CƠ sở của KHÔNG GIAN VECTƠ ppt _ TOÁN CAO CẤP

Hệ PTrTT và PP khử Gauss Vectơ n chiều và KGVT Các mối liên hệ tuyến tính… Cơ sở của không gian vectơ Hạng của một hệ vectơ 1 2 3 4 5 Hệ PTrTT và PP khử Gauss Vectơ n chiều và KGVT Các m

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài giảng pptx các môn ngành Y dược hay nhất có tại “tài liệu ngành dược hay nhất” ;

https://123doc.net/users/home/user_home.php?

use_id=7046916

Hệ PTrTT và PP khử Gauss Vectơ n chiều và KGVT

Các mối liên hệ tuyến tính…

Cơ sở của không gian vectơ Hạng của một hệ vectơ

1 2 3 4 5

Hệ PTrTT và PP khử Gauss Vectơ n chiều và KGVT

Các mối liên hệ tuyến tính…

Bài 4 CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ

I Khái niệm cơ sở của không gian vectơ

II Cơ sở của không gian con

1 Định nghĩa cơ sở

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

Trong không gian vectơ Rn cơ sở của nó là một hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại (có số vectơ lớn nhất)

ĐN: Trong không gian vectơ Rn hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính được gọi là một cơ sở của nó.

Mọi hệ từ n+1 vectơ trở lên đều phụ thuộc tuyến tính

⇒

NX:

Muốn chứng minh hệ vectơ là cơ sở của Rn

X ,X , ,X

Hệ vectơ phải ĐLTTX ,X , ,X1 2 r ( Dùng khử Gauss)

1 Định nghĩa cơ sở

= Số chiều

Số vectơ ( r = n)

( )

1

2

n

E = 1,0, ,0

E = 0,1, ,0

E = 0,0, ,1

Ví dụ 1: Trong không gian Rn hệ vectơ sau độc lập tuyến tính

Hệ vectơ là một cơ sở của Rn được gọi là hệ

cơ sở đơn vị hay cơ sở tự nhiên

{ E ,E , ,E1 2 n}

I Khái niệm cơ sở của không gian vectơ

1 Định nghĩa cơ sở

( ) ( ) ( )

X = 3,-1,2 , X = -1,4,3 , X = 1,2,-1

Ví dụ 2: Trong không gian R3 hệ vectơ sau có là cơ sở của nó không?

 →

3 -1 1

0 11 7

0 11 -5

3 -1 1

A = -1 4 2

2 3 -1

 →

3 -1 1

0 11 7

0 0 -12

Ma trận kết thúc ở dạng tam giác nên hệ vectơ đã cho độc lập

tuyến tính do đó nó là một cơ sở của R3

1 Định nghĩa cơ sở

Ta biến đổi ma trận nhận hệ ba vectơ này lần lượt là các cột

I Khái niệm cơ sở của không gian vectơ

ĐL: Trong không gian vectơ Rn cho trước một cơ sở Khi đó, mọi vectơ bất kỳ đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua

cơ sở đó

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

Cụ thể: Giả sử là một cơ sở của Rn khi đó với mọi vectơ X thuộc Rn đều tồn tại duy nhất bộ n số thực

sao cho:

1 2 n

P ,P , ,P

α ,α ,…,α

1 1 2 2 n n

X =α P +α P + +α P (*)

ĐN: Bộ gồm n số thực trong được gọi là

tọa độ của vectơ X trong hệ cơ sở

K/hiệu: X = đối với cơ sở ( α ,α ,…,α1 2 n) P ,P , ,P 1 2 n

(*)

1 2 n

α ,α , ,α

1 2 n

P ,P , ,P

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở











1 P

11 12 1n 1

21 22 2n 2

n1 n2 nn n

a a a b

a a a b

A =

a a a b

Ma trận mở rộng của hệ phương trình là:

Đẳng thức (*) tương đương với hệ phương trình :

2

I Khái niệm cơ sở của không gian vectơ

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

Ví dụ 3: Trong không gian vectơ R3 cho cơ sở:

1 2 3

P = 1, 2,-3

P = -1,-3, 4

P = -4,-5, 5

Tìm tọa độ của vectơ trong cơ sở này

Giải:

Giả sử ta có: X = α1P1 + α2P2 + α3P3





⇔ 



α1

α2

α3

α - α - 4α =-3

2α - 3α - 5α =-5

-3α +4α +5α =4









+

X =(-3,-5, 4)

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

Biến đổi ma trận mở rộng:

=> X = ( 3, 2, 1 ) đối với cơ sở P ,P ,P1 2 3

Ta được hệ phương trình:

2 -3 -5 -5

1 -1 -4 -3

0 1 -7 -5

1 -1 -4 -3

0 0 -4 -4

Hệ có nghiệm duy nhất :









3

α - α - 4α =-3 -α +3α =1

- 4α =-4

1 2 n

P ,P , ,P

1 1 2 2 n n

X =α P +α P + +α P

Chú ý: Khi là một cơ sở của Rn thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất



÷

÷÷





÷

÷÷





÷

÷÷



Ví dụ 4: Cho không gian con:

II Cơ sở của không gian con

L = x ,x ,0 x ,x R R

ĐN: Một hệ vectơ của không gian con L được gọi là

một cơ sở của nó nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: P ,P , ,P1 2 r

1) độc lập tuyến tínhP ,P , ,P1 2 r 2) Mọi vec tơ đều biểu diễn tuyến tính quaX L ∈ P ,P , ,P1 2 r

CM hệ 2 véc tơ là 1 cơ sở của không gian con này {E = 1,0,0 , E = 0,1,01 ( ) 2 ( ) }

Giải :

 Thứ nhất, hai véc tơ đã cho độc lập tuyến tính vì nó không tỉ lệ

 Thứ hai, với véc tơ X bất kỳ thuộc L ta có:

=> ĐPCMX =(x ,x ,0) =x E +x E1 2 1 1 2 2

( ) ( )

{P = a,0,0 ;P = 0,a,0 ; a 01 2 ≠ }

NX:

 Ta có thể chứng minh hệ 2 véc tơ

là các cơ sở khác của L

 Một không gian véc tơ con có thể có nhiều cơ sở

 Hai cơ sở bất kỳ của cùng một không gian vectơ con có số

vectơ bằng nhau

ĐN: Số vectơ trong 1 cơ sở của một không gian con L của không

gian vectơ Rn được gọi là số chiều của không gian con đó

Ký hiệu: dim (L)

VD: Với kết quả ở ví dụ trên ta có dim (L) = 2