Tập được gọi là biến cố không, Tập được gọi là biến cố chắc chắn Phép toán trên các biến cố: \A được gọi là biến cố đối của biến cố A.. Phép dời hình: là phép biến hình bảo toàn kho
Trang 1A ĐẠI SỐ
1 Hàm số lượng giác:
T/ C
Hàm số
(đồng biến,nghịch biến)
2
] NB[
2
; ]
2 k k Z
2
)
Bài tập:
1) Tìm tập xác định các hàm số sau:
1) y = cos x2 3x2 2) y = 2
os2x
1-sinx
c
5) y = tan(x +
4
) 6) y = cot(2x - )
3
sinx 2 osx c
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: ( 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 ; 0 sin 2x1; 0 cos 2x1)
1) y = 3 + 2 cosx 2) y = 2 cosx + 1 3) y = 2sin( )
x
4) y = 3cos2x 5) y = 1 sinx
2 Phương trình lượng giác cơ bản:
sinx = a PT VN
Nếu a là giá trị cung đặc biệt và có sin = a thì:
2 2
Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì:
arcsina + k2 = - arcsina + k2
x x
cosx = a PT VN
Nếu a giá trị cung đặc biệt và có cos = a thì:
2 2
Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì:
arccosa + k2 arccosa + k2
x x
tanx = a
Nếu a là giá trị cung đặc biệt và có tan =a thì: x = + k ,(k Z) Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì: x = arctana + k ,(k Z)
cotx = a Nếu a là giá trị cung đặc biệt và có cot =a thì: x = + k ,(k
Z) Nếu a không phải là giá trị cung đặc biệt thì: x = arccota + k ,(k Z)
Giải các phương trình sau:
a sin3x = 3
2 . b cos2x =
1
2 c tanx = 3 d cot2x = 1
3.
e sinx = 2
3 f tan3x = 2008 g cos3x = 3
2
h sinx = - 3
2
3 Pt bậc nhất và bậc 2 đối với 1 hs lượng giác:
Trang 2Pt Dạng Cách giải
Bậc I asinx + b = 0acosx + b = 0 (a0)
atanx + b = 0 acotx + b = 0
Chuyển vế b rồi chia 2 vế pt cho a Giải pt lg cơ bản
Bậc II
at2 + bt + c = 0 (a0) t là một trong các hàm số lượng giác
Đặt ẩn phụ, ĐK
(Đv sin và cos t 1) giải pt bậc 2 theo ẩn phụ Rồi giải
ptlg cơ bản
Bài tập:
a 2sin2
2
x
+ 2 sin
2
x
- 2 = 0 b 3tan2x + 3 = 0 c 3 cosx – 2sin2x = 0
d 4sinxcosx.cos2x = 1
2 e 5cotx – 6 = 0 f 3tan
2x + tanx – 4 = 0
g 3cot2x - 2 3 cotx + 3 = 0 h 3 anx - 6cotx + 2 3 0t i 6cos2 x – 5sinx – 2 = 0
Phương trình dạng aSin x + bSinxCosx + cCos 2 2 x = d
Cách giải: chia hai vế pt cho cos2x (nếu a d pt không có nghiệm cosx = 0, a = d, pt có nghiệm cosx = 0).
Cần nắm vững công thức:
sinx
t anx cosx
cos
cot sin
x
x
x
2 2
1
1 tan
c x
2 2
1
1 cot sin x x
Bài tập:
a 2sin2x – 5sinxcosx – cos2x = -2 b 3sin2x – 6sinxcosx – 2cosx = 3
C cos2x + 2sinxcosx + sin2x = 2 d sin2x – 6sinxcosx + cos2x = -2
Phương trình dạng asinx + bcosx = c
Cách giải: Xác định hệ số a, b, c Tính a2b2 Chia 2 vế pt cho a2b2
Nếu 2a 2 & 2b 2
a b a b là giá trị lượng giáccủa các cung đặc biệt thì thay tương ứng cos và sin vào Còn không là giá trị đặc biệt thì đặt Cos = 2a 2 &Sin 2b 2
Sin(x+ ) = 2c 2
a b Giải pt lg cơ bản trên tìm nghiệm.
Các công thức cần nhớ:
Sin2x + Cos2x = 1 Sin2x = 2SinxCosx Cos2x = Cos2x – Sin2x = 2Cos2x – 1 = 1 – 2Sin2x
sin
tan
cos
a
a
a
Cotx = osx
Sinx
C
Tanx.Cotx = 1 Sin(a + b) = SinaCosb + SinbCosa Sin(a - b) = SinaCosb - SinbCosa
Cos(a + b) = CosaCosb – SinaSinb Cos(a - b) = CosaCosb + SinaSinb
Tan(a + b) =
1
Tana Tanb TanaTanb
Tan(a - b) =
1
Tana Tanb TanaTanb
CosaCosb = 1
2[Cos(a + b) + Cos(a – b)] SinaSinsb =
-1
2[Cos(a + b) - Cos(a – b)]
SinaCosb = 1
2[Sin(a + b) + Sin(a – b)]
Xem lại công thức tổng thành tích
Bài tập:
Giải các phương trình sau:
a 3 Sinx + Cosx = 1 b 4Sinx + 3Cosx = 2 c 2 Sinx + 2Cosx = 2 d Sinx + Cosx = 3
CHƯƠNG II: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Trang 3* Quy tắc cộng:
Thực hiện 1 công việc được thực hiện bởi k phương án.
Phương án 1 có n 1 thực hiện.
“ 2 “ n 2 “ .
……….
Phương án k có n k cách thực hiện
Thì ta có n 1 + n 2 + … + n k cách thực hiện.
Phát biểu dưới dạng khái niệm tập hợp:Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì:
n(AB) = n(A) + n(B)
* Quy tắc nhân:
Một công việc được thực hiện bởi hai hay nhiều hành động mà trong đó :
Có m cách thực hiện hành động thứ nhất
Có n cách thực hiện hành động thứ hai
……….
Có i cách thực hiện hành động thứ k
Thì ta có : m.n……i cách thực hiện.
Bài tập:
a Từ các số 1, 2, 3 có thể lập đuọc bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100
b Từ nhà An đến nhà Bình có 5 con đường để đi, từ nhà Bình đến nhà Toàn có 3 con đường để đi Hỏi
có bao cách đi tù nhà An đến nhà Toàn?
c Từ các chữ số 1,3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 3 chữ số
- Các số tự nhiên có chữ số giống nhau
- Các số tự nhiên có chữ số khác nhau
2 Hoán vị - chỉnh hợp – Tổ hợp:
Hoán vị
Cho tập A gồm N ptử Mỗi kq
Chỉnh hợp
n(A)= n Mỗi cách chọn k ptử có thứ tự của A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n ptử Ak =(n kn! )!
Pn = Ak
0! = 1
Tổ hợp
n(A)= n Mỗi tập con gồm k ptử của A được gọi là
1 tổ hợp chập k của n ptử Ckn =k n k!( n! )!
Ck =Cnn –k 1
C C C
Bài tập:
1 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 người vào 10 cái ghế xếp thành 1 hàng dọc
2 Trong lớp học có 25 HS hỏi có bao nhiêu cách chon ra 5 bạn để đi dự hội trại của Đoàn Trường
3 Lớp học co 42 Hs chon ra 3 ban, 1 bạn làm lớp trưởng, 1 bạn lớp phó và 1 bạn bí thư đoàn Hỏi
có bao nhiêu cách chọn
4.Trên giá sách có 10 quyển sách toán,8 quyển sách văn và 3 quyển sách lý.Lấy 3 quyển.Tính số cách lấy để :
a Mỗi loại có 1 quyển
b Cả 3 quyển cùng loại
c Chỉ có đúng 1 quyển sách văn
d Có ít nhất 1 quyển toán
3 Nhị thức Niu – Tơn:
Dạng khai triển: ( )n 0 n 1 n 1 k n k k n n
a b C a C a b C a b C b
Với a=b=1, 2n = 0 1 n
C C C Với a= 1, b = -1 ta có 0 = 0 1 ( 1)k k ( 1)n n
C C C C
Chú ý: Số các hạng tử trong (1) là n+1
Số mũ của a giảm dần , số mũ của b tăng dan dần từ trái sang phải nhung tong các số mũ bắng n Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều 2 hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
Bài tập:
1 Khai triển các biểu thức sau: a) (2x – 3y)4 b) (y + 2x)5
Trang 42 Tìm hệ số không chứa x trong khai triển: a) (2x + 22
x )
6, b) (2x + 13
x )
8+
Tam giác Pascan (xem lại sgk)
4 Phép thử và biến cố:
* Phép thử ngẫu nhiên: là phép thử ta ko đoán trước được kết quả , mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có
thể xảy ra
* Không gian mẫu: tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu K/h:
* Biến cố: biến cố là tập con của kgmẫu.
Tập được gọi là biến cố không, Tập được gọi là biến cố chắc chắn
Phép toán trên các biến cố: \A được gọi là biến cố đối của biến cố A K/h : A
- AB được gọi là hợp của 2 biến cố
- AB được gọi là giao của 2 biến cố
- AB = , A và B được gọi là là 2 biến cố xung khắc
Bài tập:
Gieo đông tiền liên tiếp 3 lần Hãy mô tả không gian mẫu? Xác định các biến cố sau;
- Mặt sấp xuât hiện ít nhất 1 lần
- Lần đầu xuất hiện mặt ngữa
Gieo con súc sắc 2 lần Hãy mô tả không gian mẫu Xác định các biến cố :- Tổng số chấm trong 2 lần gieo
là 8
- Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm
- Cả 2 lần gieo là như nhau
5 Xác suất của biến cố:
P(A) = ( )
( )
n A
n
P(A): xác suất của biến cố A ( )n : là số phần tử của kgm.n(A): số phần tử của biến cố A.
Tính chất của xác suất:
( ) 0, ( ) 1
P P
0P(A) 1, với biến cố A
Nếu A và B xung khắc thì P(AB) = P(A) + P(B)
Hệ quả: P ( A ) = 1 - P(A)
Biến cố độc lập công thức nhân xác suất:
- Nếu sự xảy ra của 1 biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của 1 biến cố khác thì ta nói 2 biến cố đó độc lập
- A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi: P(A.B) = P(A).P(B)
Bài tập:
1 Gieo ngẫu nhiên con súc sắc 2 lần Mô tả không gian mẫu tính xác suất:
- Mặt 6 chấm xuất hiện đúng 1 lần
- Tổng số châmư xuất hiện trong hai lần gieo là 7
- Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần
2.Từ một hộp chứa 8 quả cầu đen và 6 quả cầu trắng, lấy ngẫu nhiên 4 quả Tính xác suất sao cho
a Bốn quả lấy ra cùng màu
b Có ít nhất một quả màu trắng
c Có 2 quả màu trắng và 2 quả màu đen
CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
1 Dãy số: - Định nghĩa : một hàm số u(n) với n là tập hợp các số nguyên dương gọi là 1 dãy vô hạn.
+ Dãy hữu hạn là hàm số u(n) với n 1, 2,3, , m trong đó u là số hạng cuối cùng của dãy m
- Cách cho dãy số: + Cho bằng công thức tổng quát.
+ Cho bằng cách mô tả
+ Cho bằng công thức truy hồi
- Dãy số gọi là tăng nếu u n u n1 n N*
- Dãy số gọi là giảm nếu u u n N*
Trang 5- Dãy số gọi là bị chặn trên nếu M sao cho *
n
u M n N
- Dãy số gọi là bị chặn dưới nếu m sao cho u n m n N*
- Dãy vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên gọi là dãy bị chặn.Khi đĩ m M, sao cho *
n
m u M n N
Các dạng tốn thường gặp:
- Tính các số hạng của 1 dãy số: nếu cho bằng cơng thức tổng quát ta tính được bất kỳ số hạng nào bằng cách thay giá trị n vào cơng thức đĩ,nếu cho bằng cơng thức truy hồi phải tính lần lượt các số hạng
- Chứng minh 1 dãy là tăng:
Cách 1: tính hiệu số u n u n1 cĩ giá trị âm Cách 2: tính tỷ số
1
n
n
u
u cĩ giá trị <1
- Chứng minh dãy là giảm :
Cách 1: tính hiệu số u n u n1 cĩ giá trị dương Cách 2: tính tỷ số
1
n n
u
u cĩ giá trị >1
- Xét tính bị chặn của 1 dãy:
Dãy tăng và bị chặn trên thì bị chặn.Dãy giảm và bị chặn dưới thì bị chặn
Dãy khơng tăng khơng giảm thì dựa vào tập giá trị để xét
Bài tập:
1.Tìm 5 số hạng đầu của các dãy số sau:
1
n
n u n
b ( 1)
n n
n u
n
c u12;u2 3;u n 2u n1u n2 n 3
2 Chứng minh rằng các dãy số sau là bị chặn:
n u n
b 3
1
n
n u
n
c ( 1) sin 2n
n
3 Xét tính tăng giảm của các hàm số sau:
2
n
n u
n
b 3 2
3
n
n u n
c ( 1)
3
n n
n
u
2.Cấp số cộng: - Định nghĩa :dãy số cĩ tính chất u n1 u n d n N* trong đĩ d là 1 hằng số gọi là 1 cấp số cộng Hằng số d gọi là cơng sai
- Số hạng tổng quát
Tính chất các số hạng:
Tổng của n số hạng đầu:
Các dạng tốn:
+Tìm 1 số hạng của CS cộng: cần tìm được u và d rồi sử dụng cơng thức số hạng tổng quát.1
+ Chứng minh 1 dãy số là cấp số cộng: chỉ ra *
1
n n
u u d n N với d là hằng số
+ Tính tổng n số hạng đầu
Bài tập:
1 Tìm 5 số hạng đầu của các dãy số sau:
n
u u n d
2
k k k
u k
*
, 2
n k n k n
u n k N
và n-k>0
S u u u n d
Trang 67 3
2 7
u u 75
2
n
n
u
n
1
n
u
n
4
n
n
( 1)!
n n
u n
2 Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
a) un = 7 – 3n; b) un =
3
n
- 2; c) un = 2n ( n N*)
3 Tìm số hạng đầu tiên và công sai d của cấp số cộng un biết:
a) 5
9
u 19
4 Tìm tổng của cấp số cộng có 10 chữ số biết:
a) 1
10
2
5 Tìm x biết: 1 + 4 + 7 + …+ x = 92
6 Tính các tổng sau: a) S = 55 + 60 + 65 + …+860; b) S = 999 + 996 + 993 + …+3
7 Một CSC cĩ 8 số hạng, số hạng thứ nhất là 30 và số hạng cuối cùng là 114 Tìm các số hạng của CSC này
8 Một CSN cĩ u1 = 2; u11 = 64 Tìm q
9 Tìm các số hạng của một CSN, biết rằng cấp số đĩ
a) cĩ 5 số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng cuối là 243
b) cĩ 6 số hạng, số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1
10 Tìm số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân biết:
72 144
u u
u u
25 15
u u
u u u
11 Trong một CSN cĩ 9 số hạng, biết u1 = 5 và u9 = 1280 Tìm cơng bội q và tính tổng các số hạng
12 Tính tổng: S = 2 + 6 +18 +…+ 13122
13 Cho dãy số u n 2n3
a Chứng minh dãy số là 1 cấp số cộng, tính u và d.1
b.Tính số hạng thứ 20 và tổng 30 số hạng đầu
c Biết S n 240 tìm n
14 Một cấp số cộng cĩ 5 8
16
u u u
tính số hạng đầu,cơng sai và u của cs cộng đĩ.18
15 Ba gĩc của 1 tam giác cĩ số đo lập thành 1 cấp số cộng.Gĩc nhỏ nhất bằng 1/7 gĩc lớn nhất.Tính số
đo 3 gĩc tam giác ấy
B HÌNH HỌC CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
A.Kiến thức cần nhớ
1 Phép biến hình là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mp với 1 điểm xác định duy nhất M’ của
mp đĩ
2 Phép tịnh tiến:T M v M' MM'v
-PTT theo vectơ-khơng là phép đồng nhất
-Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy cho M(x;y), va b;
Gọi M x y' '; ' T M v Khi đĩ: '
'
x x a
y y b
-Tính chất: PTT:
Bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho
Biến 1 đường thẳng thành đt song song hoặc trùng với nĩ
Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nĩ
Biến 1 đường trịn thành đường trịn cĩ cùng bán kính
3 Phép đối xứng trục: Đd (M)=M’ d là đường trung trực của đoạn MM’, (Md)
-Md: M= Đd (M)
Trang 7-Nếu M’= Đd (M) M M o 'M M o
, với Mo là hình chiếu vuông góc của M trên d -Đt d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đd biến hình H thành chính nó Khi đó H được gọi là hình có trục đối xứng
-Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy với mỗi điểm M(x;y) Gọi M’(x’;y’)= Đd (M)
Nếu chọn d là trục Ox, thì '
'
x x
Nếu chọn d là trục Oy, thì '
'
y y
-Tính chất:PĐX Trục:
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho
Biến 1 đường thẳng thành đường thẳng
Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó
Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
4 Phép đối xứng tâm: ĐI(M)=M’ I là trung điểm đoạn MM’(MI)
- MI: M’I
- Nếu M’= ĐI (M) IM' IM
- Điểm I là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó Khi đó H được gọi là hình có tâm đôí xứng
-Biểu thức tọa độ: Trong mp Oxy cho M(x;y) Gọi M’(x’;y’)= Đo(M).Khi đó: '
'
-Tính chất:PĐX Tâm:
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho
Biến 1 đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó
Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
' '
O
OM OM
-Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác
-MO: M’O
-Phép quay tâm O góc quay 2k1 , k Z là phép đối xứng tâm O
-Phép quay tâm O góc quay 2k k Z, là phép đồng nhất
-Tính chất: phép quay
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho
Biến 1 đường thẳng thành đường thẳng
Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó
Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
6 Phép dời hình: là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
-Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay đều là phép dời hình
-Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được 1 phép dời hình
-Tính chất: Phép dời hình:
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng
Biến 1 đt thành đt, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó, biến 1 góc thành 1 góc bằng nó
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
7 Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia
8 Phép vị tự:VO k; ( )M M' OM 'kOM k 0
-Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó
Trang 8-Khi k = 1 thì phép vị tự là đồng nhất
-Khi k = -1 thì phép vị tự là phép đối xứng tâm
- ' O k, ,1 '
O k
-Tính chất:
a) Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành M’, N’ thì " '
' "
M N k MN
M N k MN
b) Phép vị tự tỉ số k:
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng
Biến 1 đt thành đt song song hoặc trùng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
Biến 1 tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến 1 góc thành 1 góc bằng nó
Biến đường tròn bk R thành đường tròn có bán kính |k|.R
-Tâm vị tự của hai đường tròn: Với hai đường tròn bất kì luôn có 1 phép vị tự biến đường tròn này
thành đường tròn kia Tâm của phép vị tự nói trên được gọi là tâm vị tự của 2 đường tròn
*Cách tìm tâm vị tự của 2 đ ư ờng tròn :( I, R ) và ( I’, R’) có 3 Th xảy ra:
I trùng I’: Khi đó phép vị tự tâm I tỉ số R'
R và phép vị tự tâm I tỉ số
-'
R
R biến đường tròn ( I; R)
thành đường tròn (I; R’)
I khác I’ và R R’ : Lấy M trên (I; R), qua I’ kẻ đt song song với IM cắt (I’; R’) tại M’ và M”
Đường thẳng MM’ cắt II’ tại O đường thẳng MM” cắt II’ tại O Khi đó phép vị tự tâm O và tâm 1 O 1
biến (I; R) thành (I’; R’)
I khác I’ và R=R’: Gọi O là trung điểm của II’ Khi đó phép vị tự tâm 1 O tỉ số k=-1 biến (I; R) 1
thành (I’; R’)
9.Phép đồng dạng:Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với 2 điểm M, N bất
kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=k.MN
-Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1
-Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|
-Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được 1 phép đồng dạng
-Tính chất: phép đồng dạng tỉ số k:
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng
Biến 1 đt thành đt, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
Biến 1 tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến 1 góc thành 1 góc bằng nó
Biến đường tròn bk R thành đường tròn có bán kính kR
-Hình đồng dạng :Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có 1 phép đồng dạng biến hình này thành hình
kia
Bài tập:
Bài 1 Cho M(2; 3) và ảnh của M qua phép tịnh tiến T u
là M'(3; 5) Tìm tọa độ của véc tơ u là:
Bài 2 Trong mặt phẳng 0xy cho đường tròn (C1) có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
Viết phương trình ảnh của đường tròn (C1) qua phép đối xứng trục Ox
Bài 3 Cho A(3; -2) và B( 1; 1) Phép đối xứng tâm ĐA biến điểm B thành B' Tìm tọa độ điểm B'
Bài 4.Cho tam giác đều ABC tâm O.Với giá trị nào của thì phép Q(O; ) biến ABC thành chính nó?
Bài 5 Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm M(1; 5) và đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 Toạ độ của điểm N
đối xứng với M qua d
Bài 6 Cho hình vuông ABCD, có I là giao điểm của hai đường chéo Tìm ảnh tam giác ABC qua phép
quay Q( I; -90o)
Bài 7 Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 3y -1 = 0 Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
1 Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung
2 Nếu d’ nằm trong mặt phẳng () và d song song d’ thì d // () hoặc d chứa trong ()
Trang 93 Cho d song song với () Nếu () chứa d và cắt () theo giao tuyến d’ thì giao tuyến của chúng (nếu
có) cũng song song với d
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG:
1 Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung
2 Nếu () chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với () thì () song
song với ()
3 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau
4 Cho hai mặt phẳng song song với nhau Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt
phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau
5 Định lý Ta – lét:
- Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn tương ứng tỉ lệ
- Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a’ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A’,B’,C’ sao cho:
Bài tập:
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD C’ là điểm nằm trên SC
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
b) Tìm giao điểm của SD với mp(ABC’)
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ABC’)
Bài 2 Cho tứ diện SABC, gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các đoạn thẳng SA, SC, AB, AC.
Biết MN không song song với AC
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với các mặt phẳng (SPQ) và (ABC)
b) Tìm giao tuyến của hai mp (MNP) và (ABC)
c) Tìm giao tuyến của hai mp (SPQ) và (BMN)
Bài 3 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD (AB không ssong CD) và một điểm M thuộc miền trong của
SCD
a) Tìm giao tuyến của mp (SBM) và (SAC);
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mp(SAC)
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ABM)
Bài 4 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC, N thuộc cạnh BC.
a) Tìm giao điểm của AM với mp (SBD) và giao điểm của SD với mp(AMN)
b) Tìm giao tuyến của hai mp (AMN) và (SCD)
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (AMN)
Bài 5 Cho hình chóp SABCD (AB không ssong CD), ACBD=O và M là một điểm thay đổi trên cạnh
SD (ABM) SC = N
a) CM: Khi M di động trên SD thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định;
b) Gọi I = AN BM CMR: S, I, O thẳng hàng
c) Gọi J = AM BN CMR khi M di động trên SD thì J thay đổi trên một đường thẳng cố định
Bài 6 Cho 2 hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trên một mp.
a) Xđ giao tuyến của các cặp mp sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF);
b) Lấy M trên đoạn DF Tìm giao điểm của đthẳng AM với mp(BCE);
c) CMR: 2 đường thẳng AC và BF là 2 đường thẳng không cắt nhau
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
AB, AD, SC
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD);
b) Tìm giao điểm của CD với mp(MNP);
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNP)
Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K, H lần lượt là trung điểm của
BC, CD, M là điểm tuỳ ý trên SA
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD);
b) Tìm giao điểm của MK với mp(SBD)
c) Tìm giao tuyến của hai mp (SBD) và (MKH)
d) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MKH)
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD) Gọi B’, D’ lần lượt là trung
điểm của SB và SD
Trang 10a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) và (SCD);
b) Xác định giao điểm C’ của SC với mp(AB’D’);
c) Xác định thiết diện của hình chĩp cắt bởi mặt phẳng (AB’D’);
d) Gọi M là giao điểm của BC và B’C’, N là giao điểm của D’C’ và CD Chứng minh: A, M, N thẳng hàng
Bài 10 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ AB và CD khơng song song Gọi M là một điểm thuộc miền trong
tam giác SCD
a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mp(SBM)
b) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
c) Xác định giao điểm P của đường thẳng BM và mp(SAC)
d) Xác định giao điểm I của đường thẳng SC và mp(ABM), từ đĩ suy ra giao tuyến của hai mp (SCD) và (ABM)
Bài 11 Cho hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, CD
a) Chứng minh: MN // (SBC); MN // (SAD)
b) Gọi P là trung điểm của SA Chứng minh: SB // (MNP); SC // (MNP)
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H, K lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB
a) Chứng minh HK // CD
b) Gọi M SC ( M không trùng với S và C) Tìm giao tuyến của (HKM) và (SCD)
