm).Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 10

5 =

C cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0

đứng đầu) và 3

5

C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2

5

C 3 5

C = 100 bộ 5 số đợc chọn

Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả 2

4

5

C 5! = 12000 số

Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số 0 đứng đầu là 3 4 ! 960

5

1

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán

II.Phần riêng.( 3điểm)

Câu Va :

1)(2 điểm)Từ pt của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn

và AB⊥AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3⇒IA= 3 2







=

=

⇔

=

−

⇔

=

−

⇔

7

5 6

1 2

3

2

1

m

m m

m

2 (1 điểm)Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 6

4 =

C cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)và

10

2

5 =

C cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2

4

5

C = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán Mỗi bộ 4 số nh thế có 4! số đợc thành lập Vậy có tất cả 2

4

5

C 4! = 1440 số

Câu Vb

1)(2 điểm)Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa

d và (P) là khoảng cách từ H đến (P)

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥HI=> HI lớn nhất khi A≡I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

) 3 1

;

; 2 1

H

d

H ∈ ⇒ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên AH ⊥d ⇒AH.u = 0 (u = ( 2 ; 1 ; 3 )là vtcp của ( d) ⇒H( 3 ; 1 ; 4 ) ⇒AH( − 7 ; − 1 ; 5 )

Vậy (P): 7(x -10) + (y- 2) -5(z + 1) = 0  7x + y -5z -77 = 0

2) (1 điểm)áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có

) 1 ( 2009

2009 1

1

2005

a a

a a a a

a a

+

+

+



Tơng tự ta có

) 2 ( 2009

2009 1

1

2005

b b

b b b b

b b

+

+

+



) 3 ( 2009

2009 1

1

2005

c c

c c c c

c c

+

+

+



Cộng theo vế (1), (2), (3) ta đợc

) (

2009 6027

) (

2009 )

( 4 6015

4 4 4

4 4 4 2009

2009 2009

c b a

c b a c

b a

+ +

≥

⇔

+ +

≥ +

+ +

Từ đó suy ra P=a4 +b4 +c4 ≤ 3

Tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3

………Hết………