12 cơ sở của không gian véc tơ

Định nghĩa cơ sở2.. Tọa độ của vectơ trong một cơ sở... = =ĐN: Trong không gian vectơ hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính được gọi là một cơ sở của nó.. Định nghĩa cơ sở Số chiều n... Định

1 Định nghĩa cơ sở

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

= =

ĐN: Trong không gian vectơ hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính được

gọi là một cơ sở của nó.

n,

¡

Muốn chứng minh hệ vectơ là cơ sở củaX ,X , ,X1 2 K r ¡ n :

Hệ vectơ phải ĐLTTX ,X , ,X1 2 K r ⇐ Dùng khử Gauss

1 Định nghĩa cơ sở

Số chiều n

( )

1 2

n

=

=

=

K K

L L L L L L

K

Ví dụ 1: Trong không gian hệ vectơ sau độc lập tuyến tính¡ n,

Hệ vectơ là một cơ sở của được gọi là hệ cơ sở đơn vị.{E ,E , ,E1 2 K n} ¡ n,

( ) ( ) ( )

X = 3, 1,2 , X − = − 1,4,3 , X = 1,2, 1 −

Ví dụ 2: Trong không gian hệ vectơ sau có là cơ sở của nó không?¡ 3

1

×

3

×

( 2)

× −

3

×

 →

−

( 1)

× −

1

×

 →

⇒

−

 →

−

Hệ vectơ đã cho là một cơ sở của

3

¡

1 Định nghĩa cơ sở

Hệ ba vectơ này có là cơ sở của hay không?¡ 3

ĐL: Trong không gian vectơ cho trước một cơ sở Khi đó, mọi vectơ

bất kỳ đều biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở đó

n,

¡

Cụ thể: Giả sử là một cơ sở của khi đó với mọi

thì tồn tại duy nhất bộ n số thực sao cho:

n,

¡

1, 2, , n

α α K α

X = α + α P P + + α L P

(*)

ĐN: Bộ gồm n số thực trong được gọi là tọa độ của

vectơ X trong hệ cơ sở

( α α1, 2, , K αn)

P ,P , ,P K (*)



Hệ có ma trận mở rộng:

2 Tọa độ của vectơ trong một cơ sở

Ví dụ 3: Trong không gian vectơ cho hệ cơ sở:¡ 3,

P = 2,0, 3 , P − = − 1,0,4 , P = 4,3,0

Tìm tọa độ của vectơ trong hệ cơ sở nàyX = ( 5,6,7 )

Đáp số: Giải hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng A

( α = − α = α =1 1, 2 1, 3 2 )

−

=   ÷ ÷

−

được nghiệm là tọa độ của X trong hệ cơ sở đã cho: