Chuyên đề căn thức luyện thi vào 10

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu [r]

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ I: CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI

1 Căn bậc hai số học

 Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x2 a

 Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là

a



 Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 00

 Với số dương a, số a đgl căn bậc hai số học của a Số 0 cũng đgl căn bậc hai số học của 0

 Với hai số không âm a, b, ta có: a < b  a b

2 Căn thức bậc hai

 Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A

A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm

 A2  A  A A neáu A neáu A00

Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ A CÓ NGHĨA

 A có nghĩa  A 0 

A

1 có nghĩa  A > 0

Bài 1 Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) 3x b) 42x c)  3x 2

ĐS: a) x 0 b) x2 c) x 2

3

9

6



2 

x

b) x x

x2 2 c)

x24 2 d)

x

2

3

1

4

2 1





ĐS: a) x2 b) x2 c) x2 d) x 3

2

  f) x 1

a) x21 b) 4x23 c) 9x26x1

d) x22x1 e)  x 5 f) 2x21

ĐS: a) x R b) x R c) x R d) x1 e) x 5 f) không có

a) 4 x2 b) x216 c) x23

d) x22x3 e) x x( 2) f) x25x6

ĐS: a) x 2 b) x 4 c) x  3 d) x 1 hoặc x3 e) x 2 hoặc x0

f) x2 hoặc x3

Trang 2

d) x2 x1 e)

x x2

1

ĐS: a) x 1 b) x 2 hoặc x 4 c) x 4 d) x 1 e) x 3

2

Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Áp dụng: A A A neáu A

A neáu A

0

Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:

a) 0,8 ( 0,125) 2 b) ( 2) 6 c)  2

3 2 d)  2

2 2 3 e)

2

1 1 2 2



0,1 0,1

ĐS: a) 0,1 b) 8 c) 2 3 d) 3 2 2 e) 1 1

2

2  f) 0,1 0,1

a)  2  2

3 2 2  3 2 2 b)  2  2

5 2 6  5 2 6 c)  2  2

3 2  1 2

2 1  2 5

ĐS: a) 6 b) 4 6 c) 1 d) 4 e) 2 5 f) 2 2 4

a) 5 2 6  5 2 6 b) 7 2 10  7 2 10 c) 4 2 3  4 2 3

d) 24 8 5  9 4 5 e) 17 12 2  9 4 2 f) 6 4 2  22 12 2

ĐS: a) 2 2 b) 2 2 c) 2 3 d) 3 54

Dạng 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC

Áp dụng: A A A neáu A

A neáu A

0

Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau:

a) x 3 x26x9 (x3) b) x24x 4 x2 ( 2  x 0)

x

2 2 1 ( 1)

1

x

2 4 4

2



ĐS: a) 6 b) 2 c) 1 d) 1x

Bài 2 Cho biểu thức A x22 x2 1 x22 x21

a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?

b) Tính A nếu x 2

ĐS: a) x 1 hoặc x1 b) A 2

Trang 3

Bài 3 Cho 3 số dương x y z, , thoả điều kiện: xy yz zx 1   Tính:

ĐS: A 2 Chú ý: 1y2 (xy yz zx  )y2(x y y z )(  ),

1z2 (y z z x )(  ), 1x2  (z x x y)(  )

Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Áp dụng: A2  A ; A2 B2  A B ;

 A B    A A B0 (hay B0)  A B B

A B2

0

 



 A B  A A B0 hay A A 0B

   A B    B A B hay A0  B

 A  B  A B hay A B  A B A

B 0

0

 

    

 A B    0  B A 00

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) (x3)2  3 x b) 4x220x25 2 x5 c) 1 12 x36x2 5

d) x2 x 1 2 e) x2 x 1 x 1 1 f) x2 1x 1 1 x

ĐS: a) x3 b) x 5

2

3

   d) x2 e) x2 f) x 1

4



a) 2x 5 1x b) x2 x 3x c) 2x2 3 4x3

d) 2x 1 x1 e) x2  x 6 x3 f) x2 x 3x5

ĐS: a) x 4

3

  b) x  3 c) x2 d) vô nghiệm e) x3 f) vô nghiệm

a) x2 x x b) 1x2  x 1 c) x24x  3 x 2

d) x2 1 x2 1 0 e) x2   4 x 2 0 f) 1 2 x2  x 1

ĐS: a) x0 b) x1 c) vô nghiệm d) x 1;x  2 e) x2 f) vô nghiệm

II LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA

 Khai phương một tích: A B  A B A ( 0,B0)

Nhân các căn bậc hai: A B  A B A ( 0,B0)

 Khai phương một thương: A A A B

B  B ( 0, 0)

Chia hai căn bậc hai: A A A B

B

B  ( 0, 0)

Trang 4

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:

a) 122 27 3 75 9 48  b) 2 3( 27 2 48  75) c)  2

2 2 3 d) 1 3 2 1  3 2 e)  2

11 7  11 7

ĐS: a) 13 3 b) 36 c) 11 4 6 d) 22 3 e) 10 f) 2 74

a) 2 5 125 80 605 b) 15 216  33 12 6 c) 8 32 25 12 4 192

d) 2 3 6 2 e) 3 5 3 5 f)   3 3

21  21

ĐS: a) 4 5 b) 6 c) 0 d) 2 e) 10 f) 14

a) 10 2 10 8



d) 3 5 3 5

10 2



5 2 8 5

2 5 4



ĐS: a) –2 b) 6

2

a) A 12 3 7  12 3 7 b) B 4 10 2 5  4 10 2 5

c) C 3 5  3 5

ĐS: Chứng tỏ A0,B0,C 0 Tính A B C2, ,2 2 A  6; B 5 1 , C 10

III RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến đổi đơn

giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và trục căn thức ở

mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn

x

4



a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để A 2

ĐS: a) x0,x4 b) A x

x

3 2



 c) x16

2

a) Rút gọn A nếu x0,x1 b) Tìm x để A dương c) Tìm giá trị lớn nhất của A

ĐS: a) A x x b) 0 x 1 c) maxA 1 khi x 1

Trang 5

a) Rút gọn A b) Tìm x để A 1

ĐS: a) A x

x

1 3





 b) 0 x 9;x4

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 7 c) Tìm a để A 6

ĐS: a) A a a

a

2 2 2

4

  c) a0,a1

a) Rút gọn A b) Tìm x để A 1

2



ĐS: a) A x

x

2 5 3





121

ĐS: a) A x

x

2 1





Bài 7 Cho biểu thức: A a a a a

1

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

ĐS: a) A a  a b) a4 c) minA 1 khi a 1

2

      

a) Rút gọn A b) Tìm a để A0 c) Tìm a để A 2

ĐS: a) A a

a

1

 b) a1 c) a 3 2 2 

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 6



 c) Chứng minh rằng A 2

3



ĐS:

ĐS: a) A

x

5 3



 b) x4;x9;x25

Trang 6

Bài 11 Cho biểu thức: A a a

         

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 1

6



ĐS: a) A a

a

2 3



a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi x 3 8 c) Tìm x để A 5

ĐS: a) 2

1

4

x

 b) x 2 c) x 1 ; x 5

5

x y : xy y xy x xy

a) Rút gọn B b) Tính giá trị của B khi x3,y 4 2 3

ĐS: a) B y x b) B 1



a) Rút gọn B b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y 625 và B 0,2

ĐS: a) B x

y

 b) x2;3;4

x y



a) Rút gọn B b) Cho x y 16 Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất

ĐS:

a b a a b b a b a a b b a ab b

a) Rút gọn B b) Tính B khi a16, b4

ĐS:

B

y x

2

:

a) Rút gọn B b) Chứng minh B0

ĐS:

a) Rút gọn B b) Tính giá trị của B nếu a 2 3 và b 3 1







c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B nếu a b 4

Trang 7

V CĂN BẬC BA

 Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3a

 Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba

 A B 3 A3B  A B3 3 A B.3  Với B  0 ta có: A A

3 3 3



Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

Áp dụng: 3 3a a ;  3a 3a

và các hằng đẳng thức: (a b )3a33a b2 3ab2b3, (a b )3a33a b2 3ab2b3

a3b3(a b a )( 2ab b 2), a3b3 (a b a)( 2ab b 2)

a) 3( 2 1)(3 2 2)  b) 3(4 2 3)( 3 1)  c) 36431253216

d) 3  3 3 3

4 1  4 1 e) 3936343332

ĐS: a) 2 1 b) 3 1 c) 3 d) 12 2 23  e) 5

a) A32 532 5 b) B39 4 5 39 4 5

c) C (2 3) 26 15 33  d) D 33 9 125 3 3 9 125

ĐS: a) A 1 Chú ý:

3

1 5

2 5

2

  

  b) B3 Chú ý:

3

3 5

9 4 5

2

  

c) C1 Chú ý: 26 15 3 (2   3)3

d) D 1 Đặt a 33 9 125

27

   , b 3 3 9 125

27

     a3 b3 6,ab 5

3

   Tính D3

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau:

a) 20 45 3 18  72 b) ( 28 2 3  7) 7 84 c)  2

6 5  120 d) 1 1 3 2 4 200 :1

ĐS: a) 15 2 5 b) 21 c) 11 d) 54 2

Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau:

5 3  5 3 b)

4 2 3

6 2



2 3 6 3  3

ĐS: a)  3 b) 2

2 c)

3 1 3



Bài 3 Chứng minh các đẳng thức sau:

Trang 8

a)    2

2 2 3 2  1 2 2 2 6 9 b) 2 3 2 3  6

c)

d) 11 6 2  11 6 2 6 

ĐS: Biến đổi VT thành VP

Bài 4 Cho biểu thức: A x x x

   với x 3 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A < 2 c) Tìm x nguyên để A nguyên

ĐS: a) A x

x

3 3



 b)   6 x 3;x 3 c) x { 6; 0; 2; 4; 6; 12}

2 2

a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A

c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên

ĐS: a) x0;x 1 b) A x

x

2003



 c) x { 2003;2003}

Bài 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x x

1 1



  ĐS: maxA 4

3

 khi x 1

4



Bài 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A 1 6 x9x2  9x212x4

ĐS: Sử dụng tính chất a   b a b , dấu "=" xảy ra  ab0 minA 1khi 1 x 2

Bài 8 Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

x

A

x

1 3





 ĐS: x {49;25;1;16;4} Chú ý: A

x

4 1

3

 

 Để A  Z thì x Z và x 3 là ước của 4

x

1



a) Rút gọn Q b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên ĐS: a) Q

x

2 1



 b) x {2;3}

  với a0,a1 a) Rút gọn biểu thức M b) So sánh giá trị của M với 1

ĐS: a) M a

1 1 1



           a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức P

c) Tính giá trị của P với x 3 2 2 

ĐS: a) x1;x2;x3 b) P x

x

2

Trang 9

Bài 12 Cho biểu thức: B x x x x

x

3 3

1 1 1



với x 0 và x 1 a) Rút gọn B b) Tìm x để B = 3 ĐS: a) B x 1 b) x 16

x y



với

x 0,y0

a) Rút gọn A b) Biết xy 16 Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

ĐS: a) x y

xy



b) minA   1 x y 4

Bài 1: a) Cho biểu thức A x 4

x 2





 Tính giá trị của A khi x = 36

b) Rút gọn biểu thức B x 4 : x 16

  (với x0; x16)

  với x0 và x4

Bài 3: Rút gọn biểu thức P = 1 + 1 : a + 1

2 a - a 2 - a a - 2 a

  với a > 0 và a 4

  , (Với a > 0 , a 1)

Bài 5: Rút gọn Cho A = 1 1 2

x



1

    với x > 0 và x  1

a) Rút gọn Q

b) Tính giá trị của Q với x = 7 – 4 3

x 1

x 2 x 1



  , với x0, x1

A

Bài 9: Cho biểu thức: B 2(x 4) x 8



    với x ≥ 0, x ≠ 16

Bài 10 Rút gọn biểu thức:A 1 a a 1 a a

    

  , với a0, a1

Một số bài tập rút gọn tự luyện có hướng dẫn

Bài 1:

với x>0 ,x1

Trang 10

a)Rút gọn A b)Tính A với a =  4  15   10  6   4  15 HD: a) A= 4a

   

    với x0 , x1

a Rút gọn A b Tìm GTLN của A HD: a)A =

1

x

x x

Bài 3:

:

        

với x > 0 , x4

a)Rút gọn A b)So sánh A với 1

A HD: a) A = 9

6

x x



Bài 4:

1 :

       

        

a)Tìm x để biểu thức A xác định b)Rút gọn A c)x= ? Thì A < 1 d)Tìm x Z để AZ

a) x0 , x9, x4 b)A= 3

2

x

Bài 5: Cho A = 15 11 3 2 2 3

    với x0 , x1

a)Rút gọn A b)Tìm GTLN của A c)Tìm x để A = 1

2 d)CMR : A 2

3



HD: a)A = 2 5

3

x x





Các bài tập luyện tập

:  



x y xy

x x y y

x y

y x

với x0 , y0, x y a)Rút gọn A b)CMR : A 0

HD: ) 

xy

a A

x xy y

.

x

        

       

Với x > 0 , x1

a) Rút gọn A b)Tìm x để A = 6 HD:a) A = 2x x 1

x

Bài 8: Cho A = 4 3 2

:

      

với x > 0 , x4

a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 2 5  HD:a)A = 1  x) b)

:

     

       

    với x > 0 , x1

a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 2 5

HD: A = 3

2 x

: 1

       

với x0 , x1

a)Rút gọn A b)Tìm x Z để AZ HD:a)A =

3

x

x )

Trang 11

Bài 11: Cho A= 1 2 2 1 2

:

1

x

         

với x0 , x1 a)Rút gọn A b)Tìm x để AZ c)Tìm x để A đạt GTNN

HD:a)A = 1

1

x





9

x

với x0 , x9

a)Rút gọn A b)Tìm x để A < -1

2 HD: a)A = 3

3

a





:

       

        

với x0 , x1

a)Rút gọn A b)Tính A với x = 6 2 5  c)CMR : A 1 HD: a)A = 4

4

x

x b)

:

x



  với x > 0 , x1

a)Rút gọn A b)So sánh A với 1 HD:a)A = x 1

x



: 1

9 1

x

       

Với 0, 1

9

x x

a)Rút gọn A b)Tìm x để A =6

5 c)Tìm x để A < 1 HD: a)A =

x x x





.



với x0 , x1

a)Rút gọn A b)CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0 c)Tính A khi x =3+2 2 d)Tìm GTLN của A

HD:a) A = x(1  x)

Bài 17: Cho A = 4 1 2

1

x x

x



   

    

với x > 0 , x1, x4

a)Rút gọn A b)Tìm x để A = 1

2

:

       

       

với x0 , x1

a)Rút gọn A b.)Tính A khi x= 0,36 c)Tìm x Z để AZ

1 :

với x0 , x9; x2

a Rút gọn A b)Tìm x sao cho A nguyên HD:a)A = 5

3

x

    

    với a 0 , a9 , a4

a Rút gọn A b Tìm a để A < 1 c Tìm a Z để AZ HD: a) A = 1

3

a a





với x 0 , x9 , x4

a)Rút gọn A b)Tìm x để AZ c)Tìm x để A < 0 HD:a) A = 2

1

x x





*Bài 23: Cho biểu thức:

xy x

y x

y y

y x

x P















1 1 1

) )

1 )(

( a) Tỡm điều kiện của x và y để P xác định Rút gọn P b) Tỡm x,y nguyên thỏa mãn P = 2

HD: P x  xy  y

Trang 12

*Bà 24: Cho biểu thức D = 

















ab

b a ab

b a

1 1

:













ab ab b a

1

2 1

a) Tỡm điều kiện xác định của D và rút gọn D b) tính giá trị của D với a =

3 2

2

 C Tìm Max D

HD:a) D =

1

2



a

DẠNG 6: Tìm x để Biểu thức Nguyên

Bài 1: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên (Phương pháp ước, phương pháp chặn)

5

a

x 

3

1

x b

x

1

x c x





x c x





Bài 2 Tìm x để biểu thức nguyên (Phương pháp chặn)

a 7

2 x3 b

x x



 c.

3 2

x

x x





Bài 3 Tìm x để biểu thức sau:

a 3

2

x nguyên dương b

2

x x



 nguyên âm c.

x x



 nguyên dương

DẠNG 7: So sánh

Bài 1: a So sánh A=8 1

x x



 và

8

5 b So sánh B= 8

x

x và 4 c So sánh C=

x

 

và 4

Bài 2: a So sánh A= 1

1

  và A2 b So sánh

1 1

B



  và B2 c

1

C

x

DẠNG 8: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau

1 1

A



B



C



Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

a A x 7 9x b B  x2 10x19

c C 3x4y biết x2 y2 10 d D=x2(3x) biết x 0

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a A x22x 1 x26x9 b B  x  2 x   1 x  2 x  1 c C x26x10

DẠNG 10: BÀI TẬP TỔNG HỢP



  Với x  0, x  25

a.Rút gọn biểu thức A b.Tính giá trị của A khi x = 9 c Tìm x để A 1

3



Bài 2: HN 2012 Rút gọn biểu thức A= 4

2

x x



 Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36

Rút gọn biểu thức B= 4

x



16 2

x x



 (với x ≥ 0, x ≠ 16) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A−1) là số nguyên

Trang 13

Bài 3: HN 2013 Với x > 0, cho hai biểu thức A 2 x

x



a Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64 b Rút gọn biểu thức B c Tìm x để 3

2

A

B 

Bài 4: HN 2014

1) Tính giá trị của biểu thức 1

1

x A x





 khi x=9

2) Cho biểu thức ( 2 1 ) 1

P

   với x > 0 và x khác 1

a)Chứng minh rằng P x 1

x



 b)Tìm các giá trị của x để 2P2 x5

Bài 5 HN 2015 Cho hai biểu thức 3

2

x P x





 và

4 2

Q

x x



 với x>0, x4 1) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9

2) Rút gọn biểu thức Q

3) Tìm giá trị của x để biểu thức P

Q đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 6: HN 2016 Cho hai biểu thức 7

8

A x



 và

9 3

B

x x



 với x ≥ 0, x ≠ 9

a.Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25 b Chứng minh 8

3

x B x





 c Tìm x để biểu thức P = A.B có

giá trị là số nguyên

5

x A x





 ;

25 5

x B

x x



 với x0;x25

a Tính A khi x=9 b Chứng minh 1

5

B x



 c Tìm giá trị x để A=B.|x-4|

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Hà Nội -2012 a) Cho biểu thức A x 4

x 2





 Tính giá trị của A khi x = 36

b) Rút gọn biểu thức B x 4 : x 16

  

  (với x 0; x 16  ) c) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A –

1) là số nguyên; Hướng dẫn  



x 2 B

x 16

Bài 2: (HCM 2012) Thu gọn các biểu thức sau:

1



x A

x

x x x x với x > 0; x1 B(2 3) 26 15 3  (2 3) 26 15 3

2

các số dương khác nhau

a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi a = 7  4 3 và b = 7  4 3

Hướng dẫn: A a b 2 ab

b a

 





Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,35 MB