chuyen de dai so 8

Bài 2 : Theo kế hoạch ,đội sản xuất cần gieo mạ trong 12 ngày .Đến khi thực hiện đội đã nâng mức thêm 7 ha mỗi ngày vì thế hoàn thành gieo mạ trong 10 ngày .Hỏi mỗi ngay đội gieo đợc bao

e) 3x3 - 48x = 0 f) x3 + x2 - 4x = 4

Bài 8: Chứng minh đẳng thức:

a (x a x b− ) ( − + −) (x b x c) ( − + −) (x c x a) ( − =) ab bc ca x+ + − 2 ; biết rằng 2x = a + b + c

b 2bc b+ + − 2 c2 a2 = 4p p a( − ) ; biết rằng a + b + c = 2p

Bµi 1: Thùc hiƯn phÐp tÝnh

2 1

x x

x x

x a

− +

1

1 1

1

)

x x

x x

x x x

b

3 3 2 2

.

2 2

2 2 2

)

y x

y y

x

y y

x

y x y x

y x c

−

−

− +

−

3

15 1 2 : 6 2

5 3

)

x

x x

x x

: 2 2

3 2

2

3 2

2

2

x

x x

x x x

x A

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 2005

c) Tìm giá trị của x để A có giá trị bằng – 1002

−

− +

=

3

5 2

: 9

1 3

x x

x

x B

d) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên

Bài 4: Cho biểu thức:

4 4

: 8 4 2

2 8

2

2

2

2 2

3

2 2

−

− +

−

=

x x

x x

x x

x x

x x C

a) Rút gọn C

b) Tính giá trị của biểu thức C tại các giá trị của x thoả mãn |x - 3| = 1

Bài 5: Cho biểu thức:

1

1 : 1 1

1 1

=

x x

x D

a) Rút gọn D

b) Tính giá trị của D tại x = 2

c) Tìm giá trị của x để biểu thức D có giá trị bằng 0

1

1 1

x x

x E

Bài 7: Cho biểu thức:

x

x x

x

x x

x x

G

5

2 2 : 3 2 1

1

3

2 2

b) Tính giá trị của G biết x(x – 2) = 0.

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức G nhận giá trị nguyên

Bài 1: Giải phơng trình sau

1/ 14x-(2x+7) = 3x+(12x-13) ; 2/ 2x+33 – 3(12-x) = 9 +2(x+3)3/ 2,5(x-3) -3(x- 4) = 9 – (5x-15,3) ; 4/ 3x-

1

3x− = x+ + ; 2/

2

1 2 6

2 3

x 2x 3+ = x 1

2x 1 2x 1 8 2x 1 2x 1 4x 1

Bài 6: Giải phơng trình sau

2 2

3 2 11 1)

1 65 2)

8

2 1 5( 1) 3)

Dạng: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

Bài 1:Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 63 , hiệu của chúng là 9 ?

Bài 2: Tìm 2 số biết tổng của chúng là 100 Nếu tăng số thứ nhất lên 2 lần và cộng thêm vào số thứ hai 5 đơn vị thì số thứ nhất gấp 5 lần số thứ hai

Bài 3: Hai thùng dầu ,thùng này gấp đôi thùng kia ,sau khi thêm vào thùng nhỏ 15 lít ,bớt ở thùng lớn 30 lít thì số dầu thùng nhỏ bằng

1, thùng thứ ba có số đờng bằng 42,5% số đờng thùng 2.Tính số đờng mỗi thùng ?

A toán có nội dung số học

Bài 1: Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng 2 chữ số là 16 , nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta đợc

số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị

Bài 2 : Cho một số có hai chữ số tổng hai chữ số bằng là 7 Nếu viết theo thứ tự

ngợc lại ta đợc số mới lớn hơn số đã cho 27 đơn vị Tìm số đã cho ?

B toán chuyển động

Bài 1: Hai xe khởi hành cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B cách nhau 70 km và sau một giờ thì gặp nhau Tính vận tóc của mỗi xe , biết rằng vận tốc xe đi từ A lớn hơn xe đi từ B 10 km/h

Bài 2: Một xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h và sau đó quay trở về với vận tốc 40 km/h Cả đi lẫn về mất 5h 24 phút Tính chiều dài quãng đờng AB ?

Bài 3: Một ngời đi xe đạp từ A đén B Một giờ sau, một xe máy cũng đi xe máy từ A đến B và

đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 h 30’ Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp đôi vận tốc của xe đạp và quãng đờng AB dài 80 km

Bai 1:`Một người đi xe đạp , một người đi xe mỏy , một người đi ụ tụ cựng đi từ A đến B Họ khởi hành từ A theo thứ tự núi trờn lỳc 6h ; 7h ; 8h Vận tốc trung bỡnh của họ theo thứ tự trờn

là 10km/h ; 30km/h ; 40km/h Hỏi lỳc ụ tụ ở chớnh giữa vị trớ xe đạp và xe mỏy thỡ ụ tụ đó cỏch

2) Một ca nụ xuụi dũng từ bến A lỳc 5h 30 phỳt để đến bến B và nghỉ lại đõy 2h15phuts để dỡ hàng , sau đú lại quay về A Đến A lỳc 13h45 phỳt Tớnh k/c giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc ca nụ khi nước yờn lặng là 24,3km/h và vận tốc dũng nước chảy là 2,7km/h Đỏp số: 72km

C toán kế hoạch thực làm– Bài 1 Một đội đánh cá dự định mỗi tuần đánh bắt 20 tấn cá, nhng mỗi tuần đã vợt mức 6 tấn nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm một tuần mà còn vợt mức đánh bắt 10 tấn Tính mức cá đánh bắt theo kế hoạch ?

Bài 2 : Theo kế hoạch ,đội sản xuất cần gieo mạ trong 12 ngày Đến khi thực hiện đội đã nâng mức thêm 7 ha mỗi ngày vì thế hoàn thành gieo mạ trong 10 ngày Hỏi mỗi ngay đội gieo đợc bao nhiêu ha và gieo đợc bao nhiêu ha ?

Bài 3 : Một xởng đóng giầy cần phải hoàn thành kế hoạch trong 25 ngày

Thực tế, xởng đã vợt mức mỗi ngày 6 đôi nên sau 20 ngày chẳng những hoàn thành kế hoạch mà còn làm thêm đợc 20 đôi giày Hổi xởng phải đóng bao nhiêu đôi giày theo kế hoạch ?

Bài 4 : Một xí nghiệp dệt theo hợp đồng làm trong 20 ngày Khi làm năng suất tăng 20 % do đó trong 18 ngày hoàn thành số thảm cần dệt và dệt thêm đợc 24 tấm nữa Tính số thảm xí nghiệp dệt theo hợp đồng ?

D toán phần trăm

Bài 1 : Năm trớc cả hai cánh đồng thu hoạch đợc 650 tạ thóc Năm nay cánh đồng thứ nhất năng suất tăng 50 %, cánh đồng thứ hai năng suất tăng 70 % nên tổng số cả hai cánh đồng thu đợc

1080 tạ thóc Hãy tính số thóc thu đợc mỗi cánh đồng của năm trớc ?

Bài 2 : Tháng giêng cả hai tổ may đợc 720 bộ quần áo Sang tháng thứ hai,do cải tiến kĩ thuật ,tổ

1 vợt mức 15 %, tổ 2 vợt mức 12 % nên cả hai tổ may đợc 819 bộ quần áo

Hỏi trong tháng hai mỗi tổ may đợc bao nhiêu bộ quần áo ?

1) Một phõn số cú tử kộm mẫu số 8 đơn vị , nếu tăng tử số 3 đơn vị và tăng mẫu số 5 đơn vị thỡ được phõn số mới bằng 3/4 Tỡm phõn số ban đầu

2) Một hỡnh chữ nhật cú chu vi 450m Nếu giảm chiều dài đi 20% , tăng chiều rộng them 25% thỡ được hỡnh chữ nhật mới cú chu vi khụng đổi Tớnh chiều dài chiều rộng của vườn

3) Một tầu đỏnh cỏ dự định trung bỡnh mỗi ngày bắt được 3 tấn cỏ Nhưng thực tế mỗi ngày bắt them được 0.8 tấn nờn chẳng những hoàn thành sớm 2 ngày mà cũn bắt them được 2 tấn cỏ Hỏi mức cỏ dự định bắt theo kế hoạch là bao nhiờu?

4) Hai kho chứa 450 tấn hàng Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thỡ số hàng ở kho I bằng 5/4 số hàng ở kho II Tớnh số hàng trong mỗi kho

5) Hai vũi nước chảy vào một cỏi bể thỡ đầy sau 3h20’ Người ta cho vũi J chảy trong 2h và vũi II chảy trong 2h thỡ được 4/5 bể Tớnh thời gian mỗi vũi chảy một mỡnh đầy bể

6) Hai mỏy cày cụng suất khỏc nhau phải cày một thủa ruộng nếu mỗi mỏy làm việc riờng một mỡnh thỡ mỏy thứ I cần 20h , mỏy thứ II cần 15h mới cày xong thủa ruộng Nụng trường giao cho mỏy thứ I cày trong một thời gian rồi nghỉ và mỏy II cày tiếp cho xong Biết thời gian mỏy I làm ớt hơn mỏy II là 3h20’ Tớnh thời gian mỗi mỏy đó cày

chủ đề: tam giác đồng dạng

1) Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD) Một cỏt tuyến song song với AB lần lượt cắt cỏc đoạn thẳng AD, BD, AC, BC tại M, N, P, Q.

b/ Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E, F.CMR: EI = IK = KF

Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 60o Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BC và AD E là điểm đối xứng với A qua B

a) Tứ giác ABMN là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh: Tứ giác AEMN là hình thang cân

c) Chứng minh: Ba điểm E, M, D thẳng hàng

Bài 11: Cho ∆ABC vuông tại A, đờng cao AH Gọi E, F, M lần lợt là trung điểm của các cạnh

AB, AC, BC Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật

b) Tứ giác EHMF là hình thang cân

c) Giả sử AB = 6cm, BC = 10cm Hãy tính diện tích tam giác EHF

Bài 12: Cho hình thang CDEF (CD//EF) Gọi A, B, M, N lần lợt là trung điểm của CD, CE, EF,

DF

a) Chứng minh: Tứ giác ABMN là hình bình hành

b) Nếu CDEF là hình thang cân thì ABMN là hình gì? Vì sao?

c) Hình thang CDEF cần thêm điều kiện gì thì ABMN là hình vuông? Vẽ hình minh họa

Bài 13: Cho hình thoi ABCD, gọi E là điểm đối xứng với A qua B; F là điểm đối xứng với A qua

D

a) Chứng minh: Các tứ giác BDFC và BDCE là hình bình hành, suy ra C là trung điểm của EF

b) Chứng minh: Tứ giác BDFE là hình thang cân

c) Biết diện tích của hình thoi ABCD là 8cm2 Tính diện tích BDFE

Bài 14: Cho ∆ABC, vẽ phân giác AD Từ D kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC tại E Từ E

kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB tại F Chứng minh:

a) Tứ giác BFEC là hình thang.

b) Tứ giác BFED là hình bình hành

c) AE = BF

d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác BFED là hình thoi

Bài 15: Cho ∆ABC vuông tại A, D là trung điểm của BC Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB; E là giao điểm của DM và AB Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC; F là giao điểm của

DN và AC

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Các tứ giác ADBM và ADCN là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh: M đối xứng với N qua A

d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AEDF là hình vuông

Bài 16: Cho ∆ABC, góc A = 90o, AB = 6cm, AC = 8cm

a) Tính BC

b) Kẻ AH ⊥ BC Tính diện tích ∆ABC và AH

c) Qua H kẻ HE ⊥ AB, HF ⊥ AC

Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao? Chứng minh: AH = EF

Bài 17: Cho ∆ABC, trung tuyến AM Gọi O là trung điểm của AM Trên tia đối của tia OB lấy

điểm D sao cho OD = OB

a) Chứng minh: Tứ giác ABMD là hình bình hành

b) Xác định dạng của tứ giác AMCD? Giải thích?

c) Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác AMCD là hình chữ nhật

Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB,

CD

a) Các tứ giác AEFD và AECF là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE

Chứng minh: Tứ giác EMFN là hình chữ nhật

c) Chứng minh: Các đờng thẳng AC, BD, EF, MN đồng quy

d) Hình bình hành ABCD cần điều kiện gì để tứ giác EMFN là hình vuông

1) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , AB < AC , đường phõn giỏc AD Đường vuụng gúc với DC tại D cắt AC ở E Chứng minh rằng:

a) Tam giỏc ABC và tam giỏc DEC đồng dạng

b) DE = BD

2) Cho tam giỏc ABC cú AB = 15cm ; AC = 21cm Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 7cm , trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm C/minh rằng: a) Tam giỏc ABD và tam giỏc ACE đồng dạng

b) Tam giỏc IBE và tam giỏc ICD đồng dạng ( I là giao điểm của BD và CE )

c) IB ID = IC IE

3) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A , đường cao AH , BC = 100cm , AH+ 40cm Gọi D là hỡnh chiều của H trờn AC , E là hỡnh chiếu của H trờn AB

a) C/mỡnh rằng: Tam giỏc ADE và tam giỏc ABC đồng dạng.

b)Tớnh diện tớch tam giỏc ADE

4) Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H gọi M ; N theo thứ tự là trung điểm của BC ; AC Gọi O

là giao điểm cỏc đường trung trực của tam giỏc

a)C/minh rằng : Tam giỏc OMN và tam giỏc HAB đồng dạng Tỡm tỉ số đồng dạng

b) So sỏnh độ dài của AH và OM

c) Gọi G là trọng tõm của tam giỏc ABC C/minh rằng tam giỏc HAG và tam giỏc OMG đồng dạng

d) C/minh 3 điểm H ; G ; O thẳng hàng và GH = 2GO

5) Cho hỡnh thang vuụng ABCD ( AÂ = DÂ= 90° ) cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau tại

O AB = 4cm ; CD = 9cm

a) C/minh rằng cỏc tam giỏc AOB và DAB đồng dạng

b) Tớnh độ dài AB

c) Tớnh tỉ số diện tớch của tam giỏc OAB và tam giỏc OCD

6) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ; AB = 1 ; AC = 3 Trờn cạnh AC lấy cỏc điểm D ; E sao cho

1 Phơng pháp chứng minh vế trái (VT)bằng vế phải (VP)

Muốn chứng minh đẳng thức A(x,y, ,z) = B(x,y, ,z) thì ta có thể biến đổi đại số của VT hoặc… …

VP để VT=VP

Bài toán 1: Chứng minh rằng:

1 a3 - b3 = ( a –b) 3 + 3ab( a-b)

2 ( b-c)3 + (c-a)3 + (a-b)3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)

Phơng pháp (PP): Trong bài toán này vế trái trái của đẳng thức là các hằng đẳng thức vì vậy chúng

= 3(-b2c+bc2-c2a+ca2-a2b+ab2)

= 3(a-b)(b-c)(c-a) =VP (ĐPCM)

Bài toán 2: Chứng minh rằng:

y x y xy y x x

y xy x

−

=

−

− +

+

2 2

3 2

3 2 2

3

2 2

PP: Đây thực ra là một bài toán rút gọn biểu thức, cho nên muốn làm đợc bài này ta cần phân

xy y x x

y xy x

−

=

− + +

+ +

=

−

− +

+

2

2 2

2

3 2

3 2 2

3

2 2

(ĐPCM)

Bài toán 3: Với ba số a,b,c là ba số đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

b a a

b c b

a c c

−

−

− +

−

−

PP: Đây là một bài toán nếu nhìn bình thờng thì ta nghĩ ngay đến việc quy đồng và thực hiện

cộng ba phân thức với nhau, nhng nếu làm nh vậy ta sẻ đi đến một biểu thức tơng đối khó Với bài này ta nên thêm bớt vào tử thức để có thể đa về các phân thức có mẫu bằng 1

(

) ( ) ( ) )(

(

) ( ) (

a b c b

a b b c c a b a

c a a b

−

−

− +

− +

−

−

− +

−

+

) )(

(

) ( ) (

b c a c

b c c a

−

−

− +

−

=

b c a c a b c b c a b

a− − − + − − − + − − −

1 1

1 1

1 1

a c c b b

a− + − + −

= 2 2 2 = VP (ĐPCM)

Chú ý Bài toán trên có thể biến đổi tơng tơng bằng cách chuyển VP sang VT

2 Bài toán có điều kiện:

Đa số các bài toán nói chung và bài toán chứng minh đẳng thức và quan hệ đại số nói riêng

là bài toán có điều kiện ban đầu( hay gọi là giả thiết) Trong quá trình giải toán HS thờng băn khoăn không biết sử dụng giả thiết nh thế nào cho đúng ? Đây là một vấn đề nhạy cảm vì vậy

cần hình thành cho HS một cái nhìn bao quán trong quá trình giải toán Sau đây là một số bài toán nh thế, qua đó ta có thể rèn luyện kỉ năng vận dụng giả thiết vào giải toán.

Bài toán 1 : Cho ba số a,b,c thoả mãn a+b+c =0 Chứng minh rằng:

(a 2 +b 2 +c 2 ) 2 = 2(a 4 +b 4 +c 4 ) PP: Ta thấy VT và VP của đẳng thức là các luỹ thừa 2 và 4 vậy thì việc sử dụng GT a+b+c =0

nh thế nào để làm xuất hiện các luỹ thừa cần dùng

Lời giải: Do a+b+c = 0 nên (a+b+c)2=0

⇔ a 2 +b 2 +c 2 = -( 2ab+2bc+2ac)

⇔(a2+b2+c2)2= 4(ab+bc+ac)2

⇔ a4+b4+c4 +2a2b2+2b2c2+2a2c2= 4(a2b2+b2c2+a2c2 +2ab2c+2a2bc+2abc2)

⇔ a4+b4+c4 = 2a2b2+2b2c2+2a2c2 +8abc(a+b+c) do a+b+c =0 nên

PP: Đây là một bài toán sử dụng giả thiết tơng đối khó vì HS không biết sử dụng các luỹ thừa

2 nh thế nào Với bài này cần cho HS biết cách sử dụng số 1 hợp lý vào biểu thức cần chứng minh vì ab+cd = ab.1+cd.1 ; cuối cùng là đa về nhân tử để sử dụng ac+bd=0

Lời giải: Ta có ab+cd= ab(c2+d2)+cd(a2+b2)

y a

x = = thì:

(x 2 +y 2 +c 2 )( a2+b2+c2) = (ax+by+cz)2

PP : Bài toán này có GT là một dãy tỉ số bằng nhau vì vậy cần sử dụng kiến thức tỉ lệ thức để

vận dụng vào trong quá trình giải

Lời giải Đặt

c

z b

y a

PP Đây là bài toán khó đối với HS vì luỹ thừa lớn nên HS thờng không biết sử lý nh thế nào

Với bài này chúng ta nên dạy cho HS cách phán đoán trớc khi giải: Bài này ta có thể dự đoán một trong các số a;b;c bằng 1 cong hai số còn lại bằng 0

Lời giải: Do a3+b3+c3=1 và a+b+c=1 ta có a3+b3+c3 = a+b+c

⇔3(a+b)(b+c)(c+a)=0

⇔a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a

Nếu a=-b ta có a2005+b2005+c2005= a2005- a2005+c2005 = c2005= 1 vì a-a+c=1

⇔b=y hoặc x+a-b-y=0

Nếu b=y ⇒ x=a ⇒ x 2009 +y 2009 = a 2009 +b 2009

Nếu x+a-b-y=0 ⇔x-y = b-a kết hợp với x+y = a + b suy ra x=b ⇒y=a

⇒ x 2009 +y 2009 = a 2009 +b 2009 ( ĐPCM)

Bài toán 6 Cho

c b a c b

a+ + = + +

1 1

1 1

Chứng minh rằng: 20091 20091 20091 2009 20091 2009

c b a

c b

PP Bài toán này trớc khi làm cần hớng dẫn HS xét xem bài toán xảy ra dấu bằng khi nào?

Bài toán này xảy ra khi ba số a; b; c đôi một đối nhau, chính vì vậy từ giả thiết ta biến đổi

+ +

+

c b a c

b a ab

b a

(a+b)(b+c)(c+a) = 0

Suy ra : a=-b; b=-c; c=-a

Nếu a = -b Ta có 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091 2009 20091 2009

c b a

c c

a a

c b

Tơng tự ta cũng có các kết luận nh trên với b=-c; c=-a

Vậy 20091 20091 20091 2009 20091 2009

c b a

c b

Mở rộng : Bài toán trên có thể chứng minh với luỹ thừa bậ n ( n lẻ) hoặc chứng minh

rằng:

c b a c b

a+ + = + +

1 1

1

1

sảy ra khi và vhỉ khi a=-b; b=-c; c=-a.

Bài toán 7: a CMR: Nếu x = by+cz , y = ax+ cz , z= ax+by và x+y+z 0.≠

1

1 1

1 1

+

+ +

x+y+z = 2(ax + x) = 2x( a+1)

z y x

x

a+ = + +

1 1

Tơng tự ta có: b1+1= x+2y y+z và c1+1= x+2y z+z

+

+ +

+

1 1

1 1

1

c b

z z

y x

y z

y x

x

+ +

+ + +

+ + +

2 2

1 1

+

+ +

x va x =y +z thì 12 + 12 + 12 = 1

z y x

PP Bài trên đẳng thức yêu cầu chứng minh có luỹ thừa 2 và nó là phân luỹ thừa của một hằng

đẳng thức vì vậy để tạo ra nó cần có cái nhìn về GT Ta có thể tạo ra bằng cách bình phơng hai

vế của 1−1 −1 = 1

z y

Lời giải: Ta có 1− 1−1 = 1

z y

x ⇔ 12 + 12 + 12 − 2 + 2 − 2 = 1

zx yz xy z y x

⇔ 12 + 12 + 12 =

z y

zx yz xy

2 2

2 − +

⇔ 12 + 12 + 12 =

z y

x 1+2 +yz − yz2 = 1 + yz2 − yz2 = 1

z y

Vậy 12 + 12 + 12 = 1

z y x

+

+ +

+

c c a

b c b

a

2 2

2

= +

+ +

+

c c a

b c b a

PP Bài toán này cũng là một bài toán khó khi các em HS tìm cách tạo ra a2, ,trong đẳng …thức cần chứng minh Ta thấy rằng mẫu của GT cũng nh dẳng thức cần chứng minh là nh nhau nên chúng ta không nên sử lý đối với mẫu mà tạo ra các luỹ thừa bằng cách nhân cả hai

vế của GT với (a +b+c)

+

+ +

+

c c a

b c b a