Tìm xác suất để có a Hai mặt cùng sấp xuất hiện b Một mặt sấp, một mặt ngửa c Có ít nhất 1 mặt sấp Câu 2: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất.. Hãy xác định giao tuyến của mặt
Trang 1Phần i: đại số
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC PHẦN 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A TểM TẮT Lí THUYẾT
Bài 1: Tỡm tập xỏc định hàm số sau
2
sin 2 1/ cot(2 ) 2 /
1
3 / sin 4 / 1 cos
1
x
x
x
+
−
Bài 2: Vẽ đồ thị của cỏc hàm số sau:
a)y= +1 sinx b)y=cosx−1 c) tan( )
3
y= x−π
Bài 3: Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của cỏc
hàm số sau
1/y= +2 3cosx 2 /y=3 1 sin+ x−1
3/y= +2 cos x−sin x 4 /y= −3 2 | sin |x
Bài 4: Xỏc định tớnh chẵn lẻ của hàm số
a) y x= −sinx c) y = cos2x + tanx
PHẦN 2: PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC
I) PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A TểM TẮT LÍ THUYẾT:
1 Phương trỡnh sinx=a (1)
a) a > 1: (1) VN
b) a ≤ 1:
*) Nếu a biểu diễn được qua sin của gúc đặc biệt :
Giả sử a=sinα
2
2
α α
α
= + Π
*) Nếu a khụng biểu diễn được qua sin của gúc đặc
biệt:
Thỡ đặt a = sinα với:
2 2
Π
<
<
Π
Ta viết:α = arcsina
arcsin 2
arcsin 2
Cỏc trường hợp đăc biệt
*) a=0 (1)⇔ = Πx k /k Z∈
*) a= -1
2 2
3
2 2
k Z
Π
= − + Π
Π
2
*)(1) : sinx=sinβ0
360
,
180 360
k Z
β β
Tổng quỏt:
(1) sin ( ) sin ( )
( ) ( ) 2
( ) ( ) 2
k Z
2 Phương trỡnh cosx=a: (1)
a) a > 1: (1) VN b) a ≤ 1:
*) Nếu a biểu diễn được qua cos của gúc đặc biệt :
Giả sử a = cosα :
/ 2 cos
cos ) 1 ( ⇔ x= α ⇔x= ± α +k Π k∈Z
*) Nếu a khụng biểu diễn được qua cos của gúc đặc biệt:
Thỡ đặt a = cosα với: 0 <α < Π,Ta viết:
a
arccos
=
α (1)⇔cosx=cosα ⇔ = ±x arccosa k+ Π2 ,k Z∈
Cỏc trường hợp đăc biệt
2
*) a=-1: (1)⇔ = Π + Π ∈x k2 ,k Z
*) a=1: (1)⇔ = Π ∈x k2 ,k Z
*) cosx=cosβ ⇔ = ±x β +k360 ,k Z∈
Tổng quỏt: (1)⇔cos ( ) cos ( )f x = g x
⇔ f x( )= ±g x( )+ Πk2 ,k Z∈
3 Phương trỡnh tanx=a: (1) ĐK:
, 2
x≠ Π+ Π ∈k k Z
*) Nếu a biểu diễn được qua tan của gúc đặc biệt:
Thỡ a = tanα : (1)⇔tanx=tanα ⇔ = + Πx α k ,k Z∈
*) Nếu a khụng biểu diễn được qua tan của gúc đặc biệt:
Thỡ đặt a = tanα với
2 2
Π
<
<
Π
Ta viết: α =arctana
Π+
Π≠
Π+
=
⇔
=
⇔
1
2
arctan tan
tan
)1(
k x
k a
x
x α k k, 1∈Z
Cỏc trường hợp đăc biệt *) a = 0: (1)⇔ = Πx k ,k Z∈
Trang 2*) a = -1: (1) ,
4
4
⇔ = + Π ∈
*) (1) : tanx=tanβ0 ⇔ =x β0+k180 ,0 k Z∈
Tổng quát:
2
(1) tan ( ) tan ( )
( ) ( )
2 ( ) 2
Π
4 Phương trình cotx=a: (1) ĐK:x k≠ Π ∈,k Z
*) Nếu a biểu diễn được qua cotan của góc đặc biệt:
Thì a = cotα :
(1)⇔cotx=cotα ⇔ = + Πx α k ,k Z∈
*) Nếu a không biểu diễn được qua cotan của góc
đặc biệt:
Thì đặt a=cotα với 0 <α < Π Ta viết:α =arc cot a
1
cot
x k
Các trường hợp đăc biệt
2
4
4
⇔ = + Π ∈
*) (1) : cotx=cotβ0 ⇔ =x β0+k180 ,0 k Z∈
Tổng quát: (1)⇔cot ( ) cot ( )f x = g x
1 1 2
2
( ) ( )
( )
II) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THƯỜNG GẶP
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
1 Phương Trình bậc nhất đối với một hàm số
lượng giác.
Dạng: at+b=0 với:
{sin ( ); cos ( ); tan ( ); cot ( )}
0
,
PP giải: Tìm t đưa về phương trình cơ bản giải tìm x
2 Phương Trình bậc hai đối với một hàm số lượng
giác
Dạng: at 2 +bt+c =0 với: , ,a b c R a∈ , ≠0
{sin ( );cos ( ); tan ( );cot ( )}
PP giải: Tìm t đưa về phương trình cơ bản giải tìm x
3 Phương trình bậc nhất đối với sinf(x) và cosf(x) Dạng: asinf(x)+bcosf(x) =c (1)
PP giải:
*) Khi a=0 hoặc b=0 bài toán trở thành dạng (1) giải được
*) Khi a2 +b2 ≠ 0: Chia 2 vế (1) cho 2 2
b
a + ta đưa
về dạng:
sin
b a
c x
f
+
=
cos
b a
c x
f
+
=
Đặc biệt: Khi c=0: (1)
a
b x
⇔ tan ( ) với: a 0
≠ hoặc (1)
b
a x
⇔ cot ( ) với: b≠ 0
Lưu ý: Phương trình: asinf(x)+bcosf(x)=c có nghiệm
khi và chỉ khi: a2 +b2 ≥c2
4) Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx
Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 Nếu vế phải bằng
d thì thay: d = d(sin2x+cos2x)
a,b,c R∈ và a,b,c không đồng thời bằng 0
PP giải:
*) Kiểm tra trực tiếp cosx=0 *) Chia hai vế cho cos2x đặt t=tanx (*) ta được:
at2+bt+c=0 giải được t Thay vào (*) giải được x
B CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
1)
2
3 )
20 2 sin( x+ 0 = − 2)cos 2x− sin(x− 120 0 ) = 0 3)
2
1 4
2
3
4)
3
1 tan 6
1 2 cot x+ =
5)tan(2x−10 )0 + 3 0= với x∈(0 ;180 )0 0 6)cos( 5) 3
2
x− = với x∈ −Π Π( ; ) 7)(3 tanx+ 3)(2 sinx− 1) = 0 8)
2
2 2cos+ x+sin x=0 9) sin2x−2cosx=0 10) 3 cos2 x− 3 sin2 x+sin 2x= 2 11)
2 2sin x+ 3 sin2x 3= 12)cos 2x+s inx=1
13) sinx− 3 cosx= 2 14) sinx−2cosx=3
15) 2sin2x+sinxcosx−3cos2x=0 16) cos 2x+cos 4x=cos 6x+cos8x
17) 4sin2x + 3 3sin2x−2cos2x = 4
Câu 7: Giải một số phương trình lượng giác khác:
1) tan( ) cot 1
4
x+π + x=
Trang 33) x
x
x
3 tan tan
1
tan
−
+
4)( )2 2
sinx+cosx +2 3 osc x= +1 2cosx
cos sin sin cos
2
6) 2 sin 2x+ 3 cos 2x= 13 sin 14x
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
PHẦN 1: TỔ HỢP
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
1 Quy tắc cộng: Giả sử 1 công việc có thể tiến hành
theo 1 trong k phương án A1,A2, ,A k
• Phương án A1 có thể thực hiện theo n1 cách
• Phương án A2 có thể thực hiện theo n2 cách
• ………
• Phương án A k có thể thực hiện theo n k cách
Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 + n2
+ +nk cách
2 Quy tắc nhân: Nếu 1 công việc phải trải qua k giai
đoạn, trong đó:
• Giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện
• Giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện
• ………
• Giai đoạn k có n k cách thực hiện
Suy ra có n1.n2 n k cách thực hiện công việc
ấy
3 Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt
(n ³ 0) Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của X
được gọi là một hoán vị của n phần tử
Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn
n
P = n !=1.2 n Quy ước: 0! = 1
4 Chỉnh Hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân
biệt (n ³ 1) Mỗi cách chọn ra k (0£ k £ n) phần
tử của X và sắp xếp theo một thứ tự nào đó được gọi
là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký
hiệu là k
n
A
k
A n(n 1) (n k 1)
(n k)!
-
Chú ý: Quy ước: 0! 1= ; n
n
n A
4 Tổ hợp: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt
(n ³ 0) Mỗi cách chọn ra k (0£ k £ n) phần tử
của X được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
Số các tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu
là k
n
C
k
n
n ! C
k !(n k)!
=
-
• Các tính chất của tổ hợp: +/
( k n)
C
n
k
n = − 0≤ ≤ +/C C C k ( k n)
n
k n
k
n + − 1 = +1 0≤ ≤ +/ k n
n
k
n C P
B CÁC DẠNG BÀI TẬP
I QUY TẮC ĐẾM:
Câu 1: Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6
loại nước ngọt Thực khách cần chọn 1 loại thức uống Hỏi có mấy cách chọn?(13)
Câu 2: Cho tập hợp A={1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} a) Có boa nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số Trong các
số trên có bao nhiêu số mà ba chữ số đều khác nhau? b) Có bao nhiêu tập hợp A gồm 4 phần tử? Trong số tập hợp đó có bao nhiêu tập hợp có chứ số 9?
Câu 3: Một công ty có 5 cổng ra vào Một người
khách đi đến công ty, hỏi:
a) Có bao nhiêu cách ra vào công ty đó b) Có bao nhiêu cách ra vào công ty đó biết người
đó phải vào 1 cổng và ra bằng một cổng khác
Câu 4: Cho tập hợp A gồm 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Hỏi có thể lập từ A bao nhiêu:
a) số tự nhiên có 4 chữ số bất kì (2058) b) số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau (720) c) số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau (420) d) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5 (420)
e) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau bắt đầu bằng
số 1 (120) f) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có tận cùng không là chữ số 5 (620)
g) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau nhỏ hơn 4000 (180)
II HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Câu 1: Có 6 bì thư khác nhau và 5 tem thư khác nhau
Người ta chọn và dán 3 tem lên 3 bì thư, mỗi bì thư dán một tem Hỏi có bao nhiêu cách làm như thế? (1200)
Trang 4Câu 2: Với các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập bao
nhiêu số tự nhiên thỏa mãn:
a) gồm 6 chữ số ( 6
6 ) b) gồm 6 chữ số khác nhau (6!)
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 (3.5!)
Câu 3: Một đa giác lồi n cạnh thì có bao nhiêu đường
chéo? ( ( 3)
2
n n−
)
Câu 4: Trong hộp có 7 viên bi xanh, 5 bi đỏ, 3 bi
vàng Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi:
a) có đúng 2 viên bi xanh
b) số bi xanh bằng số bi đỏ
c) mỗi loại bi có ít nhất một viên (có đủ ba màu)
Câu 5: Rút gọn biểu thức
a) A= 5! . ( 1)!
( 1) ( 1)!3!
m
+
b) B= ( 3)! 2 ( 2)!1
n
+
−
Câu 6: Giải phương trình sau:
2
2 3 8
P x −P x= ( x =-1;x = 4)
Câu 7: Tìm n sao cho: 3 2
1 2(A n +3 )A n =P n+ (n = 4)
III NHỊ THỨC NIUTƠN
Câu 1: Khai triển các nhị thức sau:
a)(2x+3)6 b) (2x y− )7 c)
6
2 1
x x
−
Câu 2: Cho nhị thức
10 4
1
x x
+
a) Tìm số hạnh thứ 6 của khai triển
b) Tìm số hạng không chứa x của khai triển
c) Tìm hệ số của số hạng chứa x6
Câu 3: Cho nhị thức: (x−2 y)7
a) Tìm hệ số của số hạng có chứa x5y2
b) Khai triển nhị thức trên
Câu 4: Tính các tổng sau:
a) 0 1 2 n
S =C +C +C + +C
b) 0 2 1 22 2 2k k 2n n
Câu 5: Chứng minh rằng :
C +C + +C =C +C + +C −
Câu 6: Tìm là số nguyên dương n để hệ số của 2
x
trong khai triển biểu thức f x( )= −(1 2x)nbằng 180
PHẦN 2: XÁC SUẤT
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1 Biến cố
• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử
• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra
A A ⊂ Ω
• Biến cố không: ∅
• Biến cố chắc chắn: Ω
• Biến cố đối của A: A=Ω\A
• Hợp hai biến cố: A ∪ B
• Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B)
• Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅
• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia
2 Xác suất
• Xác suất của biến cố: P(A) = n n A( )( )Ω
• 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0
• Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ thì:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
• P(A ) = 1 – P(A)
• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì:
P(A.B)=P(A).P(B)
B CÁC DẠNG BÀI TẬP Câu 1: Gieo đồng thời 2 đồng xu Tìm xác suất để có
a) Hai mặt cùng sấp xuất hiện b) Một mặt sấp, một mặt ngửa c) Có ít nhất 1 mặt sấp
Câu 2: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất
Tính xác suất của biến cố:
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa
Câu 3: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai
lần Tính xác suất của biến cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8
b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ
c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn
d) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau
e) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm
Câu 4: Trong một cái hộp đựng 7 viên bi trắng và 5
viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên một lúc 4 viên bi a) Tính xác suất để lấy được 4 viên bi cùng màu b) Tính xác suất để lấy được 3 viên bi trắng và 1 viên
bi xanh
c) Tính xác suất để lấy được 4 viên bi khác màu suất để lấy được hai viên khác màu
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
I PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUI NẠP
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
Để c/m mệnh đề A(n) đúng∀n∈N * ta thực hiện:
B1: C/m A(n) đúng khi n=1.
Trang 5B3: Cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1.
B BÀI TẬP:
1 Chứng minh rằng:
a) + + + + =
b) (1 – )(1 – )…(1 – ) =
c) 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n2(n + 1) n ∈ N
2.Chứng minh rằng:
a) n3 + 11n chia hết cho 6 ∀ n b) 2n+2 > 2n + 5
c) 42n +2 – 1 chia hết cho 15 ∀ n d) 2n – n >
II DÃY SỐ:
Câu 1: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
a) un = b) un =
Câu 2: Cho dãy số un =
a) Xác định 5 số hạng đầu tiên
b) Số là số hạng thứ mấy của dãy số
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= un
+ 7 ∀ n ≥ 1
a) Tính u2, u4 và u6
b) Chứng minh rằng: un = 7n – 6 ∀n ≥ 1
Câu 4: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) un = n2 – 5 b) un = (– 1)n.n c) un = n + cos2n
Câu 5: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) un = b) un = c) un =
Câu 9: Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = 0
và un +1 = un + 4
a)Chứng minh rằng un < 8 ∀ n
b)Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn
III CẤP SỐ CỘNG
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
ĐN: Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (un ) là CSC ⇔u n =u n-1 +
d, ∀n ≥ 2.
+ d không đổi gọi là công sai.
+ Kí hiệu CSC: ÷u 1 , u 2 , u 3 , …, u n , …
ĐL1: (un ) là CSC ⇔
2
1
− +
k
u u
ĐL 2: Cho cấp số nhân (un ) Ta có: u n =u 1 +(n-1)d.
ĐL 3: Cho CSC (un ), gọi S n =u 1 +u 2 +…+u n Ta có :
2
)
(u1 u n
n
+
= , ∀n ≥ 1.
2
) 1 (
2u1 n d n
, ∀n ≥ 1
B BÀI TẬP:
Câu 1: Cho cấp số cộng thoả mãn a10 = 15 ; a5 = 5
.Tính a7
Câu 2: Cho cấp số cộng thoả mãn
= +
=
−
+
8 a a
10 a a a
6 2
4 7 3
Tính a5; S9
Câu 3: Cho cấp số cộng thoả mãn
=
=
−
75 a.
a
8 a a
7 2
3 7
Tính a10
; S100
Câu 4: Tìm cấp số cộng biết
a)
= +
=
−
+
26 a a
10 a a a
6 4
3 5 2
b)
= +
=
+ 1170 a
a
60 a a
2 12
2 4
15 7
Câu 5: Một cấp số cộng có số hạng thứ nhất là 5, số
hạng cuối là 45 và tổng tất cả các số hạng là 400 Hỏi cấp số
IV CẤP SỐ NHÂN:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
1 Định nghĩa: (sgk)
(u n ) là CSN ⇔ u n = u n − 1 q ∀ ≥ n 2
Số q được gọi là công bội của CSN
2 Tính chất:
Đlí 1: (sgk) 2
u k = − + u k u k
3 Số hạng tổng quát:
Đlí 2: (sgk) 1 n 1
n
u =u q − với p≠0
4 Tổng n số hạng đầu tiên của CSN
Đlí 3: (sgk) 1(1 )
1
n
n
S
q
−
=
− với q
B BÀI TẬP:
Câu 1.Cho cấp số nhân có u2=– 8;u5 = 64 Tính u4;S5
Câu 2.Cho cấp số nhân thoả:
a)
= +
=
+
180 a a
60 a a
3 5
2 4
tìm a6 ; S4
b)
= + +
=
−
91 a a a
728 a a
5 3 1
1 7
tìm a4 ; S5
c)
= +
=
+
20 a a
1460 a
a
3 1
1 7
tìm a2 ; S5
PhÇn ii: h×nh häc
Trang 6CHƯƠNG I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỜNG DẠNG
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT:
I PHÉP TỊNH TIẾN
1) Đinh Nghĩa: Cho vr, T vr là phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điển M’ sao cho: MMuuuuur' =vr
2) Tính Chất: (sgk)
+ Nếu T vr(M) = M’, T vr(N) = N’ Thì M’N’ = MN
và M Nuuuuur uuuur' ' =MN
3) Biểu thức toạ độ:
' '
= +
= +
II PHÉP ĐỚI XỨNG TRỤC:
1) Định nghĩa: Phép đối xứng trục d kí hiệu: Đd là
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao
cho d là trục đối xứng của MM’
2) Tính Chất: (SGK)
+ Nếu Đd(M) = M’, và Đd(N) =N’ Thì M’N’ = MN
3) Biểu thức toạ độ:
+ Trục đới xứng Ox:
' '
= −
=
+ Trục đới xứng Oy:
' '
=
= −
III PHÉP ĐỚI XÚNG TÂM
1) Định nghĩa: Phép biến hình biến điểm I thành
chính nó, biến mỡi điểm M khác I thành M’ sao cho I
là trung điểm của đoaạn thẳng MM’ đgl phép đới xứng
tâm
2) Tính chất:
3) Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm qua O
Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M(x; y) qua phép đới xứng
tâm O Ta có: '
'
= −
= −
4) Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm với tâm
là I(a;b)
M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép đới xứng tâm
I Ta có:
'
'
2 2
4) Hình cĩ tâm đối xứng (sgk)
IV PHÉP QUAY:
1) Định nghĩa: (sgk)
Kí hiệu phép quay tâm O, góc quay ϕ là Q (O, ϕ )
2) Tính chất (sgk)
V PHÉP VỊ TỰ:
1) Đn phép vị tự: (sgk)
2) Tính chất phép vị tự (sgk) 3) Biểu thức toạ độ của phép vị tự qua O
Gọi M’(x’; y’) là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự tâm O tỷ sớ k Ta có: '
'
x kx
y ky
=
=
4) Biểu thức toạ độ của phép vị tự với tâm là I(a;b)
Gọi M’(x’; y’)là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự tâm I tỷ sớ k, ta có:
' '
(1 ) (1 )
= + −
B CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Câu 1: Cho điểm M(1; -2) và vectơ vr=(2;3) Tìm tọa đợ điểm A sao cho:
a)A T M= vr( ) b) M T A= vr( )
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-3; 2),
B(1; -2), C(2; 5) Gọi A1 là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ BCuuur Gọi A2 là ảnh của A1 qua phép đối xứng tâm O Tìm tọa độ A2
Câu 3: Trong mặt phẳngOxycho đường thẳng d có
phương trình : 2 x y − − = 3 0và đường trịn
C x− + y− =
a) Viết phương trình đường trịn d 'là ảnh của d qua
phép tịnh tiến theo vr
b) Viết phương trình đường trịn ( ) C ' là ảnh của ( )C
qua phép tịnh tiến theo vr
Câu 4: Trong mp Oxy cho đường thẳng d cắt trục Ox
tại A(-2; 0), cắt trục Oy tại B(0; 3) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến vec tơ
vr(-4;1)
Câu 5: Cho điểm M(2;1) đường thẳng
d: 2x y+ − =1 0và đường tròn (C):
x +y − x+ y− = Tìm?
a) Ảnh M’ của M qua phép đới xứng trục Ox, Oy b) Ảnh d’ của d qua phép đới xứng trục Ox, Oy
c) Ảnh (C’) của (C) qua phép đới xứng trục Ox, Oy
Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1) Phép
dời hình cĩ được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục Ox và phép tịnh tiến theo vectơ (2;3)vr
biến M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N
Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2)
và đường thẳng d cĩ phương trình: 2x+ y – 1 = 0
và đường trong (C) có phương trình là:
( ) (2 )2
a) Tìm ảnh của A và d và (C) qua phép đối xứng tâm O
O
M'
M
ϕ
Trang 7Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
A B − C −
a) Tìm ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O.
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
c) Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O.
Câu 9: Cho hình lục giác đều ABCDEF Tìm trục và
tâm đối xứng của hình
Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
A(2,-2) và đường thẳng d có phương trình:
2x + y – 1 = 0 và (C): x2+y2−2x+4y− =4 0
a) Tìm ảnh của A và d và (C) qua phép quay tâm O
góc quay 90 0
b) Tìm ảnh của A và d và (C) qua phép quay tâm O góc
quay -90 0
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2) Phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
vị tự tâm O, tỉ số vị tự k = -2 và phép đối xứng tâm O
sẽ biến M thành các điểm N Tìm tọa độ của N
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng
tâm tam giác Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị
tự : a) Tâm G, tỉ số 1
2 b) Tâm G, tỉ số 2
c) Tâm A, tỉ số - 2
Câu 14: Cho tam giác ABC Dựng ảnh của nó có được
bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm A tỉ số 2
và phép đối xứng tâm B
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN - QUAN
HỆ SONG SONG
CHỦ ĐỀ 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT
PHẲNG α VÀ β :
A Phương pháp giải:
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng α và β ta đi
tìm hai điểm chung I ; J của α và β
α∩β = I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :
Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm
chung
M ∈ d và d ⊂α M ∈α
β
⊂
α
⊂
=
∩
b
;
a
M
b
a trong (P)
M là điểm chung
B Bài tập:
Câu 1: a)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của
AB Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD)
với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD); (BCD); (ACD)
b)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn
SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J;
K Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt
phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)
Câu 2: Cho tứ diện ABCD; trên AB; AC lần lượt lấy
hai điểm M và N sao cho:
NC
AN MB
AM ≠ Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD)
Câu 3: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang hai đáy là AD; BC Gọi M; N là trung điểm AB;
CD và G là trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến của
a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC
CHỦ ĐỀ 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG
HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
A Phương pháp giải:
1) Chứng minh A; B; C thẳng hàng :
Chỉ ra A ; B ; C ∈α
Chỉ ra A ; B ; C ∈β
Kết luận : A; B; C∈α∩β ⇒ A; B; C thẳng hàng
2) Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
Đặt a ∩ b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P
B Bài tập:
Câu 1: Trong không gian cho ba tia Ox; Oy; Oz không
đồng phẳng Trên Ox lấy A; A’; trên Oy lấy B; B’ trên
Oz lấy C; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D; BC cắt B’C’ tại E; AC cắt A’C’ tại F Chứng minh D; E; F thẳng hàng
Câu 2: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang hai đáy là AD; BC Gọi M; N là trung điểm AB;
CD và G là trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm của AB và CD là I; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b Chứng minh S; I; J thẳng hàng ?
Câu 3: Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α không song song AB cắt AC; BC; AD; BD lần lượt tại M; N; R; S Chứng minh AB; MN; RS đồng quy ?
CHỦ ĐỀ 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG
A Phương pháp giải:
α
β
• •
M N
•
•
a
α
β
• B • •
Trang 81) Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :
Giả sử : a không chéo b
Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong
cùng mặt phẳng α ( đồng phẳng )
Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc
mâu thuẫn với một điều đúng nào đó
2) Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt
phẳng – đồng phẳng
Chứng minh hai đường
thẳng tạo thành từ bốn
điểm đó cắt nhau hoặc
song song với nhau
B Bài tập:
Câu 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
a) Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng
hàng
b) Chứng minh AB chéo với CD ?
Câu 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a
lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, D
a) Chứng minh AC chéo BD ?
b) Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD
Đường thẳng MN có song song AB hoặc CD không ?
c) O là trung điểm MN Chứng minh A, O, C, N đồng
phẳng
CHỦ ĐỀ 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG
THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α
A Phương pháp giải:
Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ α = ?
Phương pháp 1:
Tìm a ⊂α
Chỉ ra được a, d nằm trong cùng mặt phẳng và
chúng cắt nhau tại M
Vậy d ∩α = M
Phương pháp 2:
Tìm β chứa d thích hợp
Giải bài toán tìm giao tuyến a của α và β
Trong β : a ∩ d = M
Vây d ∩α = M
B Bài tập:
Câu 1: A; B; C; D là bốn điểm không đồng phẳng M;
N lần lượt là trung điểm của AC; BC Trên đoạn BD
lấy P sao cho BP = 2PD Tìm giao điểm của :
Câu 2: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành
ABCD M là trung điểm SD a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh :
BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trên BC Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?
CHỦ ĐỀ 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG
α VỚI KHỐI ĐA DIỆN A.Phương pháp giải:
Lần lượt xét giao tuyến của (α) với các
mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng (α )
Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm.
Việc chứng minh tiết diện có hình dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; trong mặt phẳng α cũng nhờ vào quá trình
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :
i) Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến
ii) Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ? d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?
B Bài tập:
Câu 1: Cho hình chóp SABCD Gọi I ; M ; N là ba
điểm trên SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình
bình hành Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA; AB; BC Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F; K
CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
*) Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
A Phương pháp giải:
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P)
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q)
B Bài tập:
Câu 1: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung
điểm M; trên BC lấy điểm N bất kì Gọi (α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD a) Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với (α )
b
a
α
•
A
α
B
C • D •
•
•
A
α
B C
D
•
•
α
d
a M
•
a
Trang 9b) Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là
hình bình hành ?
Câu 2: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình
thang có đáy lớn là AD Gọi M là điểm bất kì trên
cạnh AB (α ) là mặt phẳng qua M và song song AD
và SD
a) Mặt phẳng (α ) cắt S.ABCD theo tiết diện là hình? b)Chứng minh SA // (α).
