BÀI TOÁN MAX MIN PHỨC

Độ dài của = + véctơ OM được gọi là môđun của số phức z... Ta có  Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành

Trang 1

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC.

 Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của = +

véctơ OM được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu uuuur 2 2

( ) ( )

(A a b B c d , , , ) ( ) (2 )2 2

Trang 2

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi− − = z , tìm zMin Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x;y( ) biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với

( )

A a;b



2 2 0

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi− − = − −z c di Tìm zmin Ta có

 Quỹ tích điểm M x;y( ) biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến

đổi để đưa về dạng cơ bản

Trang 3

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi− − = >R 0 z z( − 0 =R) Tìm zMax, zMin

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a, a c− + + = ( > ) Khi

Trang 4

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z− 1 + −z z2 =2a, z( 1−z2 <2a)và z ,z1 2≠ ± ±c, ci ).Tìm Max, Min của P= −z z0

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT.

Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số.

Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp

Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.

Xem hướng dẫn trên lớp.

Dạng 3: Tả phí lù.

Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh

Trang 5

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Chọn C.

(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh

modun, và nên thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)

Trang 6

Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip

( ) ( )

2 2

3;0 , 0,38

Cho số phức z thỏa mãn z c z c− + + =2 ,a a c ta luôn có ( > )

 Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip 22+ 2 2 2 =1

−

y x

Trang 7

của z+ +1 i là

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1: Gọi z x yi ta có = + z− − = + − − = − + −2 3i x yi 2 3i x 2 (y 3)i

Theo giả thiết ( ) (2 )2

x y nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm

trên đường tròn tâm I( )2;3 bán kính R=1

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM = 13 1+

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z− −2 3i =1 Giá trị lớn nhất của w = + +z 1 i

Ta có z− −2 3i = ⇔ − +1 z 2 3i = ⇔1 (z+ + − +1 i) 3 2i = ⇔1 w 3 2− + i =1 (Đường tròntâm I(3, 2 ,− ) R=1 )

Vậy wMax =OI R+ = 32+22+ = +1 1 13

Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi− − = >R 0, khi đó ta có quỹ tích các

điểm biểu diễn số phức z là đường tròn I a b( ), ,bk R= ) và

Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi− − = − +z a bi

2

−

=+

z i A

iz Mệnh đề

nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Trang 8

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Chọn A.

Cách 1: Đặt Có a a bi a b= + , ,( ∈¡ ) ⇒ + ≤a b2 2 1 (do z ≤1)

( )

2 2

( )

2 2

12

Theo bài z = ⇔ + −1 z 5 5i i = ⇔ +1 z 5i Max = 52+ =1 6

của biểu thức M = z2+ + +z 1 z3+1

A Mmax =5; Mmin =1 B Mmax =5; Mmin=2

C Mmax =4; Mmin=1 D Mmax =4; Mmin=2

Trang 9

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là1

2, xảy ra khi z= −2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng

Trang 10

Xét hàm số f x( ) = 2 1( +x) +3 2 1( −x x); ∈ −  1;1  Hàm số liên tục trên 1;1−   vàvới x∈ −( 1;1) ta có: ( ) (1 ) (3 ) 0 4 ( 1;1 )

y t Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D

Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)

trị nhỏ nhất của biểu thức P= + +z 1 z2− +z 1. Tính giá trị của M m. .

Trang 11

Vậy, z nhỏ nhất là 5 1, − khi z= − +i i 5 và z lớn nhất là 5 1, + khi z i i= + 5.

Trang 12

Trong đó w z= +2i (quay về dạng bài toán 1)

Trang 13

Trang 14

z i x y IM , với I( )2;2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên

đường tròn Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường

thẳng nối hai điểm N( )0;1 ∈Oy I, 2;2( ) với đường tròn (C)

z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A( )1,3

A.3+i B.1 3+ i C 2 3− i D 2 3− + i

Hướng dẫn giải

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức ( ), z x yi x y R= + ( , ∈ )

Gọi E(1, 2− ) là điểm biểu diễn số phức 1 2− i

Gọi F(0, 1− ) là điểm biểu diễn số phức −i

Ta có : z+ − = + ⇔2 1i z i ME MF= ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là

Trang 15

Trang 16

6sint+4cost ≤ 6 +4 sin t+cos t

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)

Trang 17

Vậy maxz OA OA= = ' 5= và minz OB OB= = ' 3= Chọn D.

Dấu " "= xảy ra ⇔ = ⇒ =x 2 y 2 Vậy P=22+22=8 Chọn B.

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)

3 2

− − + =

−

i z

z i A

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

(THPT CHUYÊN HÀ NAM)

Trang 18

Vậy môđun của A= x2+y2≤1 Chọn A.

Câu 30: Với hai số phức z và 1 z thỏa mãn 2 z1+ = +z2 8 6i và z1−z2 =2 Tìm giá trị lớnnhất của P= z1 + z 2

Trang 19

Trang 20

Cách 2 Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z

Cách 3 Đặt z a bi a b= + ( , ∈¡ ) và c z , thay vào đẳng thức đã cho thì =

1010

của nó có điểm biểu diễn là M M Số phức (4 3 ), ′ z + i và số phức liên hợp của nó có điểm

biểu diễn lần lượt là ,N N Biết rằng ′ M M N N là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá, ′, , ′

Trang 21

kiện z− =1 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 22

2018 2

Câu 39: Cho các số phức z1= − +2 ,i z2= +2 i và số phức z thay đổi thỏa mãn z z− 12+ −z z22=16.Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2−m bằng2

Lời giải Chọn D.

Gọi M là điểm biểu diễn của z

Gọi A(−2;1), B( )2;1 Gọi I( )0;1 là trung điểm AB.

Trang 23

Ta lại có : IM IO OM IM IO − ≤ ≤ + ⇔ ≤1 OM≤3

Do đó : zmax= ⇔3 M ≡M2

1 min = ⇔1 ≡

Câu 41: Gọi số phức z x yi x y= + ; , ∈¡ thỏa điều kiện z−22+ +z 22=26 và z− +(2 5i lớn nhất.)

Tính T x y = −

A T = − +2 5 B T= +2 5 C T= − −2 5 D T = −2 5

Lời giải Chọn A.

Trang 24

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( )C tâm là gốc tọa độ O, bán kính3

2 + 5 =9 nên điểm N( )2; 5 thuộc đường tròn ( )C

Gọi M x y là điểm thuộc ( ); ( )C , khi đó ( ) ( )3 ( )2

Ta có: z1−z2 = OMuuuuur uuuuur1−OM2 = uuuuuuurM M2 1 = ⇒ ∆1 OM M đều1 2

Mà z1+z2 = OMuuuuur uuuuur1+OM2 = OMuuuur =OM với M là điểm thỏa

Trang 25

giá trị nhỏ nhất của z+ +2 i Tính giá trị của tổng S M= 2+m 2

Lời giải Chọn C.

Gọi , ,A B M là điểm biểu diễn số phức z z z, khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác OAB 1, ,2

vuông cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát

Cho tam giác ABC, đặt AB c= , AC b= , BC a= , khi đó ta có

Trang 26

Áp dụng bài toán trên ta có P≥36 2, chọn B.

Ta có thể chứng minh bài toán ( )∗ trên bằng ngôn ngữ số phức.

Gọi tọa độ các điểm , , ,A B C M trên mặt phẳng phức là , , , u v w x khi đó a v w , = − b w u ,= −

Trang 27

Gọi điểm biểu diễn của z là M Khi đó M nằm trên đường tròn tâm I(0; 1 ,− ) R=1. Gọi tọa

Trang 28

Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức z1 và z khi đó từ 2 ( )* suy ra ,A B

nằm trên đường tròn ( )C có tâm I( )4;3 , bán kính R=1 và AB là đường kính của đường tròn

⇒ =P z + z =OA OB+ ≤ = Dấu bằng xảy ra khi OA OB=

Câu 47: Giả sử z z1, 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz+ 2− =i 1 và z1−z2 =2. Giá trị lớn nhất của z1 + z2 bằng

Lời giải Chọn A.

Ta có iz+ 2− =i 1⇔ i z i− 2 1 1− = ⇔ z i− 2 1 1− =

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I( )1; 2 , R=1

Trang 29

Gọi M, N là điểm biểu diễn z ,1 z nên 2 MN =2 là đường kính Dựng hình bình hành OMNP

ta có z1+z2 =OP=2 3

1 + 2 ≤2 1 + 2

z z z z = z1−z22+ z1+z22=16⇒ z1 + z2 ≤4 Dấu bằng xảy ra khi z1 = z2 ⇔ MN OI⊥

Câu 48: Cho hai số phức z, ω thỏa mãn z− = + −1 z 3 2i ;ω = + +z m i với m∈¡ là tham số Giá trị của

Đặt z a ib a b= + , ,( ∈¡ ) có biểu diễn hình học là điểm M x y ( );

37

Gọi z x yi x y= + ( ; ∈¡ ) ( ),M x y là điểm biểu diễn số phức z ;

Trang 30

Đặt A(−2;1 ,) ( ) ( )B 2;3 ,E 0;2 là trung điểm của AB Khi đó P= + − + − −z 2 i2 z 2 3i2

( ) (2 ) (2 ) (2 )2

= +x + −y + −x + −y =MA2+MB2

2 2

Câu 50: (CHuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 108)Cho các số phức z1= − +2 ,i z2 = +2 i và số phức z

thay đổi thỏa mãn z z− 12+ −z z2 2 =16 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

Ta có z z− 12+ −z z2 2 =16 ⇔ x2+ y2+2x− =3 0 Khi đó tập hợp các điểmM x y( , ) biểu

diễn số phức z là đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0)− và bán kính R=2

Ta có | |z min⇔OMmin, | |z max⇔OMmax

Trang 31

Ta có OA OM≤ ≤OB nên | |z min=OA,| |z max=OB

Khi đó M2−m2 = − =9 1 8

Cách 2:

Gọi số phức z= +x yi với x y, ∈¡ .

diễn số phức z là đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0)− và bán kính R=2 ⇒ + =z 1 2

Ta có: z ≥ + − =z 1 1 1⇒ zmin =1 , z ≤ + + − =z 1 1 3⇒ zmax =3

Cách 3:

Gọi số phức z= +x yi với x y, ∈¡ .

diễn số phức z là đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0)− và bán kính R=2

Ta có OMmin = OI R− , OMmax =OI R+ ⇔ zmin =1, zmax =3

=

Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− − + − −1 i |z 3 2 |i = 5 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của z+2i Giá trị biểu thức M2+m2 bằng

Trang 32

- GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu A B,

- Một sai lầm thường gặp là đánh giá zmin =d O AB( ; ) nhưng do góc OAB là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM ⊥AB

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= +z 22− −z i Khi đó modun của số phức2

z i x y Suy ra, tập hợp điểm M x y biểu diễn cho ( );

số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn( )C tâm I( )3;4 và bán kính R= 5

Trang 33

Bài toán trở thành tìm điểm M∈∆:8x+6y+25 0= sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất.+

Vì (8x E+8y E+25 8) ( x F+8y F+25) >0 nên hai điểm ,E F nằm cùng phía đối với đường

thẳng ∆

Gọi E là điểm đối xứng với E qua ′ ∆

Đường thẳngEE đi qua điểm ′ E(1; 1− ) và có VTPT nrEE′=ur∆ =(3; 4− ) nên có phương trình

Ta có ME + MF = ME + MF′ ≥E F ′

Dấu bằng xảy ra ⇔M là giao điểm của E F và đường thẳng ′ ∆

Trang 34

Đường thẳng E F đi qua điểm ′ F(2; 3− ) và có VTPT nrEE′=(31;167) có phương trình

Giả sử ,A B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho z z , ta có 1, 2 z1−z2 = 2⇔AB= 2

Giả sử w= +a bi a b R và ( , ∈ ) M là điểm biểu diễn cho số phức

w , ta có w 3 2− − i =2⇔ −(a 3)2+ −(b 2)2=4suy ra tập hợp

điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I( )3;2 bán

kính R=2

Ta có P MA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên= +

trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra

62

Trang 35

Ta có iz+ 2− =i 1⇔ i z i− 2 1 1− = ⇔ z i− 2 1 1− = .

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I( )1; 2 , R=1

Gọi M, N là điểm biểu diễn z ,1 z nên 2 MN =2 là đường kính Dựng hình bình hành OMNP

ta có z1+z2 =OP=2 3

1 + 2 ≤2 1 + 2

z z z z = z1−z22+ z1+z22=16⇒ z1 + z2 ≤4 Dấu bằng xảy ra khi z1 = z2 ⇔ MN OI⊥

Câu 58: Xét các số phức z a bi= + (a b, ∈¡ ) thỏa mãn z+ −2 3i =2 2 Tính P=2a b+ khi

+ + + − −

z i z i đạt giá trị lớn nhất.

A P=1 B P= −3 C P=3 D P=7

Trang 36

Lời giải Chọn B

Gọi z x yi với = + (x y, ∈¡ ).

z i x y Suy ra, tập hợp điểm M x y biểu diễn cho ( );

số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn ( )C tâm I(−2;3) và bán kính R= 8

Gọi A(− −1; 6), B( )7;2 và J(3; 2− )là trung điểm của AB.

MA MB MJ với J là trung điểm của AB.

Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên MJ≤ +IJ R

Vậy đểP thì Max M(−4;5) Suy ra 2a b+ = −3

Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong các số phức z thoả mãn z− +(2 4i) =2, gọi z và 1 z là số phức có2

mô-đun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của hai số phức z và 1 z bằng.2

Lời giải Chọn D

Gọi z x yi x y= + , ,( ∈¡ ) và M x y là điểm biểu diễn số phức z ( );

Theo giả thiết z− +(2 4i) =2⇔ + − +x yi (2 4i) =2 ( ) (2 )2

⇔ x− + −y = Suy ra ( ) ( ) (2 )2

Trang 37

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z− +(2 4i) =2 là đường tròn ( )C có

B Do OA OB> nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và

điểm B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất.

Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi= + ( ,a b∈¡ và b>0) thỏa mãn z =1 Tính P=2a+4b khi 2 z3− +z 2 đạt giá trị lớn nhất

A P=4 B P= −2 2 C P=2 D P= +2 2

Bảng biến thiên:

Trang 38

z z = (cos3x i+ sin3x) (− cosx i+ sinx)+2

(cos3 cos 2) (sin3 sin )

21;13

Trang 39

Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min

Câu 61: Cho z , 1 z là hai số phức thỏa mãn 22 z i− = +2 iz , biết z1−z2 =1 Tính giá trị của biểu thức

Đặt z x yi x y R , ta có = + ( , ∈ ) z− =1 2⇔ − +x 1 yi = 2⇔ (x−1)2+y2 = 2

⇔ x− +y = ⇔x +y = x+ (*)

Trang 40

Đặt z a ib a b= + , ,( ∈¡ ) có biểu diễn hình học là điểm M x y ( );

Trang 41

37

25 86

Trang 42

Câu 67: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z− −2 4i = −z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

A z= − +1 i B z= − +2 2i C z= +2 2i D 3 2+ i

Trang 43

( )min

−

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z 1; 2

Từ giả thiết : z1+z2 =5⇔ OM ONuuuur uuur+ = 5 5

Câu 70: Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1+z2 =5 và z1−z2 =1 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= z1 + z2 Khi đó mô đun của số phức

Ta gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z 1; 2

Từ giả thiết : z1+z2 =6⇔ OM ONuuuur uuur+ = 6 ⇔OIuur = 3với I là trung điểm của đoạn thẳng MN

Trang 44

2

i z+ = 2 ( )2 5

32

Trang 45

Vậy P=2MAuuur + MBuuur =( 2 2.MA MB+ ) ( 2 2) ( 2 2)

M n lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= + −z z z1+ −z z Tính modun của số2

K x y A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z z , ,1 2

Ta tìm Max – Min của T OK OA OB= + +

Ta có , ,A B O thuộc đường tròn ( ) C và ∆ABO đều ⇒T Min=2OA=2

Gọi K thuộc cung »OB Ta có KA OB OA BK ABOK = + ⇔KA KB OK= +

Gọi A(−1;3 , 1; 1 ,) (B − ) ( )C 0;1 ⇒C là trung điểm AB

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	5,75 MB