GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CÓ THAM SỐ Giải và biện luận phương trình ax = -b Ta có: 0ax b ax b = = ⇔ = − 1. 0a ≠ ⇒ phương trình có nghiệm duy nhất ; b b x S a a   = − = −     2. a = 0 ⇒ phương trình có dạng: 0.x = b a) Nếu b ≠ 0 ⇒ Không có giá trò nào của x nhân với 0 cho tamột số khác 0. Vậy phương trình vô nghiệm; S = ∅ . b) Nếu b = 0 ⇒ Phương trình có dạng 0.x = 0 được nghiệm với mọi x thuộc R. phương trình vô số ngiệm , S = R Kết luận : 1. 0a ≠ ⇒ b S a   = −     2. a= 0 a) b ≠ 0 ⇒ S = ∅ b) b = 0 ⇒ S = R Ví dụ 3.15 Giải và biện luận phương trình : a(x-1) = 2(b-x) Giải Ta có : a(x-1) = 2(b-x) ⇔ (a+2)x = a+ 2b. 1. a+2 ≠ 0 ⇔ a ≠ -2, phương trình có nghiệm duy nhất 2 2 a b x a + = + 2. a + 2 = 0 ⇔ a = -2, phương trình có dạng 0.x = -2 + 2b. a) Nếu -2 + 2b = 0 ⇔ b = 1, phương trình có dạng 0.x = 0, có nghiệm tuỳ ý. Kết quả: a ≠ -2 ⇒ 2 2 a b S a +   =   +   a = -2 và b ≠ 1 ⇒ S = ∅ a = -2 và b = 1 ⇒ S = R Ví dụ 3.16 Tìm giá trò m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất 2 1 2 1 m m x − = − − (a) Giải Đây là phương trình có ẩn ở mẫu. Ta đặt điều kiện cho ẩn: x- 1 ≠ 0 1x ⇔ ≠ Ta được : 2 1 2 ( 2) 3( 1) 1 m m m x m x − = − ⇔ − = − − Phương trình (b) có nghiệm duy nhất là : ( 2) 0 2m m− ≠ ⇒ ≠ Lúc đó, nghiệm của (b) là: 3( 1) ;( 2) 2 m x m m − = ≠ − Để 3( 1) 2 m x m − = − là nghiệm của phương trình (a) thì nó phải thoả mãn điều kiện 1x ≠ , tức là 3( 1) 1 1 2 2 m m m − ≠ ⇒ ≠ − Kết quả : phương trình 2 1 2 1 m m x − = − − có nghiệm duy nhất khi m 2≠ có nghiệm duy nhất khi m 2≠ và 1 2 m ≠ Ví dụ 3.17 Cho phương trình : 2 1 1 x x x m x + + = − − (a) Tìm các giá trò của m để phương trình (a) vô nghiệm. Giải Phương trìnhn (a) là phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện: 0 1 0 1 x m x m x x − ≠ ⇒ ≠ − ≠ ⇒ ≠ Điều kiện: x m≠ và 1x ≠ (*) Ta có (a) ( 2)( 1) ( 1)( ) 2 x x x x m mx m ⇒ + − = + − ⇔ = − (b) 1. Với m = 0 thì phương trình (b) có dạng 0.x = 2 Vậy, trường hợp này phương trình (b) vô nghiệm (1) 2. Với 0m ≠ thì phương trình (b) có nghiệm 2 m x m − = . Nghiệm 2 m x m − = là nghiệm của (a) khi nó phải thoả mãn các điều kiện (*), tức là: 2 1 2 1 m m m m m − ≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ 2 2 2 0 ( 1)( 2) 0 1, 2 m x m m m m m m m m − = ≠ ⇒ + − ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ ≠ ≠ − Vậy với m = 1 hoặc m = -2 thì phương trình (a) cũng vô nghiệm (2) Kết quả: phương trình (a) vô nghiệm với các giá trò của { } 2;0;1m∈ − BÀI TẬP 121. Giải và biện luận các phương trình: a) 2 3 4 ( 1);m x x m− = − − m là tham số b) 2 2 2 0 x m mn x n m n n m m n − − − + = + − − ; m, n là các tham số c) 3 2 4 4 4 ;m x m mx m− = + − m là tham số d) (m-1)(m+2)x +3m 2 + m – 4 = 0; m là tham số. e) (a 2 -3a + 2) x = a – 2; a là tham số 122. Giải và biện luận các phương trình a) 1 2 1 x a x x x a + − + = + − ; a là tham số b) 2 2 2 3 4 3 1 ; a a a x a a x x a − + + = − − + a là tham số. 123. Giải và biện luận các phương trình : 1 1 1 1 a b x a b x + + = + + ; a,b,c là tham số 124. Giải và biện luận phương trình: 4 1 a b x b c x c a x x c a b a b c + − + − + − + = + + = + + 125. Cho phương trình: 2 2 1 x a x x x + − + = + Xác đònh giá trò a để phương trình vô nghiệm. 126. Cho phương trình : m(x-1) + n(2x+1) – x = 2; m,n là tham số Xác đònh các giá trò m,n để phương trình có vô số nghiệm (S=R) 127. Cho hai phương trình : x= 1 – 2mx (a) 2 2 2m x m x− = − (b) 1. Giải và biện luận phương trình (a),phương trình (b) 2. Với những giá trò nao9f của tham số m thì hai phương trình tương đương? HƯỚNG DẪN GIẢI 121. a) 2 2 2 3 4 ( 1) 4 1 3 ( 4) ( 2) ( 2)( 2) ( 2) m x x m m x x m m x m m m x m − = − − ⇔ − = − − + ⇔ − = − − ⇔ − + = − − 1) (m-2)(m+2) 0 ≠ 2m ⇔ ≠ ± Phương trình có nghiệm ( 2) 1 ( 2)( 2) 2 m x m m m − − − = = − + + 2 a) Với m = +2, phương trình có dạng 0.x = 0 ⇒ Phương trình được nghiệm với mọi x ∈ R b) Với m = -2, phương trình có dạng 0.x = -4 ⇒ Phương trình vơ nghiệm Kết quả: 1 2 2 2 2 m S m m S R m S −   ≠ ± ⇒ =   +   = ⇒ = = − ⇒ = ∅ 2 2 2 ) 0 x m mn x n b m n n m m n − − − + = + − − Điều kiện: 2 2 0m n m n− ≠ ⇒ ≠ ± Mẫu chung 2 2 m n− Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được: 2 2 ( )( ) 2 ( )( ) 0 2 ( ) ( ) 1) 0 2 x m m n mn x n m n mx m n m n m x m − − + − + = ⇒ = − − ≠ ⇒ = 2) m = 0 ⇒ Phương trình có dạng 0.x = n 2 Do điều kiện m n≠ ± , ta suy ra n ≠ 0 và phương trình trỏ thành 0.x ≠ 0 ⇒ Không có giá trò nào của x nhân với 0 cho ta kết quả là một số ≠ 0 Vậy phương trình vô nghiệm. Kết quả 2 ( ) 0 ; 2 0 m n m S m n m m S   − ≠ ⇒ = ≠ ±     = ⇒ = ∅ c) 3 2 3 2 2 2 4 4 4 4 4 4 ( 4) 4 4 ( 2)( 2) ( 2)( 2) m x m mx m m x mx m m mx m m m m m m x m m − = + − ⇔ − − − + ⇔ − = − + ⇒ − + = − − 1) Với ( 2)( 2) 0 0m m m m− + ≠ ⇔ ≠ và 2m ≠ ± , phương trình có nghiệm 2 ( 2) m x m m − = + 2) a) Với m = 0 phương trình có dạng 0.x = 4 ⇒ vô nghiệm S = ∅ b) Với m = 2 phương trình có dạng 0.x = ⇒ S = R c) Với m = -2 phương trình có dạng 0.x = 16 ⇒ S = ∅ d) 2 2 ( 1)( 2) 3 4 0 ( 1)( 2) (3 4) ( 1)( 2) ( 1)(3 4) m m x m m m m x m m m m x m m − + + + − = ⇔ − + = − + − ⇔ − + = − − + 1) ( 1)( 2) 0 1 ( 1)(3 4) 3 4 ( 1)( 2) 2 m m m m m m x m m m − + ≠ ⇒ ≠ − − + + ⇒ = − − + + và 2m ≠ 2) (m-1)(m+2) = 0 a) m – 1 = 0 ⇒ m=1, phương trình có dạng 0.x = 0 ⇒ phương trình có nghiệm tuỳ ý b) m = -2 ⇒ phương trình có dạng 0.x = 2 ⇒ phương trình vơ nghiệm Kết quả: 1m ≠ và 3 4 2 2 m m S m +   ≠ ⇒ = −   +   m =1 ⇒ S = R m = -2 ⇒ S = ∅ e) 2 ( 3 2) 2 ( 1)( 2) 2 1)( 1)( 2) 0 1 va a 2 1 1 a a x a a a x a a a a x a − + = − ⇔ − − = − − − ≠ ⇒ ≠ ≠ ⇒ = − 2) a = 1 ⇒ 0.x = -1 ⇒ S = ∅ a =2 ⇒ 0.x = 0 ⇒ S = R 122. a) 1 2 1 x a x x x a + − + − + − Điều kiện : x ≠ -1 và x ≠ a Ta đưa phương trình về dạng: 2(a-1)x = (a-1) 2 1) khi 1 a 1 => 1 1 2 1 1 2 a a a x a a a − ≠ − ⇒ ≠ − − ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ − vậy với giá trị a ≠ 1± thì phương trình có nghiệm 1 2 a x − = 2) Khi a= 1, phương trình có dạng 0.x = 0 Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị , 1x R x∈ ≠ ± 3) Khi a = -1 => phương trình vơ nghiệm : S = ∅ b) 2 2 2 3 4 3 1a a a x a a x x a − + + = − − + Điều kiện : x ≠ a± . Mẫu chung x 2 – a 2 Quy đồng mẫu và khử mẫu, đưa vcề phương trình: (a-1)x = (a-1)(2a-3) 1)Với a = 1 => x = 2a-3 Với điều kiện x ≠ a => 2a – 3 ≠ a => a ≠ 3 x ≠ -a => 2a - ≠ -a => a ≠ 1 Vậy với điều kiện a ≠ 1 và a ≠ 3, phương trình có nghiệm x = 2a- 3. 2) Với a = 1 Phương trình có dạng 0.x = 0 Nghiệm của phương trìnhb là mọi giá trị , 1 va x 3x R x∈ ≠ ≠ Kết quả a ≠ 1 => S { } 2 3a + a = 1 => S = { } / va x 1,x 3x x R+ ∈ ≠ ≠ 123. điều kiện: a ≠ 0, b ≠ 0, x ≠ 0, x ≠ -(a+b) Đưa các biểu thức có chứa ẩn về vế trái: 1 1 1 1 a b x x a b − = + + + Quy đồng mẫu : ( ) ( ) a b) (*) ( ) ( ) ab x a b x a b a b x ab x a b x ab x a b x − + + + − + + + = ⇔ = + + + + 1) Với a + b ≠ 0 thì: (*)  -x(a+b+x) = ab  x 2 +(a+b)x + ab + 0  x 2 +ax+bx + ab = 0  x(x+a)+b(x+a) = 0  (x+a)x+b) = 0 x a x b = −  ≠  = −  a) Xét giá trị x = -a. để x = -a là ngiệm của phương trình đã cho thì ta phải có : 0 0 ( ) 0 a a a a b b − ≠ ≠   ⇔   − ≠ − + ≠   Vậy với a ≠ 0 , b ≠ 0 thì x = -a là một nghiệm của phương trình đã cho. b) Xét giá trị x = -b. Để x = -b là nghiệm của phương trình đã cho thì ta phải có: 0 0 ( ) 0 b a b a b b − ≠ ≠   ⇔   − ≠ − + ≠   Vậy với a ≠ 0 , b ≠ 0, b cũng là một nghiệm của phương trình đã cho 2 Với a + b = 0 , phương trình (*) được nghiệm với mọi voi a 0, 0x R b∈ ≠ ≠ Trong trường hợp này nghiệm của phương trình đã cho là v x 0x R a∈ ≠ Kết quả: - Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì S= { } ;a b− − - Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 và a+ b = 0 thì S { } / , 0x x R x∈ ≠ 124. Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 4 1 1 4 1 1 1 4 ( ) 0 a b x a c x b c x x c b a a b c a b c x a b c a b c + − + − + −      + + + = −  ÷  ÷ ÷ + +        ⇔ + + − + + − =  ÷ + +   a) Nếu 1 1 1 4 a b c a b c + + ≠ + +  Phương trình đã cho có nghiệm x = a + b + c => S = { } a b c+ + b) Nếu 1 1 1 4 a b c a b c + + = + +  Phương trình đã cho được nghiệm đúng với mọi x :R S R∈ = 125. 2 2 1 x a x ax bx + − + = + Điều kiện x ≠ -1 và x ≠ 0 Mẫu chung : x(x+1) Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta đưa về phương trình : (a-3)x=2 Phương trình vô nghiệm khi a – 3 = 0 => a = 3 Ngoài ra, khi x ≠ 3 => 2 3 x a = − Kết hợp với điều kiện x ≠ -1 2 1 3 3 2 1 a a a ⇒ ≠ − − ⇒ − + ≠ ⇒ ≠ Do 2 0 3a ≠ − nên không có giá trị nào để x = 0 Kết quả : phương trình vô nghiệm với các giá trị a = 3, a = 1 126. phương trình được đưa về : (m+2n-1)x = 2 + m –n Để phương trình có vô số nghiệm thì: m+ 2n -1 = 0 (1) và 2 + m –n = 0 (2) Từ (1) và (2) ta rút ra m = -1, n= 1 127. 1) a) 2 2 2 2 1 2 (2 1) 1 1 1) 2 1 0 2 1 2 1 1 2 1 1 2) 2m + 1 = 0 m = - 2 0.x = 1 b) m 2 2 (m 2) m - 2. 1) m 2 0 m = 2 m - 2 1 x = (m - 2)( 2) 2 2) m 2 = 0 m = 2 m = x mx m x m m x m S m x m x x m m = − ⇔ + = + ≠ ⇒ ≠ − ⇒ = +   =   +   ⇒ ⇒ ⇒ − = − ⇔ − = − = ⇒ ± ⇒ = + + − ⇒ ± + 2 0.x = 0 S = R m = - 2 0.x = -2 2 S = . ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∅ 2. Hai phương trình tương đương khi có tập hợp nghiệm bằng nhau. Ta có hai trường hợp : a) 1 1 2 1 2 1 2 m m m = ⇒ = − + + b) Trường hợp cả hai phương trình đều vô nghiệm. Trường hợp này không xảy ra vì phương trình đầu vô nghiệm với 1 - 2 m = , còn phương trình sau lại vô nghiệm với 2m = ± K ết quả : Hai phương trình tương đương khi 2 1m = − . . m− = − − m là tham số b) 2 2 2 0 x m mn x n m n n m m n − − − + = + − − ; m, n là các tham số c) 3 2 4 4 4 ;m x m mx m− = + − m là tham số d) (m-1)(m+2)x. m là tham số. e) (a 2 -3a + 2) x = a – 2; a là tham số 122. Giải và biện luận các phương trình a) 1 2 1 x a x x x a + − + = + − ; a là tham số b) 2 2 2