CHUYÊN đề BIỂU DIỄN số PHỨC và các bài TOÁN MAX MIN

Phương pháp giải.Dựa vào biểu diễn hình học của số phức Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số... Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễ

CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC BÀI 1: SỐ PHỨC DẠNG TOÁN: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

I – LÝ THUYẾT

1.Biểu diễn hình học số phức:

Khái niệm: Điểm M a b ;

biểu diễn cho

số phức  z a bi

Chú ý: Để tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó ta gọi M x y( ; )

biểu diễn số phức z rồi dựa vào điều kiện đã cho để tìm một hệ thức liên hệ giữa ; x y mà kết

luận tập hợp điểm Nếu

a) ax by c   0 thì tập hợp điểm là đường thẳng

b) (x a )2 (y b)2r thì tập hợp điểm là đường tròn tâm 2 I a b( ; )bán kính r

II – DẠNG TOÁN

1 Dạng 1:Điểm biểu diễn một số phức.

Phương pháp giải.(Dựa vào biểu diễn hình học của số phức)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M

trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số

z được biểu diễn

bởi điểm N gần với một trong bốn điểm P

, Q, R , S như hình vẽ bên Hỏi điểm N

gần với điểm nào nhất?

z a bi a b a b có phần thực dương bé hơn 1, phần ảo âm lớn hơn

1 nên ta chọn điểm Q là điểm cần tìm.

2 Dạng 2:Tập hợp điểm biểu diễn là một đường thẳng.

Ví dụ 1: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z    1 i z 2i

là đường nào sauđây ?

A Đường thẳng B Đường tròn C Elip D Parabol

A Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x2y 3 0.

B Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x2y 3 0.

C Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x4y 3 0.

D Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x4y 3 0.

và bán kính bằng 4)

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2

Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

x yi i z

Mấy caí này mình làm nhưng chưa ưng ý

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2;w (1 3 )i z2

.Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là

A Hình tròn tâm I( 1;3) , bán kính  4r . B Đường tròn tâm I( 1;3) , bán kính  4r .

C Hình tròn tâm I( 1; 3)  , bán kính  4r . D Đường tròn tâm I(1;3), bán kính  4r

Lời giải Chọn A

Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức zlà hình tròn tâm I( 1;3) , bán

Số phức z thỏa mãn điều nào thì có điểm biểu diễn thuộc phần

gạch chéo như trên hình

Từ hình biểu diễn ta thấy tập hợp các điểm M a b ,

biểu diễn số phức z trong phần gạch chéo

đều thuộc đường tròn tâm O 0,0 và bán kính bằng 2 ngoài ra 1 � �a 1

Vậy M a b ,

là điểm biểu diễn của các số phức z a bi  có mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 2 và

có phần thực thuộc đoạn [-1;1] Ta có đáp án là A.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng phứcOxy, số phức z thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn số phức thuộc

phần tô màu như hình vẽ

-Ta thấy phần tô màu là nửa dưới trục hoành của hình vành khăn được tạo bởi hai đường tròn đồng tâm O 0,0

và bán kính lần lượt là 1 và 2Vậy đây chính là tập hợp các điểm M x y ,

biểu diễn cho số phức z x yi  trong mặt phẳng phức với 1 | | 2� �z và có phần ảo âm.

5 Dạng 5: Tập hợp điểm biểu diễn là một đường Elip.

Giải theo tự luận

Cách 1: Giả sử z x yi x y, ( , �R) có điểm biểu diễn là

( ; )

M x y Giả sử F1(4;0), (0; 4)F2  , khi đó tập hợp các điểm

M thỏa mãn là MF1MF2  là đường elip 10 ( )E có các tiêu

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn (z2) 1i  (z2) 1 6i 

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất vànhỏ nhất của z Tính tổng SM m.

A

5 5 22

B S 5 1 C S  6 D

3 5 22

Lời giải Chọn A.

Giải theo tự luận

Cách 1:

Đặt (z2) 1i  (z2) 1 6i  � z     2 i z 2 i 6 � z i     2 z 2 i 6

(*) (chúý: A  A

nên z        2 i z ( 2 i) z 2 i

)Đặt a z i, ta được a   2 a 2 6, gọi A điểm biểu diễn cho số phức a và hai điểm

(Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 3: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để số phức z có

phần thực không âm Tính diện tích hình (H).

Giải theo tự luận

Giả sử z a bi a b  ,( , �R , khi đó z a bi)   , giả thiết của bài toán là

+ Bán trục lớn của ( )E là ' 3a  , bán trục bé của ( )E là ' 1b  nên diện tích cần tính của miền( )H là

' ' 3

S  a b   Vậy đáp án là A Lỗi

Giải theo pp trắc nghiệm: Đang nghiên cứu

(Giải theo Casio nếu có).

6 Dạng 6: Tập hợp điểm biểu diễn là một tập hợp khác.

Ví dụ 1: Cho số phức z a bi a  ,( �0,b�0; ,a b�R) Đặt f x( )ax2  Biếtbx 2

0; 00; 0

d�d I .

+ Miền nghiệm của (I) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ nằm trong tứ giác OAID kể cả các

điểm thuộc trên các cạnh của đa giác

+ Ta có: OA2;OI 2 5;OD3 Từ đó suy ra max z 2 5 Dấu bằng diễn ra khi và chỉkhi z  4 2i

Ví dụ 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa

Giải theo tự luận

Giả sử z x yi x y  , ( , �� , khi đó ta có ) z x yi từ đó ta được

Ví dụ 4: Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 2, z2  3 và nếu gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn

Giải theo tự luận

Cách 1: Chọn z1 , suy ra 2 M(2;0), (tọa độ của điểm iz có thể xem là giao điểm của đường2

thẳng

13

Theo bài gọi điểm biểu diễn cho số phức 2iz là A khi đó N là trung điểm của đoạn OA

Ta có: z12iz MA , theo định lý cô sin cho tam giác OMA ta có:

Nhận xét: Một bài toán quá hay (sao lại liên quan đến định lý cô sin và tích vô hướng????).

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z    2 i z 4 7i 6 2 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức P  z 1 i Giá trị của tổng S M m  là

A

2 29 3 22

B S  13 73. C S 5 2 73. D

73 5 2

.2

Lời giải

Chọn A.

Cách 1: Dùng hình học

+ Đặt z a bi a b  , ( , �R), khi đó điểm biểu diễn cho số phức

z là M a b( ; ) Gọi ( 2;1); (4; 7)A  B lần lượt là điểm biểu diễn

cho các số phức z1   và 2 i z2   , khi đó giả thiết là4 7i

6 2

MA MB  mà AB6 2 nên từ đây suy ra M�AB

(đoạn)

+ Phương trình đường thẳng AB x y:    từ đó đoạn AB3 0

có phương trình như trên tuy nhiên x�2; 4.

+ Gọi C(1; 1) khi đó ta có: P MC , với M thuộc đoạn A B.

+ Đặt z a bi a b  , ( , �R), khi đó điểm biểu diễn cho số phức

z là M a b( ; ) Gọi A( 2;1); (4;7) B lần lượt là điểm biểu diễn

cho các số phức z1   và 2 i z2   , khi đó giả thiết là4 7i

ta được kết quả như trên

Cách 3: Dùng bất đẳng thức mincopxki, như sau:

7 Dạng 7: Max- Min trong số phức:

Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện (z1)(z2 )i là số thực Tính giá trị nhỏ nhất của mô –

đun của số phức z

A

5min

5

z 

2 5min

5

z 

C

3 5min

5

z 

D

4 5min

z i A

Giải theo tự luận

Cách 1: Từ giả thiết suy ra

, thế vào (*) ta được: z 1 từ đó ta thấy đáp án đúng là. A.

Nhận xét: Rõ ràng với cách biến đổi 1 học sinh phải có trình độ từ khá trở lên mới có thể biến

đổi và “khó” phát hiện ra đường hướng”

+ Cách giải 2: rõ ràng “một học sinh trung bình cũng có thể tiến hành

Ví dụ 3: Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z z1 1 9 z z2 2 và nếu gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn của

Giải theo tự luận

+ Từ z z1 1 9 z z2 2suy ra z1 3 z2 3 (t t 0) và điểm biểu diễn cho số phức z , 1 z và điểm2

O thẳng hàng (các véc tơ còn cùng hướng) Trong đó điểm ' N đối xứng của điểm N qua trục

Ox là điểm biểu diễn cho số phức z Thế vào hệ thức trên ta được 2 1 2

33

( ; ); ( ; )

OMuuuur x y ONuuur a b từ đó ta có: bx ay 12 hay ab 2 (1).

Ta có

2 2 2

z i z

Giải theo tự luận

Vận dụng tính chất ta có a thuần ảo thì a a  , từ giả thiết suy ra:0

ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT

Câu 1. Số phức z  có điểm biểu diễn là:2 3i

Câu 7. Số Phứcz= +x yi x y R, ,( � ) thỏa mãn điều kiện nào thì có tập hợp các điểm biểu diễn là phần

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn z   2 z 2 8 Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm M

biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

Câu 10. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đường Elip như hình vẽ Số

phức z thỏa mãn điều kiện nào?

A z- 3i + + =z 3i 10. B z- 3+ + =z 3 10.

C z- 4+ + =z 4 10

D z- 4i + +z 4i =10

Câu 11. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện:

2 z i   z z 2i là hình gì?

A Một đường thẳng B Một đường Parabol

C Một đường Elip D Một đường tròn

Câu 12. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đường Parabol như hình

vẽ Số phức z thỏa mãn điều kiện nào?

Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn z �2

Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z i P

z

+

=

bằng:

A

1

34

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KIỂM TRA

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn z   2 z 2 8 Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm M

biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

Câu 10. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đường Elip như hình vẽ Số

phức z thỏa mãn điều kiện nào?

Theo hình vẽ thì a = 5, b = 4 suy ra (E) có tiêu cự F1( 3;0), F (3;0) 2 nên đáp án là B

Câu 11. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện:

2 z i   z z 2i là hình gì?

A Một đường thẳng B Một đường Parabol

C Một đường Elip D Một đường tròn

Bài giải:

Chọn B

 2  2 22

Câu 12. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đường Parabol như hình vẽ

Số phức z thỏa mãn điều kiện nào?

IV – BÀI TẬP LUYỆN TẬP

NHẬN BIẾT, THÔNG HIỂU VÀ VẬN DỤNG THẤP

Câu 1. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  và 2 5i Blà điểm biểu diễn của số phứcz   2 5i

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung

C Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O

D Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng yx.

Câu 2. Cho số phức z 1 2 i Tìm tọa độ biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 3i z  1 9i Số phức wiz5 có điểm biểu diễn là

điểm nào trong các điểm , , , A B C D ở hình bên?

A Điểm D B Điểm C C Điểm B D Điểm A

Câu 7. Điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z.Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A Phần thực là 3 và phần ảo là 2 B Phần thực là 3 và phần ảo là 2.

C Phần thực là 3 và phần ảo là 2i D Phần thực là 3 và phần ảo là 2i

Câu 8. Cho số phức z2i Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở

hình bên

A Điểm M B Điểm N C Điểm P D Điểm Q

Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn 1 3 i z   2i 4 Điểm nào sau đây biểu diễn cho z trong các điểm

, , ,

M N P Q ở hình bên?

A Điểm M B Điểm N C Điểm P D Điểm Q

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn iz   Khoảng cách từ điểm biểu diễn của 2 i 0 ztrên mặt phẳng

tọa độ Oxy đến điểm M(3; 4) là:

Câu 12. Gọi A B, theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z z Khi đó độ dài của véctơ 1, 2 uuurAB

Câu 13. Cho A là điểm biểu diễn của các số phức: z 1 2 ;i M M1, 2 lần lượt là điểm biểu diễn của các

số phức z và 1 z Điều kiện cần để 2 AM M1 2 cân tại A là:

A z1  z2 . B z1 1 2i  z2 1 2i .

C z1z2  1 2i . D z1 1 2i  z1 z2 .

Câu 14. Kí hiệu z là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình 0 z22z 5 0.

Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phứcwz i0.3?

z  i i , z2   , 1 3i z2    Tam giác ABC là1 3i

A Một tam giác vuông (không cân)

B Một tam giác cân (không đều, không vuông)

C Một tam giác vuông cân

D Một tam giác đều

Câu 17. Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa

mãn điều kiện z2i  z 1.

A Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x2y 3 0.

B Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x2y 3 0.

C Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x4y 3 0.

D Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x4y 3 0.

Câu 18. Các điểm biểu diễn các số phức z= +3 bi b R,( � )

trong mặt phẳng tọa độ, nằm trên đườngthẳng có phương trình là:

A y= b B y= 3 C x=b D x=3

Câu 19. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho z2 | |z 2 là:

A Gốc tọa độ B Trục hoành C Trục tung và trục hoành D Trục tung

Câu 20. Cho số phức z thỏa z  1 i 2 Chọn phát biểu đúng:

A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.

B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol.

C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2

D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 4

Câu 21. Số Phứcz= +x yi x y R, ,( � )

thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn là phần gạch chéocủa hình vẽ ?

A

2

1 01

z y x

z y x

z y x

z y x

A Đường tròn B Một điểm C Đường thẳng D Dường Elip

Câu 24. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho z1  z i

là số thực

A Đường thẳng x y  1 0. B đường tròn x2y2   x y 0

C Đường tròn x2y2   x y 0 D Đường thẳng    x y 1 0.

Câu 25. Gọi M N P, , lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 , 2 3 ,1 2i  i  i Số phức z biểu diễn

bởi điểm Q sao cho MNuuuur3PQuuur r0 là :

Câu 26. Số phức z thỏa mãn 1 i z  là một số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là :

A Là các điểm trên trục hoành với 1   x 1 B Các điểm trên trục tung với   1 y 1.

C Các điểm trên trục hoành với

11

x x

y y

Câu 30. Cho số phức z thỏa mãn  2

1 z là số thực Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là

A Đường tròn B Parabol C Hai đường thẳng D Đường thẳng

Câu 32. Cho các số phức z thỏa mãn z   4 z 4 10 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của z Giá trị của S M m  là

A S  8 B S 14 C S 12 D S  10

Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn z   3i z 3i 10 Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số

phức z thỏa mãn điều kiện trên và có môđun lớn nhất và nhỏ nhất Gọi M a b( ; ) là trung điểm

của đoạn AB và là điểm biểu diễn cho số phức w Khi đó S  a b bằng.

A

72

S 

92

S C S 5 D S 4..

Câu 34. Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 2, z2  2 và nếu gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn

cho các số phức z iz thì �1, 2 MON 450 Tính P z124z22 .

A P 5. B P4 5. C P 5 D P 4.

Câu 35. Trong mặt phẳng phức gọi A B C, , là điểm biểu diễn số phức i,1 3 , i a5i với a �� Biết

tam giác ABC vuông tại B Tìm tọa độ của C ?

A C3;5. B C 3;5 . C C 2;5 . D C2;5.

Câu 36. Cho các số phức a b c, , thỏa mãn a b c   và 0 a   b c 1 Gọi A B C, , lần lượt là điểm

biểu diễn cho các số phức a b, và c Tính diện tích S của tam giác ABC

A

32

S 

34

S 

3 34

S 

3 32

A

9 34

S 

9 32

S 

3 34

S 

3 32

S 

24

S

3 22

S 

Câu 39. Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức 1

4,1

i z

i



  z2  1 i 1 2 , i 3

2 63

i z

i





 .Khi đó, mệnh đề nào dưới đây là đúng

A A B C, , thẳng hàng B ABC là tam giác tù.

C ABC là tam giác đều. D ABC là tam giác vuông cân.

Câu 40. Cho số phức z thỏa mãn z     1 2i z 2 i 3 2 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và,

nhỏ nhất của biểu thức P  z 3 i Giá trị của tổng S M m  là

A

2 29 3 22

D

3 5 2 32

z z

Câu 46. Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z z1 1 4 z z2 2 và nếu gọi M, N là điểm biểu diễn z z trong1; 2

mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác MON có diện tích là 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của z1z2

Câu 47. Trong các số phức z thỏa mãn z   z 2 4i

, mô dun nhỏ nhất của z là bao nhiêu ?

Câu 32. Cho các số phức z thỏa mãn z   4 z 4 10 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất của z Giá trị của S M m  là

A S  8 B S 14 C S 12 D S  10

Giải: Do z nằm trên (E) có a và 5 b nên 3 M 5,m3�M m 8 , chọn A