Chuyên đề Toán 18-19

5 +Với bài toán tìm x (hoặc tìm x hữu tỉ) để biểu thức P nhận giá trị nguyên: Ta “Chặn hai đầu” biểu thức bằng cách đánh giá P như VD trên hoặc đưa về PT ẩn x có nghiệm, sau đó tìm P[r]

1

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10

MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI LÀM BÀI THI TOÁN VÀO LỚP 10 THPT

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

B.NỘI DUNG

CHỦ ĐỀ : BÀI TOÁN RÚT GỌN VÀ SAU RÚT GỌN

I Sai lầm hay mắc:

1 Lỗi chép sai đề bài

2 Lỗi không tìm điều kiện xác định xác định cho biểu thức chứa căn, vì lý do này sẽ kéo theo sai lầm trong bài toán tính giá trị, bài toán tìm x để biểu thức thỏa mãn một điều kiện nào đó Để tránh sai lầm này với bài toán rút gọn cần nhấn mạnh cho HS bài toán chỉ thực hiện được trong ĐKXĐ đó Kết luận bài rút gọn P=… kèm theo ĐKXĐ Vào câu sau rút gọn bắt đầu từ nêu lại kết luận trên

3 Phần tính giá trị: Các em thường thay ngay vào biểu thức mà không kiểm tra xem giá trị

đó có thỏa mãn đk hay không?

Khi làm xong bài toán, các em quên không thử lại với điều kiện (hoặc không biết kết hợp với điều kiện)

4 Sai dấu khi tính toán, sử dụng hằng đẳng thức sai, dùng hằng đẳng thức 2

A  A khi bỏ dấu GTTĐ không chú ý dấu của A, phân tích các mẫu thức thành nhân tử sai, quy đồng mẫu thức sai dẫn đến các phép biến đổi sai

5 Bài toán tìm x nguyên để biểu thức nguyên khác hoàn toàn với bài toán tìm x để biểu thức nguyên

6 Bài toán tìm GTLN, GTNN:

+ Với bài có điều kiện thường hay không quan tâm tới ĐK của biến mà chỉ đi tìm GTLN,

NN của biểu thức rồi dẫn đến tìm sai hoặc không tìm được

II Một số ví dụ cụ thể:

1: Tính giá trị của biểu thức P khi biết giá trị của x

VD1: Cho P x x 1 x x 1 ( x 1 )( x 1 x 1) 2 x

1.Rút gọn P

2.Tính giá trị của P khi x thỏa mãn 2

2x 3x 1 0 

Giải: 1.Rút gọn:

( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x 1 ( x 1) ( x 1)

x ( x 1) x ( x 1) x ( x 1)( x 1)

2

(x x 1) (x x 1) ( x 1) ( x 1)

2 x

x x 1 x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 2x

         

2 x 2

x





Vậy P 2 x 2

x



 với x0, x 1

2 2

2x 3x 1 0  Giải phương trình x1 1; x2 1

2

Với x1 1 không thỏa mãn ĐKXĐ thì P không xác định

x2 1

2

 ( TMĐKXĐ) thì P2 22

*Sai lầm thường gặp:

- Không rút gọn mà quy đồng làm cho mẫu số lớn dễ sai

- Kết luận bài toán rút gọn không kèm theo ĐKXĐ

- Tìm được x không đối chiếu ĐKXĐ

2: Tìm x để P=a, P=Q

VD2: Cho P 2x 1

x



 (x>0) Tìm x để P 9

2



Giải: P 9 2x 1 9 4x 9 x 2 0



Đặt x t (t0) ta có PT: 2

4t   9t 2 0 t 2 Tm 

1

t (Tm) 4









 



 

x 4 Tm 1

x (Tm) 16







  



*Sai lầm thường gặp:

- Không đặt ẩn phụ đưa về PT bậc 2 mà vẫn tính Vvà tính ra x

- Đặt ẩn phụ nhưng không đặt ĐK cho t, tìm được t không đối chiếu ĐK của t, tìm x

cũng không đối chiếu ĐK x

VD3: Cho P x2 (x>0) Tìm x để P x 4

Giải: P  x 4 x   2 x 4

ĐK: x   2 0 x 4

Với x    4 x 4 x 4

3

x 2 ( x2)( x  2) ( x 2)( x 1) 0

( x   2) 0 x 4

*Sai lầm thường gặp:

- Không đặt ĐK để PT có nghiệm: x  2 0

Chú ý: PT f (x) g(x) cần có ĐK g(x)0

- Chia cả 2 vế của PT cho x 2dẫn đến PT vô nghiệm

3: Tìm x để P > a

VD4: Cho P 2 x 1

x 1





 với 0 x 1 Tìm x để P 1

Giải: P 2 x 1 1 2 x 1 1 0

  

Kết hợp với ĐKXĐ: Với 0 x 1 Thì P 1

*Sai lầm thường gặp:

- Giải BPT khi quy đồng khử mẫu ( Nhân chéo)

- Giải BPT:

x

0 x 1 0

x 1   



- Tìm được x không kết hợp với ĐKXĐ hoặc không biết kết hợp

Chú ý: Với bài toán giải bất phương trình chúng ta lưu ý những điều sau:

1 Khi quy đồng không được khử mẫu

2 Nếu xác định được dấu của tử hoặc mẫu thì chỉ xét bài toán trong 1 trường hợp

3.Khi tử và mẫu chưa xác định dấu thì cần chia hai trường hợp

- Nếu phân thức >0 thì tử và mẫu cùng dấu, mẫu khác 0

- Nếu phân thức < 0 thì tử và mẫu trái dấu, mẫu khác 0

4 Sau khi tìm được x, cần kiểm tra lại điều kiện xác định trước khi kết luận

4: Tìm x để P nhận giá trị nguyên

VD5: Cho P x 3

2 x 2

 



 với x0 Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Do P Z 2PZ 4 Z

x 1



4

+ Nếu x không là số chính phương thì xIkhi đó PZ( Loại)

+ Nếu x là số chính phương thì xZ x 1 Z  ,

PZ x 1 Ư(4),

Vì x 1 0 x  1 1;2;4 x 0;1;9

Nếu x=0 thì P 3

2

 (Loại vì không thỏa mãn PZ)

Nếu x=1 thì P 1

2

 (Loại vì không thỏa mãn PZ) Nếu x=9 thì P0 (Thỏa mãn PZ, thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy x=9 thì P nhận giá trị nguyên

*Sai lầm thường gặp:

+ Chưa lập luận để x 1 Z  đã suy ra x  1 Ư(4),

+ P Z 2PZnhưng 2PZchưa chắc PZ, nên tìm được x phải thử lại

Chú ý: Với bài toán tìm số tự nhiên x (hoặc số nguyên dương) để biểu thức nguyên ta làm tương tự nhưng chỉ nhận x là số tự nhiên (hoặc số nguyên dương)

VD6: Cho P 3 x

x 1



 với x0 Tìm x (hoặc tìm số hữu tỉ x) để P nhận giá trị nguyên

Giải: Dễ thấy P0

   P 3

  0 P 3

Mà P nhận giá trị nguyên nên P0;1;2

P=0 x 0 (Tm)

P=1 x 1

4

  (Không Tm)

P=2 x 4 (Tm)

Vậy x 0;4

*Sai lầm thường gặp:

+ Làm giống VD5

+ Tìm được x không đối chiếu ĐK x nguyên

Chú ý:

5

+Với bài toán tìm x (hoặc tìm x hữu tỉ) để biểu thức P nhận giá trị nguyên: Ta “Chặn hai đầu” biểu thức bằng cách đánh giá P như VD trên hoặc đưa về PT ẩn xcó nghiệm, sau

đó tìm P rồi tìm x, đối chiếu điều kiện và kết luận

+ Dùng VD 6 suy ra kết quả VD 5 nhưng không ngược lại được

5: Tìm x để P nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

VD7: Cho P 4x

x 2



 với 0 x 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Giải: ĐK: P0 4x 0 x 2 0 x 4

x 2



 

x 2

 , áp dụng BĐT Cosi:

Min P4 2 4( x 2) 16

x 2

  x 16( Tm)

*Sai lầm thường gặp:

+ Không đặt ĐK P0

+ Áp dụng BĐT Cosi mà không quan tâm các số được áp dụng có 0 hay không

6: Tìm m để pt P=m có nghiệm

VD8: Cho P x 1

x 3





 với 0 x 9 Tìm m để phương trình P xm có 2 nghiệm phân biệt

x 3



Với ( x3)( xm) x 1

x (m 4) x 3m 1 0

Đặt x t (t0, t3) 2

t (m 4)t 3m 1 0 (*)

     

PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt không âm và khác 3

6

1 2

1 2

0

t t 0

t t 0

t 3





  



  



 



2

(4 m) 4(3m 1) 0

4 m 0 3m 1 0

3 (4 m)t 3m 1 0



  



   



     



2 (m 2) 16 0

1 m 3

4 0

  



  



  





 



1 m 3

 

*Sai lầm thường gặp:

+ Không kiểm tra đk t khác 3

7

CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH 2

ax  bx   c 0

I.Sai lầm hay mắc:

1 Không nhớ công thức nghiệm, áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình bậc 2 còn sai, lẫn từ công thức này sang công thức kia

Không nhớ hệ thức Viet, lẫn giữa tổng và tích 2 nghiệm, lẫn dấu

2 Giải PT qui về bậc 2 không đặt ẩn phụ mà vẫn tínhV

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu không đặt ĐK, các phép biến đổi dùng dấu tương đương

và không thử lại hoặc có đặt ĐK, biến đổi tương đương nhưng không đối chiếu điều kiện

3 Chưa nắm chắc để phân biệt các ĐK để PT có nghiệm, có 1 nghiệm, có 2 nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt Câu 1: Chứng minh PT có nghiệm với mọi m

Câu 2 : Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 ĐK

HS thường sai lầm lấy ĐK câu 1 vào làm câu 2

4.Điều kiện để pt có hai nghiệm trái dấu, hai nghiệm cùng âm, cùng dương…

*Chú ý Với PT ax2  bx   c 0

+) PT có 2 nghiệm x1 và x2trái dấu  ac  0

+) PT có 2 nghiệm x1 và x2cùng dấu 



























0

) 0 ' ( 0 0

a c a

+) PT có 2 nghiệm x1 và x2cùng dương 



































0 0

) 0 ' ( 0 0

a b a c a

+) PT có 2 nghiệm x1 và x2cùng âm 



































0 0

) 0 ' ( 0 0

a b a c a

+) PT có 2 nghiệm x1 và x2đối nhau 





























0

) 0 ' ( 0 0

a b a

8

+) PT có 2 nghiệm x1 và x2là nghịch đảo của nhau 



























1

) 0 ' ( 0 0

a c a

+) PT có ít nhất 1 nghiệm không âm: Tìm ĐK để PT có 2 nghiệm cùng âm rồi lấy ngược lại

(ĐK để PT trùng phương có nghiệm là PT bậc 2 ẩn 2

t có ít nhất 1 nghiệm không âm)

5 ĐK tham số để PT có 2 hai nghiệm đều nguyên:

+ 2 nghiệm nguyên tương đương tổng nguyên và tích nguyên

+2 nghiệm nguyên  là chính phương

Thực ra đay chỉ là điều kiện cần nhưng chưa đủ

6 Tìm ĐK của tham số để pt có 2 nghiệm thỏa mãn ĐK cho trước mà nghiệm xuất hiện ở mẫu thức, trong dấu căn, là độ dài các cạnh hình chữ nhật, tam giác vuông… Thường quên

ĐK các nghiệm khác 0, dương

7 Tìm 2 số x và y biết tổng là S tích là P thì x, y là 2 nghiệm của PT bậc 2: X2SX P 0 Khi HS lập PT bậc 2 hay lầm lấy ẩn là x hoặc y, kết luận nghiệm không lấy cặp đảo

II Một số ví dụ cụ thể:

1 Tìm điều kiện để tập nghiệm của PT chỉ có 1 phần tử (Có tham số ở hệ số a)

VD1: Cho phương trình 2

mx 2(m 1)x   m 1 0 ( m là tham số)

Tìm m để tập nghiệm của PT chỉ có 1 phần tử

Giải:

+ Nếu m=0 PT có dạng: 2x+1=0 có nghiệm x 1

2

  Vậy m=0 thỏa mãn đề bài

+ Nếu m0 PT là Pt bậc 2 có V' 1 3m 

PT có 1 nghiệm ' 1 3m 0 m 1

3

  V   

Vậy m=0, m 1

3



*Sai lầm thường gặp: Không xét m=0

2 Tìm tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt mà Vlà bình phương của 1 biểu thức

VD2: Cho phương trình 2

x (m 1)x   m 2 0 ( m là tham số)

Tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt

Giải:

(m 3)

 

V

9

PT có 2 nghiệm phân biệt 2

(m 3) 0 m 3

    

*Sai lầm thường gặp:

(m 3) 0

  

(m 3)      0 m 3 0 m 3

3 Tìm tham số để PT có 2 nghiệm x ; x thỏa mãn 1 2 P(x ; x )1 2 đạt GTLN, GTNN

VD3: Cho phương trình 2 2

x 2(m 1)x m  3 0 ( m là tham số)

Tìm m để PT có 2 nghiệm x ; x thỏa mãn : 1 2 Px12 x22 3x x1 2 đạt GTNN

Giải: Có  ' 2m 2

Pt có 2 nghiệm x ; x1 2  ' 2m 2 0   m 1

Theo Định lý Viet có: 1 2

2

1 2







a)P(x1x )2 2 3x x1 2 m2 8m 5 (m4)221

m 1    m 4 5 (m 4) 25 P 4

Dấu ‘=’ xảy ra khi m=1

Vậy Pmin=4 khi m=1

*Sai lầm thường gặp:

(m 4)     0 P 21 Pmin=-21 khi m=-4

(m 4)    0 P 21 Dấu „=‟ xảy ra khi m=-4( Không thỏa mãn)

Vậy không có GTNN của P

4 Tìm tham số để PT có 2 nghiệm x ; x là độ dài cạnh hình chữ nhật, tam giác vuông 1 2 VD4: Cho phương trình 2

x (m 1)x   m 2 0 Tìm m để PT có 2 nghiệm x ; x là kích thước của 1 hình chữ nhật có đường chéo bằng 1 2 10

Theo Định lý Viet có: 1 2

1 2





Để x ; x là kích thước của 1 hình chữ nhật thì 1 2

1 2



10

Hình chữ nhật có đường chéo là 10

1 2

 



 





*Sai lầm thường gặp:

+ Không đặt ĐK x ; x1 2dương nên m=-1 vẫn thỏa mãn

5 Tìm tham số để PT có 2 nghiệm x ; x đều nguyên 1 2

VD5: Cho phương trình 2

x mx  m 2 0 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều nguyên

Giải: V(m 2) 4 nên PT luôn có 2 nghiệmx ; x 1 2

Theo Định lý Viet có: 1 2

1 2





     (x11)(x2   1) 1

Vì x ; x1 2đều nguyên nên tìm ra (x ;x )1 2  (1; 1)(x ;x )1 2  ( 1;1)

Cả 2 trường hợp thay vào hệ thức Viet đều tìm được m=-2

1 2

1 2



   



11

CHỦ ĐỀ : HÀM SỐ ĐỒ THỊ I.Sai lầm hay mắc:

1 Lỗi khi vẽ đồ thị hàm số:

+ Chia đơn vị không thống nhất trên 2 trục, xác định điểm sai

+Vẽ Parabol như đường gấp khúc, xấu

2 Không nắm chắc vị trí tương đối của 2 đồ thị

3 Khi xét tương giao của 2 đồ thị cần chốt: Số giao điểm 2 đồ thị là số nghiệm của Phương trình hoành độ giao điểm hoặc là số nghiệm của hệ

Nắm chắc: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình, tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

4 Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(x y ) và A; A B(x y ) B; B

+ Nếu xA xB Thì AB có phương trìnhxxA

+ Nếu yA yB Thì AB có phương trìnhyyA

+ Nếu xA xB; yA  yBthì mới gọi pt AB là y=ax+b để đi tìm a và b

5 Lỗi khi giải các bài toán đồ thị hàm số gắn với hình học không quan tâm tới độ dài đoạn thẳng phải không âm Điều kiện để đường thẳng cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác…

6 Điều kiện của hoành độ, tung độ để 1 điểm thuộc các góc phần tư Vị trí các điểm: nằm trong góc phần tư (không nằm trên cạnh của góc), thuộc góc phần tư (có lấy điểm nằm trên cạnh góc), thuộc tia phân giác các góc phần tư

7 Lỗi khi tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua, tập hợp điểm mà đường thẳng luôn không đi qua: Bản chất là đưa về PT nghiệm đúng với mọi giá trị của biến

II Một số ví dụ cụ thể:

VD1: Trên mặt phẳng tọa độ cho:

Đường thẳng (d): y(k2)x k 4 ( k là tham số) và (P) 2

yx

1 Tìm điểm cố định mà (d) luôn đi qua

2 Tìm tập hợp điểm mà (d) không đi qua với mọi k

3.Khi (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x y ) và 1; 1 B(x y )2; 2 nằm về 2 phía của Oy,

CMR: y1y24x x1 2 4

4.Tìm k để khoảng cách từ O(0;0) đến (d) bằng 2

Giải:

1 Giả sử M(x y )0; 0 là điểm (d) luôn đi qua với mọi k:

Ta có: y0 (k2)x0 k 4 k

(x0 1)k2x0y04 (*)

12

Đẳng thức (*) luôn đúng với mọi k 0

 





0 0







Vây (d) luôn đi qua M(1;2)cố định với mọi k

2 Giả sử M(x y )0; 0 là điểm (d) không đi qua với mọi k

Xét phương trình y0 (k2)x0 k 4

(x0 1)k2x0y04 (*)

(d) không đi qua M(x y )0; 0 với mọi k khi phương trình (*) ẩn k vô nghiệm với mọi k

0

 





0 0







Vậy với mọi m (d) không đi qua M(1; y ) với 0 y0 2

*Sai lầm thường gặp:

- Không nắm chắc bản chất của bài toán tìm điểm cố định mà (d) luôn đi qua là đưa về phương trình A.k=B nghiệm đúng với mọi k ( A=B=0) Bài toán tìm tập hợp điểm mà (d) không đi qua là đưa về phương trình A.k=B luôn vô nghiệm( A 0;B 0  )

3.Xét PT hoành độ giao điểm giữa (d) và (P): x2 (k2)x  k 4 0 (*)

+ Có: V(k2)24(k 4) (k4)2   4 0 k

Số nghiệm của PT (*) là số giao điểm của (d) và (P)

Do V 0 knên PT (*) có 2 nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 1; 1

A(x y ) và B(x y ) 2; 2

Khi đó x x1; 2là 2 nghiệm của PT (*), theo Hệ thức Viet: 1 2

1 2

x x k 4





+ A và B nằm về 2 phía của Oy x ; x1 2 trái dấux x1 20    k 4 0 k 4

y y 4x x k 10k20(k5) 3 Lập luận k     4 k 5 1 (k5)2  1 M4

*Sai lầm thường gặp:

+ Không chỉ ra x x1; 2là 2 nghiệm của PT (*)

+ Không nắm rõ vị trí 2 điểm nằm về 2 phía với Oy nên không tìm ra ĐK k 4

+ Nhầm tưởng 2

M(k5)  3 3

4 + Khi k=2, (d) có dạng y=2: Khoảng cách từ O đến (d) là 2 (Chọn)

+ Khi k=4 (d) có dạng y=2x, khi đó khoảng cách từ O đén (d) là 0 ( Loại)

13

+ Khi k2;k 4 (d) cắt Ox tại C(k 4;0)



 và cắt Oy tại D(0;k 4)

Kẻ OH vuông góc (d), dùng hệ thức lượng lập hệ thức

OC  OD  OH Tìm được k1  2 (Loại);

2

2 k 3

 (Chọn)

k 2;

3

  thì khoảng cách từ O đến (d) là 2

*Sai lầm thường gặp:

- Không xét các trường hợp (d) song song với Oy, (d) đi qua O

VD2: Trên mặt phẳng tọa độ cho:

Đường thẳng (d): y(m2)x2m 1 ( m là tham số) và (P) yx2

Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x y ) và 1; 1 B(x y ) đối xứng nhau qua Oy 2; 2

Giải:

Xét PT hoành độ giao điểm giữa (d) và (P): 2

x (m2)x2m 1 0  (*) + Có: V(m2)2   4 0 m

Số nghiệm của PT (*) là số giao điểm của (d) và (P)

Do V 0 knên PT (*) có 2 nghiệm phân biệt nên (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 1; 1

A(x y ) và B(x y ) 2; 2

Khi đó x x1; 2là 2 nghiệm của PT (*), theo Hệ thức Viet: 1 2

1 2

x x 2m 1







+ Tính được m   2 y 5

Tìm được: A( 5;5) ;B( 5;5)

*Sai lầm thường gặp:

+ A và B đối xứng qua Oy x1   x2

Chú ý: A và B đối xứng qua Oy 1 2

 





A và B đối xứng qua Ox 1 2





   



14

VD3: Cho đường thẳng (d): y= (m-2)x+m+2 ( m là tham số)

1.Tìm m để (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho OA=3OB

2 Tìm m để (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho SAOB 1

Giải

1.+ Khi m=2 (d) có dạng y=4, khi đó (d) song song Oy ( Loại)

+ Khi m=-2 (d) có dạng y=-4x, khi đó (d) đi qua O nên Oa=OB=0, thỏa mãn OA=3OB

+ Khi m2;m 2(d) cắt Ox tại A( (m 2);0)

 và cắt Oy tại B(0;m 2)

OA (m 2) (m 2)



1

1

 

 





Vậy m  2;1;3

2 + Khi m=2 (d) có dạng y=4, khi đó (d) song song Oy ( Loại)

+ Khi m=-2 (d) có dạng y=-4x, khi đó (d) đi qua O nên không tạo thành tam giác ( Loại)

+ Khi m2;m 2(d) cắt Ox tại A( (m 2);0)

 và cắt Oy tại B(0;m 2)

OA (m 2) m 2

SAOB 1 1OA.OB 1

2

   1 m 2 m 2 1

2 m 2





2 (m 2) 2 m 2

(m2) 2.(m2)m 2m 8 0 PT vô nghiệm

(m2)  2.(m2)m 6m  0 m 0;6

Vậy m0;6

*Sai lầm thường gặp:

+ Độ dài đoạn thẳng OA, OB không lấy GTTĐ

+ Bài toán về diện tích tam giác mà không xét ĐK để (d) cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác