Vấn đề cơ sở của không gian vectơ

Lý do chọn đề tài: Đại số tuyến tính là một môn học rất quan trọng đối với sinh viên khoa toán nói riêng và sinh viên học toán nói chung vì nó là nền tảng, cơ sở của rất nhiều môn toá

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Đại số tuyến tính là một môn học rất quan trọng đối với sinh viên khoa

toán nói riêng và sinh viên học toán nói chung vì nó là nền tảng, cơ sở của rất nhiều môn toán khác như: hình học afin, hình học Euclide, hình học xạ ảnh… Trong đó, không gian vectơ là một nội dung rất quan trọng vì nó cung cấp cho các bạn sinh viên những khái niệm, những kiến thức mở đầu về Đại

số tuyến tính Chính vì lý do đó,em đã chọn đề tài: “Vấn đề cơ sở của không

gian vectơ” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu:

Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về không gian vectơ

Đưa ra một số dạng toán thường gặp về không gian vectơ và hệ thống các ví dụ minh hoạ cho mỗi dạng toán

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về không gian vectơ

Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết và một số dạng toán thường gặp về không gian vectơ

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Trình bày cơ sở lý thuyết về không gian vectơ

Đề xuất một số dạng toán thường gặp về không gian vectơ và ví dụ minh họa

5 Các phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học

Nghiên cứu các tài liệu liên quan

PHẦN A: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

§1: KHÔNG GIAN VECTƠ 1.1 Định nghĩa không gian vectơ

Cho V là một tập hợp mà các phần tử được kí hiệu là ur,ur , r , và K

là một trường mà các phần tử được kí hiệu là a b c x y z, , , , , ,… Trên V ta có hai phép toán:

a) Phép cộng (+): V x V  V

( , )uur uur  a  urur

b) Phép nhân (.): K x V  V

( , )xur a x ur Thỏa mãn các điều kiện (hoặc tiên đề) sau:

Trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho lập thành một không gian vectơ trên trường K hay K – không gian vectơ

Phép nhân (.) gọi là phép nhân vectơ với vô hướng

- Khi K =¡ (tương ứng K=£ ) ta nói là không gian vectơ thực (tương ứng không gian vectơ phức)

- Các tiên đề (V1), (V2), (V3), (V4) nói lên rằng với phép cộng vectơ, V

là một nhóm giao hoán Các tiên đề (V5), (V6), (V7) nói lên rằng phép nhân vectơ với vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng các vô hướng, phân phối đối với phép cộng vectơ và có tính chất kết hợp Tiên đề (V8) nói lên rằng phép nhân với vô hướng được chuẩn hóa

định nghĩa bởi (f g x)( )  f x( ) g x( ) và tích của một số thực r ¡ với hàm số [ , ]

f C a b là hàm số r f C a b[ , ]được xác định bởi ( )( )r f x r f x ( )

Khi đó, C a b[ , ] là một không gian vectơ trên ¡ đối với phép cộng và phép nhân được định nghĩa ở trên

1.3 Một số tính chất của không gian vectơ

Giả sử V là không gian vectơ trên trường K Ta có các tính chất sau:

a) Tính chất 1: Vectơ 0r là duy nhất, đó là phần tử trung lập của phép cộng

Chứng minh: Thật vậy, giả sử tồn tại vectơ 0r V là phần tử trung lập của phép cộng thỏa mãn điều kiện 0'ur     ur ur 0'ur ur;   ur V

Ta có: 0 0'r  ur 0r (nếu 0 'ur là phần tử trung lập)

0 0'r ur 0'ur (nếu 0r là phần tử trung lập)

Vậy 0r  0 'ur hay phần tử trung lập của phép cộng là duy nhất

b) Tính chất 2: Với mỗi urV, phần tử uur' được nói trong tiên đề (V3) là duy nhất

Chứng minh: Giả sử, tồn tại vectơ uur'' thỏa mãn tiên đề (V3)

Xét: .  uruur' uur''  (  uruur')  uur''=0r uur''  uur''

.  uruur' uur''  (  uruur'')  uur'   0r  uur' uur'

''

 

 ur uur hay phần tử đối của phép cộng là duy nhất

c) Tính chất 3:

- Nếu    ur  r ur r thì  ur uur;    ur ur r, , V (luật giản ước)

Chứng minh: Giả sử uur' là phần tử đối của r

- Nếu   ur ur r (1) thì   ur  r uur;    ur ur r, , V (Quy tắc chuyển vế)

Chứng minh: Gọi (  ur)là phần tử đối của ur

Cộng hai vế của (1) với (  ur) ta được

 ur  ur ur    r ur   ur (  urur)    r ur     ur 0r  r ur      ur r ur

Chứng minh: Theo tính chất 4 ta có: Nếu x 0hoặc ur 0r thì x ur  0r

Ngược lại, giả sử x ur  0r Nếu x 0thì:

1 ( ).x .( )x .0 0

ur  ur  ur  ur  r r

Vậy, nếu x ur  0r thì x 0 hoặc ur  0r

§2: KHÔNG GIAN VECTƠ CON

2.1 Định nghĩa không gian vectơ con

2.1.1 Định nghĩa 2.1

Giả sử V là một không gian vectơ trên trường K Tập con W khác rỗng của V được gọi là không gian vectơ con (hay không gian vectơ con) của không gian vectơ V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1)   ur ur,  W:  ur ur W

2)   ur W: x ur W (  x K)

* Nhận xét:

1) Vì W   nên   ur W Theo điều kiện 2 ta có: 0 ur  0r W

Vậy mọi không gian con đều chứa vectơ 0r

2) Giả sử W là không gian con của V

Dễ thấy tám điều kiện trong định nghĩa một không gian vectơ được thỏa mãn

Do đó W là một K – không gian vectơ

Ngược lại, nếu W là một tập con của V và W là một K – không gian vectơ đối với hai phép toán xác định trên V thì W là một không gian vectơ

2.5.1 Định nghĩa 2.4: Cho V là một không gian vectơ trên trường K

1) Giả sử  uur uur1, 2, , uurm là m vectơ thuộc V ( m ≥ 1)

Nếu ur x1 uur1x2 uur2  x m uurm ; x iK; i 1,m thì ta nói ur là tổ hợp tuyến tính của m vectơ đã cho hay ur biểu diễn tuyến tính qua hệ m vectơ đã cho

2) Giả sử S là tập con của V (số phần tử của S có thể hữu hạn hoặc vô hạn) ta nói ur biểu diễn tuyến tính qua tập S nếu ur biểu diễn tuyến tính qua một hữu hạn vectơ thuộc S

* Ví dụ: Trong không gian vectơ V=¡ 2, xét các vectơ

Ta định nghĩa: W={x1 uur1x2 uur2  x m uurm;x iK; i 1,m}

Khi đó, W được gọi là không gian con sinh bởi hệ m vectơ

1

uur,uur2 ,…,uurm và được kí hiệu là  uur uuur1, 2, , uuurm hoặc L(uur1,uur2 ,…,uurm )

Hệ {uur1,uur2,…,uurm } được gọi là hệ sinh của W

§3: ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN VECTƠ

3.1 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

3.1.1 Định nghĩa 3.1

Cho m vectơ uur1,uur2,…,uurm của không gian vectơ V trên trường K, m≥1

1) Hệ vectơ uur1,uur2,…,uurm được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại

m phần tử x x1, 2, ,x mK không đồng thời bằng 0 sao cho:

1 1 2 2 m. m 0

x uurx uur x uur r

2) Hệ vectơ uur1,uur2,…,uurm được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính hay một cách tương đương x1 uur1x2 uur2  x m uurm 0r kéo theo x1x2   x m  0

3) Tập S  V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của S đều độc lập tuyến tính

2) Trong không gian vectơ ¡ 3

- Hệ vectơ {ur1   (1, 2, 0); uur2  (0,1, 2); ur3   ( 1, 4, 4);} là phụ thuộc tuyến tính

Vì  ( ,x x x1 2 , 3 )  (1, 2,1)   (0, 0, 0) thỏa mãn : x1 uur1 x2 uur2 x3 uur3  0r(*)

b) Tính chất 2: Hệ {uur1,uur2 ,…,uurm } (m>1) là phụ thuộc tuyến tính khi

và chỉ khi có một vectơ nào đó của hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ của hệ

f) Tính chất 6: Giả sử hệ {uur1,uur2,…,uurm }độc lập tuyến tính

Lúc đó, hệ {uur1,uur2,…,uurm ,ur} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ

Điều này trái với giả thiết ur không biểu thị tuyến tính qua các vectơ

1

uur,uur2 ,…,uurm

Do đó x 0suy ra x1 uur1x2 uur2  x m uurm 0r

Vì hệ {uur1,uur2,…,uurm } độc lập tuyến tính nên x1x2   x m 0

3.2 Hạng của một hệ vectơ

3.2.1 Định nghĩa 3.2

1) Cho hệ vectơ {uuri} ; iI của không gian vectơ V, hệ vectơ con {uurj};

jJ; JI được gọi là một hệ vectơ con độc lập tuyến tính tối đại nếu:

Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V Ta gọi

số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ vectơ đã cho

Kí hiệu hạng của hệ vectơ {uur1,uur2,…,uurm } là rank(uur1,uur2,…,uurr )

Hệ {uur1, uur2,…, uurm } độc lập tuyến tính  rank(uur1,uur2,…,uurr )=m

3.2.3 Ví dụ:

Tìm hạng của hệ vectơ

1 ( 1, 3, 4);

uur  uur2  (0, 2,5); uur3   ( 2, 4,3); uur4  (1, 1,1) 

trong không gian vectơ ¡ 3

Lời giải

Ta thấy hệ {uur1, uur2} độc lập tuyến tính

Thật vậy, giả sử x1 uur1x2 uur2  0r

1 ( 1,3, 4) 2 (0, 2,5) (0, 0, 0)

Mặt khác uur3 2  uur1uur2; uur4     uur1 uur2

Nên hệ {uur1, uur2} là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {uur1, uur2,

3

uur, uur4}

Do đó hạng của hệ {uur1, uur2 , uur3, uur4 } là

rank(uur1, uur2, uur3 , uur4) = rank(uur1, uur2) = 2

3.2.4 Mệnh đề 3.3

Giả sử hệ {uur1, uur2,…,uurm } là hệ gồm m vectơ không đồng thời bằng 0rcủa không gian vectơ V và H là một hệ vectơ độc lập tuyến tính với hệ này Khi đó, tồn tại một hệ vectơ tối đại của hệ vectơ đã cho chứa H

ur uur uur uur

Nếu hạng của hệ {uur1, uur2, …,uurm ,ur} cũng bằng 0 thì

1 2 m 0

 uuruur   uur r Do đó ur  0rvà hạng của hệ {uur1, uur2 , …,uurm ,ur} cũng bằng 0 Nếu hạng của hệ (1) bằng r 0 và {uuri1, uuuri2, …,uurir} là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của nó thì ur biểu thị tuyến tính được qua (1) nên cũng biểu thị tuyến tính qua hệ này Vì thế {uuri1, uuuri2, …,uurir} cũng là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {uur1, uur2, …,uurm ,ur}

Suy ra rank(uur1, uur2, …,uurm ,ur) r

b) Giả sử {uur1, uur2, …,uurm } (2) và {uur1, uur2, …,uurn} (3) là hai hệ vectơ tương đương Vì mỗi vectơ uriđều biểu thị tuyến tính được qua hệ (2) nên theo chứng minh trên hạng của hệ {uur1, uur2, …,uurm } bằng hạng của hệ vectơ {uur1, uur2, …,uurm ,ur1,…, urn} (4)

Tương tự hạng của hệ (3) cùng bằng hạng của hệ (4)

Vì vậy, rank(uur1, uur2, …,uurm )= rank(uur1, uur2, …,uurn )

=   1.ur1 2uur2   nuurn

Suy ra hệ  ur uur1 , 2 , , uurn là hệ sinh

Hơn nữa, hệ vectơ  ur uur1 , 2 , , uurn độc lập tuyến tính vì

x1 ur1x2 uur2  x n uurn  0r

thì ( ,x x1 2, ,x n)  (0, 0, , 0) hay x1x2   x n  0

Cơ sở  ur uur1, 2, , uurn được gọi là cơ sở chính tắc của ¡ n

2) Trong ¡ 3 hệ 4 vectơ uur1  (1, 0, 0); uur2  (0,1, 0);uur3 (0, 0,1);uur4  (1,1,1)

là hệ sinh nhưng không độc lập tuyến tính vì uur4    uur1uur2uur3

Suy ra, hệ    uur uur uur uur1 , 2 , 3 , 4 không là cơ sở của ¡ 3

Cho C là một hệ vectơ của không gian vectơ V

1) Nếu C là một hệ độc lập tuyến tính thì có thể bổ sung thêm một số vectơ vào hệ C để được một cơ sở của V

2) Nếu C là hệ sinh của V thì có thể bớt đi một số vectơ của hệ C để được

b)  uur uuur1 , 2 , , uurn là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V

c)  uur uur1 , 2 , , uurn là một hệ vectơ độc lập tuyến tuyến tối đại của V

Chứng minh

ab: Vì hệ  uur uur1 , 2 , , uurn là cơ sở của V nên nó là một hệ sinh, mặt khác vectơ 0r được biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ  uur uur1 , 2 , , uurn tức là :

0r  0 uur 0 uur  0 uurn hệ  uur uur1 , 2 , , uurn độc lập tuyến tính

bc: Với mọi urV biểu thị tuyến tính qua hệ  uur uur1 , 2 , , uurn

Suy ra hệ  uur uur1 , 2 , , uurnlà hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Vậy hệ  uur uur1 , 2 , , uurnlà hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại của V

ca: Vì hệ  uur uur1 , 2 , , uurnlà hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi vectơ urV đều biểu thị tuyến tuyến được qua hệ  uur uur1 , 2 , , uurn và biểu thị đó

là duy nhất   uur uur1 , 2 , , uurn là cơ sở của không gian vectơ V

4.2.3 Định lý 4.3

Giả sử V là không gian vectơ hữu hạn sinh, V 0r Khi đó, V có một

cơ sở gồm hữu hạn vectơ Hơn nữa mọi cơ sở của V đều có cùng số vectơ

hệ sinh trên phải có vectơ khác 0r

Giả sử uur1 0r nên hệ  uur1 độc lập tuyến tính

Khi đó có một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ  i

i I





uur chứa uur1 Giả sử hệ đó là  uur uur1 , 2 , , uurn Khi đó, hệ  uur uur1 , 2 , , uurncũng là một hệ sinh của V

Hệ này lại độc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của V

Vì I hữu hạn nên cơ sở  uur uur1 , 2 , , uurn gồm hữu hạn vectơ

Giả sử  uur uur1 , 2 , , uurmcũng là một cơ sở của V Khi đó hai cơ sở

 uur uur1 , 2 , , uurn và  uur uur1 , 2 , , uurmlà tương đương chúng có hạng bằng nhau

Mặt khác, chúng lại độc lập tuyến tính nên

n = rank uur uur1 , 2 , , uurn= rank uur uur1 , 2 , , uurm = m

4.3 Khái niệm số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh

4.3.1 Định nghĩa 4.3

a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của ¡ – không gian vectơ hữu hạn sinh

V 0r được gọi là số chiều của V trên trường K và ký hiệu là: dimV hay dimKV

Nếu V 0r thì ta quy ước dimV=0

b) Nếu V không có cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều

Nếu dimV = n thì V được gọi là không gian vectơ n chiều

Giả sử V là một không gian vectơ n chiều (n≥1) Khi đó:

a) Mọi hệ có nhiều hơn n vectơ trong V đều phụ thuộc tuyến tính

b) Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V đều có thể bổ sung để trở thành một cơ sở của V

c) Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n vectơ của V đều là cơ sở

2) Nếu  uur uur1, 2, , uurr là hệ sinh của V thì r ≥ n

* Ví dụ:

Hệ vectơ sau là cơ sở của ¡ 3: uur1  (1, 2,1);uur2  (0,1, 2);uur3  (1, 2, 0)

Thật vậy, do dim¡ 3=3 nên ta chỉ cần chứng minh   uur uur uur1 , 2 , 3độc lập tuyến tính

Suy ra hệ   uur uur uur1 , 2 , 3là độc lập tuyến tính

Vậy   uur uur uur1 , 2 , 3 là một cơ sở của ¡ 3

4.5 Tọa độ của một vectơ

4.5.1 Mệnh đề 4.3

Giả sử hệ vectơ  uur uur1 , 2 , , uurnđộc lập tuyến tính

Nếu uur =x 1uur1x2 uur2x3 uur3

thì cách biểu thị tuyến tính này của ur qua hệ vectơ đã cho là duy nhất

Chứng minh

Giả sử ur còn có cách biểu diễn uur = y1uur1y2 uur2  y n uurn

Khi đó: y1 x1 uur1 y2 x2 uur2   y nx n uurn  0r

Vì hệ gồm các vectơ  uur uur1 , 2 , , uurn độc lập tuyến tính nên:

y1 x1  y2 x2  y nx n 0

Hay y1 x y1 ; 2 x2; ;y n x n

Vậy cách biểu thị tuyến tính của ur là duy nhất

4.5.2 Định nghĩa 4.4

Cho cơ sở   er  e eur uur1 , 2 , ,euurn của không gian vectơ V Khi đó mỗi urV

có cách biểu diễn duy nhất dưới dạng:

1 1 2 2 n. n

ur  ur uur  uur; ai K i;  1,n

Khi đó, bộ n số a a1 , 2 , ,a n được gọi là tọa độ của urđối với cơ sở

 e e eur uur1 , 2 , ,euurn và a i được gọi là tọa độ thứ i của urđối với cơ sở đó

4.5.3 Công thức đổi cơ sở

Giả sử ur và ur có tọa độ trong cơ sở (e) là a a1 , 2 , ,a n và b b1 , 2 , ,b n

Từ tính độc lập tuyến tính của cơ sở (e) suy ra ur=ur a i b i;i 1,n

ij 1

a) Chứng minh rằng   ur uur uur1 , 2 , 3là một cơ sở của ¡ 3

b) Tìm tọa độ của vectơ ur trong cơ sở  i ; i=1,2,3

c) Tìm công thức đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc của ¡ 3 sang cơ sở  i ; i=1,2,3 và công thức đổi tọa độ tương ứng

Trong đó ur1 (1,1, 0); uur2  (0, 3, 2);uur3  (1, 0,1);ur  (0,3, 2)

là ur0,1, 0

Công thức đổi tọa độ:

x , ' 3

4.6 Số chiều của không gian con

Do đó, dim(U+W) = dimV = dimU + dimV – dim(UV)

Nếu cả 2 không gian con đều khác {0r }

Gọi  uur uur1 , 2 , , uurr là một cơ sở của UW

Vì  uur uur1 , 2 , , uurrđộc lập tuyến tính nên có thể bổ sung để được cơ sở

 uur uur1 , 2 , ,   uur uur uurr, 1 , 2 , , uurm của U và cơ sở  uur uur1 , 2 , ,   uur ur uurn, , 1 2 , uurkcủa W

Ta chứng minh: uur uur1 , 2 , ,   uur uur uurn, 1 , 2 ,   uuur ur uurm, 1 , 2 , uurk là cơ sở của W + U

  r   ur ur  uur   uur uur  uur ur  uur

Có nghĩa là {uur1, ,  uur uurr, 1, ,  uur urm, , ,1 uurk } là một hệ sinh của U+W (1)

Giả sử x1 uur1  x r uurry1 uur1  y m.uurmz1 ur1  z k uurk  0r (2)

1 1 r. r 1 1 m. m 1 1 k. k

 uur  uur uur  uur   ur  uur

Vế trái là 1 vectơ thuộc U; Vế phải là 1 vectơ thuộc W nên chúng thuộc vào UW Do đó

 uur  uur ur uur  uurr

Vì hệ vectơ  uur uur1 , 2 , ,   uur ur uurr, , 1 2 , , uurk độc lập tuyến tính nên: