Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ n chiều – cơ sở của không gian Rn

Bài giảng Toán cho các nhà kinh tế 1 - Bài 2: Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vectơ N chiều – cơ sở của không gian Rn trình bày khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính; sự phụ thuộc tuyến tính; cơ sở của không gian vectơ n chiều.

BÀI 2 CÁC MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN

Hướng dẫn học

thảo luận trên diễn đàn

1 Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại

học KTQD, 2012

2 Bộ môn toán cơ bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB Thống kê.

3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB

Giáo dục

4 Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc

5 Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S,

2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England

qua email

Nội dung

Mục tiêu

qua một hệ vectơ

cơ sở của không gian

một vectơ có biểu diễn tuyến tính qua một hệ vectơ hay không

T ình huống dẫn nhập

Biểu diễn một vectơ qua một hệ vectơ

Cho các vectơ:

X1 = ( 2, –3, 4 )

X2 = ( 3, 1, –5)

X3 = (–1, 4, 2 )

X = (–1, 0 , 3)

2.1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính và phép biểu diễn tuyến tính

2.1.1 Khái niệm tổ hợp tuyến tính

Lấy m số bất kỳ α1, α2, …, αm và lập tổng:

Định nghĩa: Mỗi tổng (2.2), trong đó α1, α2, …, αm là các số thực cho trước, được gọi

hệ số của tổ hợp tuyến tính đó

của các vectơ (2.1) là một vectơ n chiều

2.1.2 Phép biểu diễn tuyến tính

Định nghĩa: Ta nói rằng vectơ X  Rn biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1, X2, …,

vectơ X, tức là tồn tại các số thực α1, α2, …, αm sao cho:

Đặc biệt, nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua một vectơ Y (X = αY) thì ta nói vectơ

X tỷ lệ với vectơ Y

Ví dụ: Với X1, X2, …, Xm là các vectơ n chiều bất kỳ ta luôn có:

On = 0X1 + 0X2 + … + 0Xm

Tổ hợp tuyến tính ở vế phải (với tất cả các hệ số bằng không) được gọi là tổ hợp tuyến

không luôn biểu diễn tuyến tính qua các vectơ bất kỳ (ít nhất bằng tổ hợp tuyến tính

tầm thường)

Định lý sau đây cho thấy phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu:

Định lý: Nếu vectơ X biểu diễn tuyến tính qua các vectơ X1, X2, …, Xm và mỗi vectơ

tuyến tính qua các vectơ Y1,Y2, …, Yp

2.1.3 Dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính

Cho hệ phương trình tuyến tính:

a x a a x b

a x a a x b











(2.4)

Ma trận mở rộng của hệ phương trình này là:

A



mạ trận hệ số) và B là cột số hạng tự do:

c j

m mj

b a





Nếu xem mỗi cột trên là một vectơ m chiều, thông qua phép toán vectơ, ta có thể biểu

diễn hệ phương trình (2.4) dưới dạng tương đương như sau:

Ở dạng (2.5) vấn đề tìm nghiệm của hệ phương trình (2.4) tương đương với việc tìm

bộ hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự do qua các cột của ma trận hệ số Mỗi

x2 = α2, …, xn = αn, tổ hợp tuyến tính ở vế trái của phương trình (2.5) đúng bằng vectơ B

Như vậy:

 Hệ phương trình tuyến tính (2.4) có nghiệm khi và chỉ khi cột số hạng tự do

 Mỗi bộ hệ số biểu diễn tuyến tính cột số hạng tự do qua các cột của ma trận hệ số

là một nghiệm của hệ phương trình (2.4)

trước, ta phải tìm bộ số (α1, α2, …, αm) sao cho:

X = α1X1 + α2X2 + … + αmXm

Điều này có thể thực hiện thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính có cột số

trận mở rộng của hệ phương trình đó là (ta viết mỗi vectơ thành một cột):

A = [ X1 X2 … Xm X]

Ví dụ: Hãy biểu diễn tuyến tính vectơ X = (16, 7, −1) qua các vectơ

X1 = (1, −1, 3), X2 = (2, 1, 1), X3 = ( 5, 3 , −1)

Giải: Bộ hệ số (α1, α2, α3) biểu diễn tuyến tính vectơ X qua các vectơ X1, X2, X3 đã

cho là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng như sau:



trận mở rộng như sau:

A

1

Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác

3

α + 2α + 5α = 16 3α + 8α = 23 8α = 32









Giải hệ phương trình này ta tìm được:

α1 = 2, α2 = –3 ,α3 = 4

X = 2X1 –3X2 + 4X3

2.2 Sự phụ thuộc tuyến tính

2.2.1 Khái niệm phụ thuộc tuyến tính

Cho m vectơ n chiều:

Khi xem xét quan hệ giữa các vectơ (2.6) ta gọi các vectơ đó là một hệ vectơ

Định nghĩa: Ta nói hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại m số

Ngược lại nếu đẳng thức (2.7) chỉ thỏa mãn khi tất cả các hệ số ở vế trái bằng 0

Khái niệm phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ có thể nhìn nhận dưới góc độ biểu

diễn tuyến tính qua các vectơ của một hệ vectơ n chiều bất kỳ bằng tổ hợp tuyến tính

tầm thường (tổ hợp tuyến tính với tất cả các hệ số bằng 0) Câu hỏi đặt ra là: ngoài tổ hợp tuyến tính tầm thường của các vectơ (2.6) còn tổ hợp tuyến tính nào khác bằng

câu trả lời là không, tức là tổ hợp tuyến tính tầm thường là tổ hợp tuyến tính duy nhất

2.2.2 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ

Để xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ (2.6) ta xem hệ thức (2.7) như một hệ

có hai khả năng xảy ra:

độc lập tuyến tính

trường hợp này hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính

Như vậy, muốn biết hệ vectơ (2.6) phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta làm như sau:

Áp dụng thủ tục khử ẩn liên tiếp đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma

trận hệ số là ma trận A Hệ vectơ độc lập tuyến tính nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở

dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang

Ví dụ 1: Trong không gian Rn xét hệ vectơ:

E1 = (1, 0, …, 0)

E2 = (0, 1, …, 0)

………

En = (0, 0, …, 1)

phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số các các cột theo thứ tự các vectơ

E1, E2, …, En ( viết các vectơ dưới dạng cột):

1 0 0

A =

0 0 1

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất này đã sẵn ở dạng tam giác, do đó hệ vectơ đơn

vị độc lập tuyến tính

Ví dụ 2: Cho hệ 3 vectơ 4 chiều

X1 = (1, 3, –2, 5),

X2 = ( 3, –2, 1, 4),

X3 = (–1, 8, –5, 6)

Muốn biết hệ vectơ này phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính ta xét hệ phương

X1, cột thứ hai là vectơ X2, cột thứ ba là vectơ X3:

A =





Phương pháp khử ẩn liên tiếp được thực hiện trên ma trận hệ số như sau:

A







 Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang:

k + 3k k = 0

k + k = 0







Do đó hệ vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 3: Xét hệ 3 vectơ:

X1 = (–2, 2, 3, 4)

X2 = (3, –2, 3, 5)

X3 = (4, 1, 6, –3)

thuần nhất có ma trận hệ số là:

A =





 Biến đổi khử ẩn:

A

Quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng tam giác, do đó hệ vectơ đã cho độc lập tuyến tính

2.2.3 Các định lí cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tính

Định lý 1: Một hệ vectơ n chiều phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một vectơ của hệ đó biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại

Định lý này áp dụng cho các hệ có từ hai vectơ trở lên Theo định lý này thì một hệ gồm hai vectơ X, Y phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi hai vectơ đó tỷ lệ

Hệ quả: Mọi hệ việc vectơ n chiều chứa vectơ On, đều phụ thuộc tuyến tính Nói cách khác, mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính đều không chứa vectơ không

Chú ý: Trường hợp đặc biệt, khi m = 1, hệ một vectơ X phụ thuộc tuyến tính khi và

Định lý 2: Nếu một hệ vectơ có một hệ con (một bộ phận) phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính

Định lý 2 kéo theo các kết luận sau đây:

Hệ quả:

1 Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó độc lập tuyến tính (hệ vectơ độc lập tuyến tính không thể có hệ con phụ thuộc tuyến tính)

2 Nếu trong một hệ vectơ có hai vectơ nào đó tỷ lệ thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính (hai vectơ tỷ lệ tạo thành một hệ con phụ thuộc tuyến tính)

Định lý 3: Mọi hệ vectơ n chiều với số vectơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính Nói

hơn hoặc bằng n

2.3 Cơ sở của không gian vectơ n chiều

2.3.1 Khái niệm cơ sở của không gian vectơ n chiều

Định nghĩa: Mỗi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính và có số vectơ đúng bằng n được

Ví dụ 1: Hệ n vectơ đơn vị n chiều E1, E2, …, En mà ta đã nói đến ở phần trước là một

Ví dụ 2: Xét hệ vectơ 3 chiều:

P1 = (1, 2, 3), P2 = (1, 3, –2), P3 = (2, 3, –1)

Hệ vectơ này có số vectơ đúng bằng 3 Bạn hãy tự kiểm tra để khẳng định đây là một

n chiều mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính đều có số vectơ không vượt quá n Như vậy,

cơ sở của không gian vectơ n chiều là một hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại Cơ sở

Định lý: Nếu cho trước một cơ sở của không gian Rn

P1, P2, …, Pn

Thì mọi vectơ X  Rn đều biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng:

X = α1 + α2P2 + … + αnPn

duy nhất

2.3.2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

2.3.2.1 Khái niệm tọa độ của vectơ

thỏa mãn hệ thức:

X = α1P1 + α2P2 +… + αnPn

Định nghĩa: Bộ hệ số (α1, α2, …,αn) biểu diễn tuyến tính vectơ X qua các vectơ của

E1 = (1, 0, …, 0)

E2 = (0, 1, …, 0)

………

En = (0, 0, …, 1) Bạn dễ dàng kiểm tra hệ thức:

X = x1E1 + x2E2 + … + xnEn

2.3.2.2 Tìm tọa độ của một vectơ trong một cơ sở cho trước

trận mở rộng là ma trận:

Ví dụ 1: Tìm tọa độ của vectơ X = (3, –1) trong cơ sở sau của không gianR2

P1 = (2, 5), P2 = (4, 1)

Giải: Hai vectơ P1, P2 không tỷ lệ, do đó chúng độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ

hệ thức:

X = α1P1 + α2P2

(α1, α2) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng là:

A = [P P X] =

Giải hệ phương trình này theo phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm được:



18 18



Ví dụ 2: Tìm tọa độ của vectơ X = (2, –3, 17) trong cơ sở sau của không gian R3

1 2 3

P = (1, 2, 3)

P = (1, 3, 2)

P = (2, 3, 1)







Giải: Ta phải tìm bộ ba số thực (α1, α2, α3) sao cho:

X = α1P1 + α2P2 + α3P3

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm được:

α1 = 3, α2 = –5, α3 = 2

Ví dụ 3: Tìm tọa độ của vectơ X = (3, –2, 4) trong cở sở sau đây của không gian R3

1 2 3

P = (1, 1, 5)

P = (3, 2, 1)

P = (5, 3, 6)







Giải: Hệ 3 vectơ P1, P2, P3 độc lập tuyến tính ( bạn hãy tự kiểm tra), do đó nó là một cơ

X = α1P1 + α2P2 + α3P3

Giải hệ phương trình này bằng cách phương pháp khử ẩn liên tiếp ta tìm được:

α1 = 57, α2 = – 133, α3 = 69

T óm lược cuối bài

 Phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu

viết theo cột Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì X không biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ

dạng tam giác, phụ thuộc tuyến tính nếu quá trình khử ẩn kết thúc ở dạng hình thang.

 Một hệ vectơ n chiều phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một vectơ của hệ đó biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại

 Nếu một hệ vectơ có một hệ con (một bộ phận) phụ thuộc tuyến tính thì hệ vectơ đó phụ thuộc tuyến tính

 Mọi hệ vectơ n chiều với số vectơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính

 Mỗi hệ vectơ n chiều độc lập tuyến tính và có số vectơ đúng bằng n được gọi là một cơ sở

 Việc tìm tọa độ của một vectơ trong một cơ sở chính là tìm cách biểu diễn tuyến tuyến tính của vectơ đã cho qua các vectơ trong cơ sở ấy

Câu hỏi ôn tập