Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC)[r]
Trang 1Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, đường tròn nội tiếp
tam giác và đường tròn ngoại tiếp tứ giác
I Cách xác định tâm của đường tròn
1 Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
+ Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác
+ Trong tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ấy
2 Xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
+ Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác kẻ từ 3 đỉnh của tam giác
3 Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
+ Tứ giác có bốn đỉnh các đều một điểm Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
+ Lưu ý: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB
II Bài tập ví dụ cho các bài tập về tâm của đường tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
Lời giải:
Trang 2+ Gọi I là trung điểm của AH
+ Có HF vuông góc với AF (giả thiết) suy ra tam giác AFH vuông tại F
I là trung điểm của cạnh huyền AH
Suy ra IA = IF = IH (1)
+ Có HE vuông góc với AE (giả thiết) suy ra tam giác AEH vuông tại E
I là trung điểm của cạnh huyền AH
Suy ra IA = IE = IH (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra IA = IF = IH = IE
Hay I cách đều bốn đỉnh A, E, H, F
Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn có tâm I là trung điểm của AH
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD,
BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P
a, Chứng minh tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp
b, Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
c, Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Lời giải:
Trang 3a, + Có AD là đường cao của tam giác ABC ADC 900
+ Có BE là đường cao của tam giác ABC BEC 900
+ Xét tứ giác CEHD có: ADC BEC 900 900 1800
Hai góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp
b, + Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC
+ Xét tam giác BEC có: BEC 900 (BE là đường cao của tam giác)
K là trung điểm của đoạn thẳng BC
Suy ra KE = KB = KC (1)
+ Xét tam giác BFC có: BFC 900(CF là đường cao của tam giác)
K là trung điểm của đoạn thẳng BC
Suy ra KF = KB = KC (2)
+ Từ (1), (2) suy ra KE = KB = KC = KF hay điểm K cách đều 4 điểm F, E, C, B Suy ra tứ giác FECB nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm của BC
c, Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Trang 4+ Có FECB nội tiếp đường tròn FCB FEB (góc nội tiếp cùng chắn cung FB) Lại có CEHD là tứ giác nội tiếp HED HCD (góc nội tiếp cùng chắn cung HD) Suy ra HED FEB hay EB là tia phân giác của góc FED
+ Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE
Mà BE và CF cắt nhau tại H nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
III Bài tập tự luyện các bài toán về tâm của đường tròn
Bài 1: Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác góc
vuông) và cắt đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại I và K
a, Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp và xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b, Chứng minh tam giác CIK là tam giác cân
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R) Ba đường
của tam giác là AF, BE và CD cắt nhau tại H Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH (H thuộc BC) Lấy
điểm D sao cho H là trung điểm của BD Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng AD Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp và xác định vị trí tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) Gọi H là giao
điểm của các đường cao AI, BM, CN của tam giác ABC Đường thẳng BC cắt đường thẳng MN tại D Chứng minh tứ giác BNMC nội tiếp Xác định tâm K của đường tròn này
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE,
CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a, Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng nằm trên một đường tròn
b, Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?
c, Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Trang 5Tải thêm tài liệu tại: