BÀI TOÁN MAX MIN PHỨC

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC. Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm Ma; b trên mặt phẳng Oxy.. Ta có  Quỹ tích điểm M x;y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạ

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC.

 Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của = +

véctơ OM được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu uuuur 2 2

( ) ( )

(A a b B c d , , , ) ( ) (2 )2 2

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi− − = z , tìm zMin Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x;y( ) biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với

( )

A a;b



2 2 0

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi− − = − −z c di Tìm zmin Ta có

 Quỹ tích điểm M x;y( ) biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến

đổi để đưa về dạng cơ bản

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi− − = >R 0 z z( − 0 =R) Tìm zMax, zMin

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a, a c− + + = ( > ) Khi

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT.

Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số.

Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp

Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.

Xem hướng dẫn trên lớp.

Dạng 3: Tả phí lù.

Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Chọn C.

(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh

modun, và nên thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)

Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip

( ) ( )

2 2

3;0 , 0,38

Cho số phức z thỏa mãn z c z c− + + =2 ,a a c ta luôn có ( > )

 Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip 22+ 2 2 2 =1

−

y x

Cách 1: Gọi z x yi ta có = + z− − = + − − = − + −2 3i x yi 2 3i x 2 (y 3)i

Theo giả thiết ( ) (2 )2

x y nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm

trên đường tròn tâm I( )2;3 bán kính R=1

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM = 13 1+

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z− −2 3i =1 Giá trị lớn nhất của w = + +z 1 i

Ta có z− −2 3i = ⇔ − +1 z 2 3i = ⇔1 (z+ + − +1 i) 3 2i = ⇔1 w 3 2− + i =1 (Đường tròntâm I(3, 2 ,− ) R=1 )

Vậy wMax =OI R+ = 32+22+ = +1 1 13

Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi− − = >R 0, khi đó ta có quỹ tích các

điểm biểu diễn số phức z là đường tròn I a b( ), ,bk R= ) và

Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi− − = − +z a bi

2

−

=+

z i A

iz Mệnh đề

nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC Chọn A.

Cách 1: Đặt Có a a bi a b= + , ,( ∈¡ ) ⇒ + ≤a b2 2 1 (do z ≤1)

( )

2 2

( )

2 2

2 2

12

Theo bài z = ⇔ + −1 z 5 5i i = ⇔ +1 z 5i Max = 52+ =1 6

của biểu thức M = z2+ + +z 1 z3+1

A Mmax =5; Mmin =1 B Mmax =5; Mmin=2

C Mmax =4; Mmin=1 D Mmax =4; Mmin=2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là1

2, xảy ra khi z= −2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC

Xét hàm số f x( ) = 2 1( +x) +3 2 1( −x x); ∈ −  1;1  Hàm số liên tục trên 1;1−   vàvới x∈ −( 1;1) ta có: ( ) (1 ) (3 ) 0 4 ( 1;1 )

y t Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D

Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)

trị nhỏ nhất của biểu thức P= + +z 1 z2− +z 1. Tính giá trị của M m. .

Trong đó w z= +2i (quay về dạng bài toán 1)

z i x y IM , với I( )2;2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên

đường tròn Khoảng cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường

thẳng nối hai điểm N( )0;1 ∈Oy I, 2;2( ) với đường tròn (C)

z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A( )1,3

A.3+i B.1 3+ i C 2 3− i D 2 3− + i

Hướng dẫn giải

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức ( ), z x yi x y R= + ( , ∈ )

Gọi E(1, 2− ) là điểm biểu diễn số phức 1 2− i

Gọi F(0, 1− ) là điểm biểu diễn số phức −i

Ta có : z+ − = + ⇔2 1i z i ME MF= ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là

6sint+4cost ≤ 6 +4 sin t+cos t

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)

Vậy maxz OA OA= = ' 5= và minz OB OB= = ' 3= Chọn D.

Dấu " "= xảy ra ⇔ = ⇒ =x 2 y 2 Vậy P=22+22=8 Chọn B.

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)

3 2

− − + =

−

i z

z i A

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

(THPT CHUYÊN HÀ NAM)

Vậy môđun của A= x2+y2≤1 Chọn A.

Câu 30: Với hai số phức z và 1 z thỏa mãn 2 z1+ = +z2 8 6i và z1−z2 =2 Tìm giá trị lớnnhất của P= z1 + z 2

Cách 2 Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z

Cách 3 Đặt z a bi a b= + ( , ∈¡ ) và c z , thay vào đẳng thức đã cho thì =

1010

của nó có điểm biểu diễn là M M Số phức (4 3 ), ′ z + i và số phức liên hợp của nó có điểm

biểu diễn lần lượt là ,N N Biết rằng ′ M M N N là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá, ′, , ′

kiện z− =1 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2018 2

Câu 39: Cho các số phức z1= − +2 ,i z2= +2 i và số phức z thay đổi thỏa mãn z z− 12+ −z z22=16.Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2−m bằng2

Lời giải Chọn D.

Gọi M là điểm biểu diễn của z

Gọi A(−2;1), B( )2;1 Gọi I( )0;1 là trung điểm AB.

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC

Ta lại có : IM IO OM IM IO − ≤ ≤ + ⇔ ≤1 OM≤3

Do đó : zmax= ⇔3 M ≡M2

1 min = ⇔1 ≡

Câu 41: Gọi số phức z x yi x y= + ; , ∈¡ thỏa điều kiện z−22+ +z 22=26 và z− +(2 5i lớn nhất.)

Tính T x y = −

A T = − +2 5 B T= +2 5 C T= − −2 5 D T = −2 5

Lời giải Chọn A.

2 + 5 =9 nên điểm N( )2; 5 thuộc đường tròn ( )C

Gọi M x y là điểm thuộc ( ); ( )C , khi đó ( ) ( )3 ( )2

Ta có: z1−z2 = OMuuuuur uuuuur1−OM2 = uuuuuuurM M2 1 = ⇒ ∆1 OM M đều1 2

Mà z1+z2 = OMuuuuur uuuuur1+OM2 = OMuuuur =OM với M là điểm thỏa

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC

giá trị nhỏ nhất của z+ +2 i Tính giá trị của tổng S M= 2+m 2

Lời giải Chọn C.

Gọi , ,A B M là điểm biểu diễn số phức z z z, khi đó từ giả thiết ta suy ra tam giác OAB 1, ,2

vuông cân tại O và bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát

Cho tam giác ABC, đặt AB c= , AC b= , BC a= , khi đó ta có

Áp dụng bài toán trên ta có P≥36 2, chọn B.

Ta có thể chứng minh bài toán ( )∗ trên bằng ngôn ngữ số phức.

Gọi tọa độ các điểm , , ,A B C M trên mặt phẳng phức là , , , u v w x khi đó a v w , = − b w u ,= −

Gọi A , B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức z1 và z khi đó từ 2 ( )* suy ra ,A B

nằm trên đường tròn ( )C có tâm I( )4;3 , bán kính R=1 và AB là đường kính của đường tròn

⇒ =P z + z =OA OB+ ≤ = Dấu bằng xảy ra khi OA OB=

Câu 47: Giả sử z z1, 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz+ 2− =i 1 và z1−z2 =2. Giá trị lớn nhất của z1 + z2 bằng

Lời giải Chọn A.

Ta có iz+ 2− =i 1⇔ i z i− 2 1 1− = ⇔ z i− 2 1 1− =

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I( )1; 2 , R=1

Câu 48: Cho hai số phức z, ω thỏa mãn z− = + −1 z 3 2i ;ω = + +z m i với m∈¡ là tham số Giá trị của

Đặt z a ib a b= + , ,( ∈¡ ) có biểu diễn hình học là điểm M x y ( );

37

Gọi z x yi x y= + ( ; ∈¡ ) ( ),M x y là điểm biểu diễn số phức z ;

Câu 50: (CHuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 108)Cho các số phức z1= − +2 ,i z2 = +2 i và số phức z

thay đổi thỏa mãn z z− 12+ −z z2 2 =16 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

Ta có z z− 12+ −z z2 2 =16 ⇔ x2+ y2+2x− =3 0 Khi đó tập hợp các điểmM x y( , ) biểu

diễn số phức z là đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0)− và bán kính R=2

Ta có | |z min⇔OMmin, | |z max⇔OMmax

Ta có z z− 12+ −z z2 2 =16 ⇔ x2+ y2+2x− =3 0 Khi đó tập hợp các điểmM x y( , ) biểu

diễn số phức z là đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0)− và bán kính R=2 ⇒ + =z 1 2

Ta có: z ≥ + − =z 1 1 1⇒ zmin =1 , z ≤ + + − =z 1 1 3⇒ zmax =3

Cách 3:

Gọi số phức z= +x yi với x y, ∈¡ .

Ta có z z− 12+ −z z2 2 =16 ⇔ x2+ y2+2x− =3 0 Khi đó tập hợp các điểmM x y( , ) biểu

diễn số phức z là đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0)− và bán kính R=2

Ta có OMmin = OI R− , OMmax =OI R+ ⇔ zmin =1, zmax =3

=

Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z− − + − −1 i |z 3 2 |i = 5 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của z+2i Giá trị biểu thức M2+m2 bằng

- GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu A B,

- Một sai lầm thường gặp là đánh giá zmin =d O AB( ; ) nhưng do góc OAB là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM ⊥AB

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= +z 22− −z i Khi đó modun của số phức2

z i x y Suy ra, tập hợp điểm M x y biểu diễn cho ( );

số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn( )C tâm I( )3;4 và bán kính R= 5

Bài toán trở thành tìm điểm M∈∆:8x+6y+25 0= sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất.+

Vì (8x E+8y E+25 8) ( x F+8y F+25) >0 nên hai điểm ,E F nằm cùng phía đối với đường

thẳng ∆

Gọi E là điểm đối xứng với E qua ′ ∆

Đường thẳngEE đi qua điểm ′ E(1; 1− ) và có VTPT nrEE′=ur∆ =(3; 4− ) nên có phương trình

Ta có ME + MF = ME + MF′ ≥E F ′

Dấu bằng xảy ra ⇔M là giao điểm của E F và đường thẳng ′ ∆

Giả sử ,A B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho z z , ta có 1, 2 z1−z2 = 2⇔AB= 2.

Giả sử w= +a bi a b R và ( , ∈ ) M là điểm biểu diễn cho số phức

w , ta có w 3 2− − i =2⇔ −(a 3)2+ −(b 2)2=4suy ra tập hợp

điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I( )3;2 bán

kính R=2

Ta có P MA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên= +

trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra

62

Ta có iz+ 2− =i 1⇔ i z i− 2 1 1− = ⇔ z i− 2 1 1− = .

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I( )1; 2 , R=1

Gọi M, N là điểm biểu diễn z ,1 z nên 2 MN =2 là đường kính Dựng hình bình hành OMNP

ta có z1+z2 =OP=2 3

1 + 2 ≤2 1 + 2

z z z z = z1−z22+ z1+z22=16⇒ z1 + z2 ≤4 Dấu bằng xảy ra khi z1 = z2 ⇔ MN OI⊥

Câu 58: Xét các số phức z a bi= + (a b, ∈¡ ) thỏa mãn z+ −2 3i =2 2 Tính P=2a b+ khi

+ + + − −

z i z i đạt giá trị lớn nhất.

A P=1 B P= −3 C P=3 D P=7

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC

Lời giải Chọn B

Gọi z x yi với = + (x y, ∈¡ ).

z i x y Suy ra, tập hợp điểm M x y biểu diễn cho ( );

số phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn ( )C tâm I(−2;3) và bán kính R= 8

Gọi A(− −1; 6), B( )7;2 và J(3; 2− )là trung điểm của AB.

MA MB MJ với J là trung điểm của AB.

Vì M chạy trên đường tròn ,  J cố định nên MJ≤ +IJ R

Vậy đểP thì Max M(−4;5) Suy ra 2a b+ = −3

Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong các số phức z thoả mãn z− +(2 4i) =2, gọi z và 1 z là số phức có2

mô-đun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của hai số phức z và 1 z bằng.2

Lời giải Chọn D

Gọi z x yi x y= + , ,( ∈¡ ) và M x y là điểm biểu diễn số phức z ( );

Theo giả thiết z− +(2 4i) =2⇔ + − +x yi (2 4i) =2 ( ) (2 )2

⇔ x− + −y = Suy ra ( ) ( ) (2 )2

B Do OA OB> nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và

điểm B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất.

Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi= + ( ,a b∈¡ và b>0) thỏa mãn z =1 Tính P=2a+4b khi 2 z3− +z 2 đạt giá trị lớn nhất

A P=4 B P= −2 2 C P=2 D P= +2 2

Lời giải Chọn C.

Bảng biến thiên:

z z = (cos3x i+ sin3x) (− cosx i+ sinx)+2

(cos3 cos 2) (sin3 sin )

21;13

Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min

Câu 61: Cho z , 1 z là hai số phức thỏa mãn 22 z i− = +2 iz , biết z1−z2 =1 Tính giá trị của biểu thức

Đặt z x yi x y R , ta có = + ( , ∈ ) z− =1 2⇔ − +x 1 yi = 2⇔ (x−1)2+y2 = 2

⇔ x− +y = ⇔x +y = x+ (*)

Đặt z a ib a b= + , ,( ∈¡ ) có biểu diễn hình học là điểm M x y ( );

25 86

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC

Câu 67: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z− −2 4i = −z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

A z= − +1 i B z= − +2 2i C z= +2 2i D 3 2+ i

Lời giải Chọn C.

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC

( )min

−

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z 1; 2

Từ giả thiết : z1+z2 =5⇔ OM ONuuuur uuur+ = 5 5

Câu 70: Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1+z2 =5 và z1−z2 =1 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= z1 + z2 Khi đó mô đun của số phức

Ta gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z 1; 2

Từ giả thiết : z1+z2 =6⇔ OM ONuuuur uuur+ = 6 ⇔OIuur = 3với I là trung điểm của đoạn thẳng MN

i z+ = 2 ( )2 5

32

M n lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= + −z z z1+ −z z Tính modun của số2

K x y A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z z , ,1 2

Ta tìm Max – Min của T OK OA OB= + +

Ta có , ,A B O thuộc đường tròn ( ) C và ∆ABO đều ⇒T Min=2OA=2

Gọi K thuộc cung »OB Ta có KA OB OA BK ABOK = + ⇔KA KB OK= +

Gọi A(−1;3 , 1; 1 ,) (B − ) ( )C 0;1 ⇒C là trung điểm AB

kiện 2z i1+ = z1− −z1 2i và z2− −i 10 1= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1−z ?2

Lời giải Chọn B.

Vậy giá trị lớn nhất của m bằng 2 2 2+

Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z ; 1 z thỏa mãn 2 z1− + =3 5 2i và

Mặt khác, iz2− +1 2i =4⇒ −3z2− −6 3i =12 nên điểm biểu diễn số phức −3z là điểm 2 N

nằm trên đường tròn ( )T có tâm 2 I2( )6;3 và có bán kính là R2=12

Ta thấy 2iz1+3z 2 = 2iz1− −( 3z 2) = MN

T lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất, khi đó bốn điểm M, I , 1 I , 2 N theo thứ tự thẳng

hàng

Vậy giá trị lớn nhất của MN I I= 1 2+R1+R 2 = 313 16+ .

 − − ≤



+ + ≤ − −

w i w i điều này cho thấy N w đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng( )

∆ là trung trực của đoạn AB với A(− −1; 2 ,) ( )B 2;1

∆ x y+ =

(Minh hoạ như hình vẽ)

Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1= +a bi và z2= +c di là 2 số phức thỏa

mãn: z12 =4 và z c d1( + =) 10 Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức T ac bd cd= + + Hãy chọn khẳng

định đúng về M

Lời giải Chọn A.

Ta có

( )

2 1

1

410

 =



+ =



z

z c d

2 2 45

⇔ =c

Bảng biến thiên:

+ ≤

z

1ax

Ta có

3 3 3

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC

Lời giải Chọn B.

Giả sử M A Blần lượt biểu diễn số phức , , z x yi z z = + , ,1 2

Từ giả thiết 3z− 3i = 3ta có: 2 ( 1 )2 1

33

Để T thì max OM max và (MA MB+ )max nên OM =2R và M nằm

chính giữa cung nhỏ »AB và 0; 2

Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm E(−1; 1) Do đó, N(−1; 1).

Ta thấy z w MN nên − = z w nhỏ nhất khi − MN ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu của N

CHUYÊN ĐÊ SỐ PHỨC

Ta có MA+2MB=2(MB MC+ ) 2≥ BC dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi , B M C theo thứ tự đó ,thẳng hàng

Phương trình đường thẳng BC x: =2

M là giao của của BC và ( )T ⇒M(2;2+ 3)⇒ + = +a b 4 3

Câu 86: Cho các số phức z z z1, ,2 3 thỏa mãn 2z1 = 2z2 = z1−z2 =6 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= + −z z z1 + −z z2 .

Chọn , ,A B M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z z,1, ,2

Dựa vào điều kiện 2z1 = 2z2 = z1−z2 =6 2⇒ OA OB= =6, AB=6 2

Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O

Phép quay tâm B góc quay −600 ta có:

( , 60− 0) : a ′

B

′a

Do tam giác ∆BMM đều ′ ⇒AM =A M , ′ ′ BM =MM′

Suy ra P= + −z z z1 + −z z2 =OM AM BM OM MM+ + = + ′+A M′ ′≥OA ′

Dấu " "= xảy ra khi , ,O M M A thẳng hàng.′ ′,

Khi đó tam giác OBA′ có OB=6, BA′ =BA=6 2 và ·OBA′ =1050.

Từ đó suy ra OA′= OB2+BA′2−2OB BA ′.cos1050=6 2+ 3

Vậy minP=6 2+ 3.

Câu 87: Cho hai số phức ,z thỏa mãn ω z− = + −1 z 3 2i ;ω = + +z m i với m∈¡ là tham số Giá trị

Đặt z a ib a b= + , ,( ∈¡ ) có biểu diễn hình học là điểm M x y ( );

37