ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG A. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.. Bài toán 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG. Cho hình chóp. S ABCD có đáy ABCD là h[r]
Trang 1Chủ đề 1 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng ( ) , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
• d ( ) nếu d và ( ) không có điểm chung ( h1)
• d cắt ( ) nếu d và ( ) có duy nhất một điểm chung (h2)
• d ( ) nếu mọi điểm nằm trong d đều nằm trong ( ) (h3)
2 Các định lý và tính chất
a) Định lý 1
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng ( ) và d song song với đường thẳng ' d nằm trong
( ) thì d song song với ( ) Vậy
( ) ( ) ( )
' '
d
d
b) Định lý 2
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) Nếu mặt phẳng ( )
chứa d và cắt ( ) theo giao tuyến 'd thì d' d
Vậy
( )
( )
( ) ( )
' '
d
d
c) Định lý 3
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao
tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó
Vậy
( )
( )
( ) ( )
' '
d
d
d'
d
β
α
d'
d
β α
Trang 2B Bài toán 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
VD. Cho hình chóp S ABC có G G1, 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC , ABC
Chứng minh rằng G G1 2 song song mặt phẳng (SAC)
Lời giải
Gọi M N, là trung điểm của SC AC,
Ta có G1là trọng tâm tam giác SBC 1 2
3
BG =
BM
2
G làtrọng tâm tam giác ABC 2 2
3
BG =
BN
1 2
2
1 3
BG BG
G G MN
BM BN
Mà MSC N, ACMN (SAC) 2( )
Từ ( ) ( )1 , 2 G G1 2 (SAC)
BÀI TẬP: ( Làm ra giấy nộp VẼ HÌNH + GIẢI CHI TIẾT )
Bài tập 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Chứng minh rằng:
) AB ( ) b) CD ( ) c) BC ( ) b) AD ( )
Bài tập 2: Cho hình chóp S ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh
AC SMN
Bài tập 3: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần
lượt là O và ' O Chứng minh OO' song song với các mặt phẳng (ADF) (, BCE)
Bài tập 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các cạnh SA SB AD, , lần lượt lấy các điểm M N P, , sao cho SM =SN = PD
SA SB AD
a) Chứng minh MN (ABCD) b) SD (MNP) c) NP (SCD)
Chủ đề 2 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 Định nghĩa
Hai mặt phẳng ( ) và ( ) được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu ( ) ( )
Trang 32 Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song
a) Phương pháp 1
Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng
song song với mặt phẳng kia
Tóm tắt:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
,
=
a b I
a
b
b) Phương pháp 2
Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với măt mặt phẳng thứ ba
Tóm tắt: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
B Bài toán 2: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
VD. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA SD, Chứng minh (OMN) (SBC)
Lời giải
Ta có M là trung điểm của SA
O là trung điểm của AC
OM là đường trung bình của tam giác SAC
OM SC. OM (SBC) ( ) 1
Tương tự:
N là trung điểm của SD
O là trung điểm của BD
ON là đường trung bình của tam giác SBD
OM SB. OM (SBC) ( ) 2
Từ ( )1 và ( )2 ta có
( )
OM SBC
ON SBC OMN SBC
OM ON O
M N
O
B
A S
b a
β α
γ β α
Trang 4BÀI TẬP: ( Làm ra giấy nộp VẼ HÌNH + GIẢI CHI TIẾT )
Bài tập 5: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt Chứng minh:
(ADF) (BCE)
Bài tập 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lần lượt là trung điểm các cạnh Chứng minh (SBN) (DPM)
Bài tập 7: Cho hình hộp Chứng minh
Chủ đề 3 XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN ( NÂNG CAO )
Bài toán 3: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Xác định thiết diện của mặt phẳng ( ) đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc ( ) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng
PHƯƠNG PHÁP - sử dụng tính chất sau:
Tính chất:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ' , '
d
M
VD Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA
Lời giải
Ta có :
( )
BD
BD ABCD
( ) ( ) , 1( )
ABCD =MN BD NCD
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
SA
SA SAB
( ) ( ) , 2( )
SAB =MP SA PSB
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
SA
SA SAD
( ) ( ) , 3( )
SAD =NQ SA QSD
Trong (ABCD), gọi =I ACMN
M,N,P AB,CD,SA
Trang 5( )
I MN
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) , 4( )
I SAC
SA SAC
Từ đó ta có ( ) ( SBC)=PK,( ) ( SCD)=QK
Thiết diện cần tìm là ngũ giác MNQKP
Bài toán 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA ( ) VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT ( ) SONG SONGVỚI MỘT MẶT PHẲNG ( ) CHO TRƯỚC
PHƯƠNG PHÁP - sử dụng tính chất sau:
Tính chất:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ' , '
M
d
VD Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M N, lần lượt là trung điểm của ,
AB CD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( ) đi qua MN và song song với mặt phẳng (SAD)
.Thiết diện là hình gì?
Lời giải
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
M SAB
SAD SAB SAD SA
SAB =MQ SA QSB
Tương tự
( ) ( ) ( ) ( )
N SCD
SAD SCD SAD SD
SCD =NP SD PSC
Mặt khác PQ=( ) ( SBC)
Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ
Ba mặt phẳng (ABCD) (, SBC) và ( ) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN PQ BC, ,
Mà MN BCMN HK Vậy thiết diện là một hình thang
P
I
Q A
D S
Trang 6BÀI TẬP: ( Làm ra giấy nộp VẼ HÌNH + GIẢI CHI TIẾT )
Bài tập 8: Cho hình chóp có đáy là một hình bình hành Gọi là trung điểm của cạnh Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua , song song với và
Bài tập 9: Cho hình chóp Gọi là hai điểm bất kì trên hai cạnh và , là mặt phẳng
đi qua và song song với Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( )
Bài tập 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh AB CD SA, , Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( ) đi qua MN song song với (SAD)