Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.[r]
Trang 1BÀI 2 CÁC MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN
Hướng dẫn học
Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:
Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn
Đọc tài liệu:
1 Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại
học KTQD, 2012
2 Bộ môn toán cơ bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê.
3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB
Giáo dục
4 Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc
5 Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S,
2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England
Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email
Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học
Nội dung
Khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính;
Sự phụ thuộc tuyến tính;
Cơ sở của không gian vectơ n chiều
Mục tiêu
Sinh viên nắm được các khái niệm tổ hợp tuyến tính, biểu diễn tuyến tính một vectơ qua một hệ vectơ
Nắm được khái niệm sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ, khái niệm
cơ sở của không gian
Ngoài ra sinh viên biết cách xác định một hệ vectơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính, một vectơ có biểu diễn tuyến tính qua một hệ vectơ hay không
Xác định được một hệ vectơ có là cơ sở của không gian Rn hay không, xác định được tọa độ của một vectơ trong một cơ sở.
Trang 2T ình huống dẫn nhập
Biểu diễn một vectơ qua một hệ vectơ
Cho các vectơ:
X1 = ( 2, –3, 4 )
X2 = ( 3, 1, –5)
X3 = (–1, 4, 2 )
X = (–1, 0 , 3)
Tìm 3 số x, y, z sao cho: X = x.X1 + y.X2 +z.X3
Trang 32.1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính
2.1.1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính
Trong không gian Rn (n cố định) cho m vectơ
Lấy m số bất kỳ α1, α2, …, αm và lập tổng:
α1X1 + α2X2 + … + αmXm (2.2)
Định nghĩa: Mỗi tổng (2.2), trong đó α1, α2, …, αm là các số thực cho trước, được gọi
là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ (2.1) Các số αi (i = 1, 2,…, m) được gọi là các
hệ số của tổ hợp tuyến tính đó
Từ các vectơ (2.1) ta có thể lập được vô số các tổ hợp tuyến tính (mỗi bộ hệ số α1,
α2,…, αm cho tương ứng một tổ hợp tuyến tính của chúng) và mỗi tổ hợp tuyến tính của các vectơ (2.1) là một vectơ n chiều
2.1.2 Phép biểu diễn tuyến tính
Định nghĩa: Ta nói rằng vectơ X Rn biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1, X2, …,
Xm khi và chỉ khi tồn tại một tổ hợp tuyến tính của các vectơ X1, X2, …, Xm bằng vectơ X, tức là tồn tại các số thực α1, α2, …, αm sao cho:
X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm (2.3) Đặc biệt, nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua một vectơ Y (X = αY) thì ta nói vectơ
X tỷ lệ với vectơ Y
Ví dụ: Với X1, X2, …, Xm là các vectơ n chiều bất kỳ ta luôn có:
On = 0X1 + 0X2 + … + 0Xm
Tổ hợp tuyến tính ở vế phải (với tất cả các hệ số bằng không) được gọi là tổ hợp tuyến tính tầm thường của các vectơ X1, X2,…, Xm Như vậy, trong không gian Rn vectơ không luôn biểu diễn tuyến tính qua các vectơ bất kỳ (ít nhất bằng tổ hợp tuyến tính tầm thường)
Định lý sau đây cho thấy phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu:
Định lý: Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1, X2, …, Xm và mỗi vectơ
Xi ( i = 1, 2, …, m) biểu diễn tuyến tính qua các vectơ Y1,Y2, …, Yp thì X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ Y1,Y2, …, Yp
2.1.3 Dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương trình tuyến tính:
a x a a x b
a x a a x b
a x a a x b
(2.4)
Trang 4Ma trận mở rộng của hệ phương trình này là:
a a a b
a a a b A
a a a b
Ma trận mở rộng có n + 1 cột, trong đó cột thứ j (j = 1, 2,…, n) là cột hệ số của ẩn xj, còn cột cuối cùng là cột số hạng tự do Ta gọi Acj là cột hệ số của ẩn xj (cột thứ j của
mạ trận hệ số) và B là cột số hạng tự do:
c j
m mj
A = (j = 1, 2, , n); B =
b a
Nếu xem mỗi cột trên là một vectơ m chiều, thông qua phép toán vectơ, ta có thể biểu diễn hệ phương trình (2.4) dưới dạng tương đương như sau:
a a a b
a a a b
x + x + + x =
a a a b
Ở dạng (2.5) vấn đề tìm nghiệm của hệ phương trình (2.4) tương đương với việc tìm
bộ hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự do qua các cột của ma trận hệ số Mỗi nghiệm của hệ phương trình (2.5) là một bộ số thực (α1, α2, …, αn) mà khi gán x1 = α1,
x2 = α2, …, xn = αn, tổ hợp tuyến tính ở vế trái của phương trình (2.5) đúng bằng vectơ B
Như vậy:
Hệ phương trình tuyến tính (2.4) có nghiệm khi và chỉ khi cột số hạng tự do
B biểu diễn tuyến tính qua các cột C C C
A , A , , A của ma trận hệ số
Mỗi bộ hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự do qua các cột của ma trận hệ số
là một nghiệm của hệ phương trình (2.4)
Để biểu diễn tuyến tính một vectơ n chiều X qua các vectơ n chiều X1, X2, …, Xm cho trước, ta phải tìm bộ số (α1, α2, …, αm) sao cho:
X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm
Điều này có thể thực hiện thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính có cột số hạng tự do là vectơ X và các cột của ma trận hệ số là các vectơ X1, X2, …, Xm Ma trận mở rộng của hệ phương trình đó là (ta viết mỗi vectơ thành một cột):
A = [ X1 X2 … Xm X]
Ví dụ: Hãy biểu diễn tuyến tính vectơ X = (16, 7, −1) qua các vectơ
X1 = (1, −1, 3), X2 = (2, 1, 1), X3 = ( 5, 3 , −1)
Trang 5Giải: Bộ hệ số (α1, α2, α3) biểu diễn tuyến tính vectơ X qua các vectơ X1, X2, X3 đã cho là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng như sau:
Chú ý rằng ma trận A có cột thứ nhất là vectơ X1, cột thứ hai là vectơ X2, cột thứ ba
là vectơ X3 và cột số hạng tự do là vectơ X Quá trình khử ẩn được thực hiện trên ma trận mở rộng như sau:
A
1
Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác
3
α + 2α + 5α = 16 3α + 8α = 23 8α = 32
Giải hệ phương trình này ta tìm được:
α1 = 2, α2 = –3 ,α3 = 4
Như vậy, vectơ X biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các vectơ X1, X2, X3:
X = 2X1 –3X2 + 4X3
2.2 Sự phụ thuộc tuyến tính
2.2.1 Khái niệm phụ thuộc tuyến tính
Cho m vectơ n chiều:
Khi xem xét quan hệ giữa các vectơ (2.6) ta gọi các vectơ đó là một hệ vectơ
Định nghĩa: Ta nói hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại m số thực k1, k2, …,km, trong đó có ít nhất một số khác 0, sao cho:
Ngược lại nếu đẳng thức (2.7) chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0 (k1 = k2 = … = km = 0) thì ta nói hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính
Khái niệm phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ có thể nhìn nhận dưới góc độ biểu diễn tuyến tính vectơ không On qua các vectơ của hệ đó Như ta đã biết, vectơ On biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của một hệ vectơ n chiều bất kỳ bằng tổ hợp tuyến tính
Trang 6tầm thường (tổ hợp tuyến tính với tất cả các hệ số bằng 0) Câu hỏi đặt ra là: ngoài tổ hợp tuyến tính tầm thường của các vectơ (2.6) còn tổ hợp tuyến tính nào khác bằng vectơ On hay không? Nếu câu trả lời là có thì hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính Nếu câu trả lời là không, tức là tổ hợp tuyến tính tầm thường là tổ hợp tuyến tính duy nhất bằng On, thì hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính
2.2.2 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ
Để xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ (2.6) ta xem hệ thức (2.7) như một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất viết dưới dạng vectơ, với các ẩn số k1, k2, …, km
Ma trận hệ số của hệ phương trình đó có các cột theo thứ tự là các vectơ n chiềuX1,
X2, …, Xm viết dưới dạng cột Đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (2.7) chỉ
có hai khả năng xảy ra:
(1) Hệ có nghiệm duy nhất k1 = k2 = … = km = 0 Trong trường hợp này hệ vectơ (2.6) độc lập tuyến tính
(2) Hệ có vô số nghiệm, do đó tồn tại nghiệm không tầm thường (k1, k2,…, km) Trong trường hợp này hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính
Như vậy, muốn biết hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta làm như sau:
Lập ma trận A với các cột là các vectơ X1, X2, …, Xm viết dưới dạng cột;
Áp dụng thủ tục khử ẩn liên tiếp đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma
trận hệ số là ma trận A Hệ vectơ độc lập tuyến tính nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở
dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang
Ví dụ 1: Trong không gian Rn xét hệ vectơ:
E1 = (1, 0, …, 0)
E2 = (0, 1, …, 0)
………
En = (0, 0, …, 1) Các vectơ E1, E2, …, En được gọi là các vectơ đơn vị của không gian Rn Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số các các cột theo thứ tự các vectơ
E1, E2, …, En ( viết các vectơ dưới dạng cột):
1 0 0
A =
0 0 1
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này đã sẵn ở dạng tam giác, do đó hệ vectơ đơn
vị độc lập tuyến tính
Ví dụ 2: Cho hệ 3 vectơ 4 chiều
X1 = (1, 3, –2, 5),
X2 = ( 3, –2, 1, 4),
X3 = (–1, 8, –5, 6)
Trang 7Muốn biết hệ vectơ này phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 3 ẩn số k1, k2, k3, với ma trận hệ số có cột thứ nhất là vectơ
X1, cột thứ hai là vectơ X2, cột thứ ba là vectơ X3:
A =
Phương pháp khử ẩn liên tiếp được thực hiện trên ma trận hệ số như sau:
1 3 1 1 3 1
0 11 11 0 1 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
A
Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang:
k + 3k k = 0
k + k = 0
Do đó hệ vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính
Ví dụ 3: Xét hệ 3 vectơ:
X1 = (–2, 2, 3, 4)
X2 = (3, –2, 3, 5)
X3 = (4, 1, 6, –3)
Hệ thức k1X1 + k2X2 + k3X3 = O4 cho tương ứng với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là:
A =
Biến đổi khử ẩn:
2 3 4 2 3 4
2 2 1 0 1 5 A
6 6 12 0 15 24
4 5 3 0 11 5
2 3 4 2 3 4
0 1 5 0 1 5
0 0 51 0 0 51
0 0 50 0 0 0
Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác, do đó hệ vectơ đã cho độc lập tuyến tính